I. — 1 er cas. Si deux fractions ont le même nom, c’est

Hi i ARITHMÉTIQUE.

à-dire le même dénominateur, on les compare en comparant leurs numérateurs; celle qui a le plus fort numérateur est la plus grande.

Soient les deux fractions f et

4 est une fraction plus grande que f ; car toutes deux expriment des septièmes, et il y en a 5 dans l’une, tandis que l’autre n’en a que 3.

2* cas. Si les deux fractions ont des dénominateurs différents, il faut, pour les comparer facilement, les réduire au même dénominateur , c’est-à-dire leur donner le même nom.

2. — Pour réduire deux fractions au même dénominateur, on multiplie les deux termes de chacune par le dénominateur de l’autre. Il en résulte deux nouvelles fractions égales aux premières , qui ont pour dénominateur commun le produit des deux dénominateurs donnés.

Soient les deux fractions | et f à réduire au même dénominateur.

4x 7 28 Je multiplie les deux termes 4 et 5 de la pre-

5 x ? r= 36 rnière fraction par 7, et j’ai jf, fraction égale à $

(page 513).

6x 5 30 Je multiplie les deux termes 6 et 7 de la seconde "Tx" 5 — 35 f racl ’ on P ar fraction égale à f.

On voit que 30 trente-cinquièmes sont plus grands que 28 trentecinquièmes, et par conséquent que f est une fraction plus grande que j.

3. — La réduction de deux fractions au même dénominateur n’en change pas la valeur respective. En effet , chaque fraction considérée isolément ne change pas de valeur , puisque chacun de ses deux termes est multiplié par le même nombre; donc, si les fractions restent les mêmes , elles ne changent pas de valeur l’une par rapport à l’autre.

— Pour réduire au même dénominateur un nombre quelconque de fractions, on multiplie les deux termes de chacune par les dénominateurs ou le produit des dénominateurs de toutes les autres : ce qui ne change pas la valeur des fractions primitives.

Soient les fractions S, fî & réduire au même dénominateur.

ÉLÉMENTS DE CALCUL. fjfS

Les deux termes 2 et 3 de la premièie fraction , multipliés par les dénominateur 4, C, 12 des trois autres fractions, donnent |||, fraction égale à f.

Les deux termes 3 et 4 de la deuxieme fraction , multipliés par les dénominateurs 3 , 6 , 12 des trois autres fractions , donnent JfJ , fraction égale à £.

5 X 3.4.12 720 Les deux termes 5 et G de la troisième

G X 3.4.1 2 — 864 ^ racl ' on > multipliés par les dénominateurs 3, 4, 12 des trois autres fractions, donnent £££, fraction égale à J.

Il 1 1 X 3.4.6 792 Les deux termes 1 1 et 1 2 de la quatrième 72 — 12 X 3.4.6 — 864 ^ racl ' on • multipliés par les dénominateurs 3, 4, 6 des trois autres fractions , donnent Jff , fraction égale à fj.

On peut, pour abréger et simplifier le calcul, faire immédiatement le produit des dénominateurs 1, 0 el 12 ou 288, — 3, G et 12 ou 21 G , — 5 , 4 et 12 ou 144, — 5, 4 et G ou 72 , pour multiplier respectivement par l'un de ces produits les deux termes de chaque fraction ; on aura le même résultat :

Il X 72 792

On voit que la fraction -J-J est plus grande que ; ; — la fraction l plus grande que j, et la fraction £ plus grande que j.

8. — Réduire des fractions au moindre dénominateur commun, c’est leur donner à toutes pour dénominateur le plus petit multiple de chaque dénominateur particulier.

G. — Pour trouver le moindre dénominateur commun , on examine si le plus petit multiple du plus grand dénominateur particulier est aussi multiple de chaque autre dénominateur; s’il ne l'est pas, on fait un pareil examen pour le deuxième multiple du même nombre , puis pour le troisième , puis pour le quatrième, etc. : on arrive ainsi nécessairement à trouver le plus petit multiple de chaque dénominateur particulier.

Soient les fractions ±, 5, i.

