RACINES CUBIQUES

§ 4. Extraction des racines cubiques.

1 . Qu’appelle-t-on extraction de la racine cubique d'un nombre ?

— 2. Comment extrait-on la racine cubique d’un nombre qui n’a que 3 chiffres au plus? — 3. Comment extrait-on la racine cubique d’un nombre composé de 4, 5 ou 6 chiffres? — 4. Comment extrait-on la racine cubique d’un nombre de plus de 6 chiffres, et en général d’un nombre quelconque? — 5. Exposez la règle générale de l’extraction de la racioe cubique d’un nombre quelconque ? — 6. Comment extrait-on la racine cubique d’une fraction ? d’un nombre composé d’un entier et d’une fraction ?

— 7. Comment extrait-on la racine cubique d’un nombre décimal?— 8. Comment extrait-on la racine cubique d’un nombre à une fraction près? — 9. Comment extrait-on la racine cubique

. d’un nombre entier à moins d’une décimale près? — 10. Comment extrait-on la racine cubique d’une fraction à moins d’une décimale près ?