Le plus grand dénominateur est 10. Je dis donc : 10, le plus petit multiple de 10, n’est pas multiple do 6; — 20, second multiple de 10, n’est pas non plus multiple de 6 j — mais 30, troisième multiple de 10; est à la fois multiple de 6 et de 2 : donc 30 est le

SIC AftlTHMÉTIQCE.

moindre dénominateur commun auquel puissent être réduites les fractions proposées.

Pour réduire les fractions au moindre dénominateur commun, il faut d’abord chercher ce dénominateur, et multiplier, les deux termes de chaque fraction par le nombre de fois que son dénominateur particulier est contenu dans le dénominateur commun.

t est le moindre dénominateur commun des fractions

t X là 15 Or 30 contient 15 fois 2 ; je multiplie par 15 les

2 x 15 — 30 lerroe * de la fraction f, et j’ai Jf.

5x 5 25 30 contient 5 fois 6 ; je multiplie par 5 les termes

G X 5 30 de la faction et j’ai §£•

j X 3 12 30 contient 3 fois 10 ; je multiplie par 3 les ternies

10 x 3 30 de la fraction ■£;, et j’ai j£.

Ainsi les fractions j, |, -A, réduites au moindre dénominateur commun, deviennent , sans changer de valeur,

5° Simplification des fractions.

1. Quand une fraction est-elle dite rcdaclible? — 2. Quand une

fraction est-elle dite irréductible? — 3. Comment peut— on , en

général, simplifier une fraction réductible?

1 • — Une fraction est dite réductible , lorsque les deux termes en sont divisibles par un même nombre ; ce qui la simplifie sans en changer la valeur.

Soit jf : la division de ces deux termes par 6 fournit la fraction plus simple équivalente î.

2- — Une fraction est dite irréductible, lorsqu’elle ne peut être simplifiée. Telle est la fraction î.

5. — En général, on peut simplifier une fraction réductible , en divisant ses deux termes par 2 autant de fois qu’il est possible; puis les quotients par 3, puis les quotients suivants par o, puis les quotients suivants par 7, etc., et toujours autant de fois qu’il est possible. On continué ces divisions successives jusqu’à ce qu’on arrive à deux quotients qui ne puissent plus être divisés par le même nombre, si ce n’est par 1. Ces derniers résollats forment les termes d'nne fraction qui est la plus simple expression de la fraction donnée et qui lui est égale.

Soit à simplifier la fraction fjffo :

Je divise les deux termes par 2, et j’ai une deuxième fraction plus simple que la première.

Je divise les quotients par 2, et j’ai une troisième fraction plus simple que la deuxième.

La division par 2 n’étant plus possible , je divise les quotients par 3 et j ai une quatrième fraction plus simple que la troisième.

Je divise encore par 3, et j’ai une cinquième fraction plus simple que la quatrième.

Je divise de nouveau par 3, et j’ai une sixième fraction plus simple que la cinquième.

La division par 3 n’étant plus possible , je divise les quotients par 5, et j’ai une septième fraction plus simple que la sixième.

La division par 5 n’étant plus possible, je divise les quotients par 7, et j’ai une huitième fraction plus simple que la septième.

j est donc la plus simple expression de , puisque 1 et 4 ne peuvent plus être divisés par un même nombre autre que 1 .

N. B. On arrive plus promptement au résultat cherché par lu méthode du plus grand commun diviseur.

6° Recherche du plut grand commun diviseur entre deux nombres.

1 . Qu’csl-ce qu’un nombre premier? — 2.Qu'entend-on par nombres premiers entre eux? — 3. Qu’est-ce qu’un commun diviseur? le plus grand commun diviseur? — 4. Démontrez les quatre principes suivants sur lesquels repose la recherche du plus grand commun diviseur : 1° tout diviseur commun de deux nombres divise leur somme; 2° tout diviseur commun de deux nombres divise leur différence; 3° tout diviseur d’un nombre divise les multiples de ce nombre; 4° le plus grand commun diviseur de deux nombres est aussi le plus grand commun diviseur du plus petit nombre et du reste. — 5. Quelle est la règle générale pour trouver le plus grand commun diviseur? Appliquez cette règle aux nombres 2466 et 632. — 6. Qu’arrive-t-il lorsque deux nombres sont premiers entre eux? — 7. A quoi rcconnall-on que deux nombres n’ont pas de plus grand commun diviseur?

1. — Un nombre est dit premier, lorsqu’il n’est divisible que par lui-même et par l’unité. Tels sont les nombres :

2, 3, b, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, etc.

2 . — Deux nombres sont dits premiers entre eux, lorsqu’ils n'ont pas de facteur commun. Ainsi :

10 et 21 ou 2.5 et 3.7 sont premiers entre eux.

3. — On appelle commun diviseur le nombre qui en divise séparément deux autres. Ainsi :

Les nombres 2, 3, 6, 8, 12, 24, qui divisent séparément 24 et 72, sont communs diviseurs de ces deux nombres.

Le plus grand commun diviseur de deux nombres est le plus grand des nombres qui les divisent séparément. Ainsi :

22 étant le plus grand des nombres qui divisent séparément 24 et 72, est leur plus grand commun diviseur.

4. — La recherche du plus grand commun diviseur repose sur les quatre principes suivants :

1° Tout diviseur commun de deux nombres divise leur somme :

12 divise 24; il divise aussi 72 ; je dis qu’il divisera 96, somme de 24 et de 72. En effet, 24 est égal à 12 répété 2 fois; 72 est aussi égal à 12 répété 6 fois : donc 96 ou 24 •+■ 72 est égal à 12 répété deux fois plus 6 fois ou 8 fois; donc 96 est multiple de 12; donc il est divisible par 12.

2° Tout diviseur commun de deux nombres divise leur différence :

72 et 24 sont divisibles par 12 ; je dis que 12 divisera 48 , différence de 72 et de 24. En effet, 72 est égal à 12 répété 6 fois ; 24 est aussi égal à 12 répété 2 fois: donc 48 ou 72 — 24 est égal à 12 répété 6 fois moins 2 fois ou 4 fois; donc 48 est divisible par 12.

3° Tout diviseur d’un nombre divise les multiples de ce nombre :

12, qui divise 24, divise aussi deux fois 24 ou 48,-3 fois 24 ou 72,-4 fois 24 ou 96. En effet, 24 est égal à 12 répété 2 fois : donc 48 est égal à 12 répété 4 fois; — 72 est égal à 12 répété 6 fois; — 93 est égal à 12 répété 8 fois, etc.

4° Le plus grand commun diviseur de deux nombres est aussi le plus grand commun diviseur du plus petit nombre et du reste :

Soient les deux nombres 336 eti26 :

336 126 En divisant 336 par 126 , j’ai 2 pour quotient et

• - ■■ 84 pour reste. Je dis que le plus grand commun di-

84 2 viseur entre 336 et 126 est le même que le plus grand ,

commun diviseur entre 126 et 84.

Eo effet, 336= 126 x 2 + 84. Or, tout nombre qui divise 126 divise aussi 126 X 2 (troisième principe). Si de plus il divise I2C , il divisera 84, différence entre 336 et 126 X 2 (deuxième principe) : donc tous les diviseurs communs à 336 et 126 sont aussi diviseurs communs à 126 et à 84.

Réciproquement , tous les diviseurs communs à 84 et ù 126 divisent 84 et 126 X 2 ; ils diviseront donc 336, somme de 126 X 2 et de 84 "(premier principe) : donc tous les diviseurs communs à 84 et à 126 sont aussi diviseurs communs à 126 et à 336; donc le plus grand commun diviseur de 336 et de 126 est le même que le plus grand commun diviseur du plus petit nombre 126 et du reste 84.

5. — Règle générale du plus grand commun diviseur . — Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux, nombres, on divise le plus grand par le plus petit : s’il n’y a pas de reste , le plus petit nombre est le plus grand commun diviseur cherché; s’il y a un reste, on divise le plus petit nombre par ce premier reste : si la division se fait exactement, c’est le premier reste qui est le diviseur cherché.

Si la deuxième division donne un nouveau reste , on divise le premier reste par le deuxième : si le troisième reste est zéro, le deuxième reste est le diviseur cherché; s’il n’est pas zéro , on divise le deuxième par le troisième , et l’on continue de diviser les restes successifs les uns par les autres, jusqu’à ce qu’on parvienne à un quotient exact. I.e reste qui divise le reste précédent est le plus grand commun diviseur demandé.

Soit à trouver le plus grand commun diviseur des deux nombres 2466 et 642.

On dispose ainsi l'opération :

Quotients

Dividendes et diviseurs.

Restes

Je divise 2466 par 642 ; j’ai pour quotient 3 et pour premier reste 540. Je divise 642 par 540; j’ai pour quotient 1 et pour deuxième reste 102. Je divise 540 par 102 ; j’ai pour quotient 5 et pour troisième reste 30. Je divise 102 par 30 ; j’ai pour quotient 3 et pour quatrième reste 12. Je divise 30 par 12 ; j’ai pour quotient 2 et pour cinquième reste 6. Je divise 12 par 6; j’ai pour quotient 2 et pour reste 0. Le plus grand commun diviseur de 2466 et de 642 est donc 6. En effet, d’après le quatrième principe, 6 étant le plus grand commun diviseur entre 6 et 12, l’est entre 12 et 30, puis entre 30 et 102, entre 102 et 540, entre 640 et 642, enfin entre 642 et 2466.

0. — Lorsque deux nombres sont premiers entre eux, la recherche de leur plus grand commun diviseur conduit nécessairement à un reste égal à l'unité.

7. — On peut reconnaître de trois manières que les deux nombres donnés n’ont pas de plus grand commun diviseur : 1° quand deux restes consécutifs sont premiers entre eux ; 2° quand on trouve un reste qui est un nombre premier et qui ne divise pas le reste précédent ; 3° quand on obtient un reste égal à l’unité.

Soient les deux nombres 607 et 107 :

Quotients

Dividendes et diviseurs.

Restes

Les deux restes consécutifs 72 et 25 sont premiers entre eux : donc les nombres G07 et 107 n’ont pas de plus grand commun diviseur (1°). Le reste 2 est un nombre premier et ne divise pas le reste précédent 35 : donc, etc. (2°). Enfin, la division de 35 par 2 donne pour reste t : donc, etc. (3®).

§ 2. Opérations fondamentales de l’arithmétique , avec leurs preuves, sur les fractions.

1° Addition des fractions.

t. Combien de cas présente l’addition des fractions? — 2. Quelle est la règle quand les fractions ont le même dénominateur ? quand elles ont des dénominateurs différents ? — 3. Que fait-on lorsque le résultat de l’addition donne un nombre fractionnaire? — 4. Combien l’addition des nombres fractionnaires présente-telle de cas? — 5. Comment se fait la preuve d’une addition de fractions et de nombres fractionnaires ?

® I. — L’addition des fractions présente deux cas : ou les fractions ont le même dénominateur, ou bien elles ont des dénominateurs différents.

2. — 1° Si les fractions ont le môme dénominateur, on additionne les numérateurs et l’on donne à la somme le dénominateur commun, par la raison qu'une somme doit porter le même nom que les nombres qui la composent. Ainsi :

ÉLÊMEKTS DE CALCUL. 521

2° Si les fractions ont des dénominateurs différents , on les réduit d’abord au même dénominateur; on addilionne ensuite les numérateurs, et l’on donne à la somfne le dénominateur commun.

Soient à additionner les fractions

Le moindre dénominateur commun est 12; les trois premières fractions modifiées deviennent , — , qu’on ajoute à ff. On a

donc — —

3- — Lorsque le résultat de l'addition donne un nombre fractionnaire, comme on en extrait les entiers, et l’on simplifie le plus possible la fraction restante. Ainsi :

lü — 9 -1 — S- ■ or — • — - ;

* * 1 m Ul n a •

donc H =2 -H.

4. — L’addition des nombres fractionnaires présente deux cas ; s’ils sont à deux termes , comme on procède comme pour les fractions; s’ils sont composés d’entiers et de fractions, on les écrit les uns au-dessous des autres, de manière que les entiers soient en colonne, et les fractions aussi ; on réduit les Tractions au moindre dénominateur commun; puis faisant adroite une colonne de ces fractions modifiées, on les additionnent l’on extrait de leur somme les unités entières, pour les reporter sur la colonne des entiers. On écrit la fraction du quotient, simplifiée, s’il y a lieu, sous la colonne des fractions données; enfin on additionne les entiers.

Soient à additionner les nombres fractionnaires 15

Le moindre dénominateur commun est 24. Les fractions données deviennent donc fj. Leur somme est £|. Or 1 ou I j; j'écris i sous la colonne des fractions primitives; je porte 1 sous celle des entiers, et j’obtiens 21 | pour la somme demandée.

8- — La preuve de l’addition se fait pour les fractions et pour les nombres fractionnaires comme pour les nombres entiers (p. 501). Toutefois, si, dans les nombres fractionnaires , on emploie la soustraction , il faut avoir soin de donner la forme fractionnaire au reste de la colonne des unités entières, pour l’ajouter à la fraction de la somme. Ainsi, dans l’exemple précédent :

Le reste de la colonne des unités entières est 1. Or 1 =r { ou fj.

3 ui , ajoutés à de la somme, font fj. Retranchant de la somme

es fractions modifiées, on a 0 pour reste, et par conséquent l’opération a probablement été bien faite.

2° Soustraction des fractions.

1. Combien de cas présente la soustraction des fractions? — 2. Quelle est la règle quand les fractions ont le même dénominateur? quand elles ont des dénominateurs différents ? — 3. Combien de cas présente la soustraction des nombres fractionnaires ? Donnez des exemples. — 4. Comment retranche-t-on une fraction d’un nombre entier?— 5. Comment se fait la preuve d’une addition de fractions et de nombres fractionnaires?

I . — La soustraction des fractions présente deux cas : ou les fractions ont le même dénominateur, ou bien elles ont des dénominateurs difiérents.

2. — 1° Si les fractions ont le même dénominateur, on ôte le plus petit numérateur du plus grand, et l’on donne à la différence le dénominateur commun , par la raison qu’une différence doit avoir le même nom que les nombres qui l’ont fournie.

Soit ■— à retrancher de ^ :

J’ète^ le ntus petit numérateur 2 du plus grand 7 : la différence est 5; je place sous 6 le dénominateur commun 15, et j’ai pour reste ^ ou

2° Si les fractions n’ont pas le même dénominateur, on commence par les y réduire; la soustraction se fait ensuite comme dans le cas précédent.

Soit f à retrancher de £ :

Je réduis \ et f-au même dénominateur, et j’obtiens \\ et Or

21 — 10 = 1 1 : la différence des fractions est donc fj.

3.— La soustraction des nombres fractionnaires présente deux cas :

1° Si les nombres fractionnaires sont à deux termes , on procède comme pour les fractions. Ainsi :

2° Si les nombres fractionnaires sont composés d’entiers et de fractions, on écrit le plus petit sous le plus grand ; on réduit les fractions au même dénominateur; on retranche

celle qui appartient au plus grand nombre de celle qui appartient au plus petit, on écrit la fraction restante sous les fractions données , et l’on opère enfin la soustraction des nombres entiers.

Quand la fraction à soustraire est la plus grande, on emprunte sur l’entier le plus grand une unité que l’on ajoute à la plus petite fraction.

Soit 23 ^ à soustraire de 67 f :

67 3/8 15 Je dispose l’opération comme pour l’ad-

dition.

£* 10 Le moindre dénominateur commun est 40 : les fractions deviennent donc £§ et ££.

23 9/iO 36 Comme 36 ne peut être retranché de 15,

19/40 1 9/-40 j’ em P runlc sur * e nombre 67 une unité qui

' ' vaut JS; j’ajoute 40 à 15 et j’ai 55; je re-

tranche 36 de 55, et j’ai pour reste 49, à qui je donne 46 pour dénominateur ; passant ensuite aux entiers, je retranche 23 de 67, diminué de 1 que j’ai emprunté, en d’autres termes de 66, et j’ai pour reste 43. La différence cherchée est donc 43 £*.

— Pour retrancher une fraction d’un nombre entier, on le soustrait d’une unité entière convertie en fraction de même dénominateur, et l’on ôte au nombre entier l’unité dont on vient de faire usage.

Soit 5 à retrancher de 9 :

9 8 -+- f . Je prends au nombre 9 une unité entière

- — f = £ qui vaut | ; je retranche { de |, et j’ai pour reste 9-$ = é + |. | : donc 9 — | =s 8 -f- £.

d. — La preuve de la soustraction se fait pour les fractions et pour les nombres fractionnaires comme pour les nombres entiers ( p. 502).

3° Multiplication des fractions.

I. Combien de cas présente la multiplication des fractions ? — 2. Qu’est-ce que multiplier une fraction par un nombre entier, et comment se fait cette multiplication P — 3. Qu’est-ce que multiplier un entier par une fraction , et comment se fait celle multiplication? — 4. Dans quel cas le produit est-il plus grand ou plus polit que le multiplicande ? — 5. Qu’est-cc que multiplier une fraction par une autre fraction, et comment se fait celle multiplication? — 6. Le produit de deux fractions ost-il moindre que chaque facteur? — 7. Qu’appelle-t-on fractions de fraciioos, et comment les évalue-t-on? — 8. Combien la multiplication des nombres fractionnaires présente-t-elle de cas? — 9. Comment

se fait la preuve de la multiplication des fractions et des nombres fractionnaires? — 10. Quand on opéré sur des fractions ou sur des nombres fractionnaires, quelle précaution faut— il prendre avant d’effectuer les calculs ?

|. — La multiplication des fractions présente trois cas : une fraction à multiplier par un nombre entier; 2" un nombre entier à multiplier par une fraction ; 3 n une fraction à multiplier par une autre fraction.

2- — Multiplier une fraction par un nombre entier, c’est rendre celle fraction autant de fois plus grande que le nombre entier contient d'unités.

Pour multiplier une fraction par un nombre entier, il faut, ou multiplier son numérateur, ou diviser son dénominateur par ce nombre entier; car on rend une fraction 2,

3, 4, 3... fois plus grande en rendant le numérateur 2. 5,

4, 3... fois plus grand, ou le dénominateur 2, 3, 4, 3... fois plus petit. On donne au produit le dénominateur de la fraction multiplicande, et au quotient le numérateur de la fraction multiplicateur.

Soit £ à multiplier par 2 :

1° Je multiplie le numérateur 3 par 2 , et sous le produit 6 je mets le dénominateur 8 : le produit est donc

2° Je divise le dénominateur 8 par 2 , et au-dessus du quotient 4 , je mets le numérateur 3 : le produit est donc j.

3- — Multiplier un nombre entier par une fraction, c'est prendre de ce nombre la partie indiquée par la fraction.

, Pour multiplier un nombre entier par une fraction, on multiplie le nombre entier par le numérateur de la fraction, et l’on donne au produit le dénominateur de la fraction multiplicateur.

Soit 4 à multiplier par ^ :

. , - Je multiplie 3 par 5 , et sous

4 x i = = :ou 1 - le produit 20, je mets le déno- 12 12 12 3 minateur 12 : ce qui donne fy

ou f ou 1 y.

En effet, multiplier 4 par yy , c’est prendre les de 4 ; or, le 12 e de 4 est le 12* de 4 répété 5 fois fait donc ff ou 1 y. Du reste, comme il a été démontré que l’on peut intervertir l’ordre des facteurs, il en résulte que multiplier un entier par une fraction revient au même que multiplier une fraction par un entier.

j \- x! =8TS=ï

ÉLÉMENTS DE CALCUL. S2î>

4. — Le produit est plus grand que le multiplicande, lorsque que le multiplicateur est plus grand que l’unité : c’est ce que l’on voit n° 2.

Au contraire, le produit est plus petit que le multiplicande, lorsque le multiplicateur est plus petit que l’unité: c’est ce que l’on voit n° 3.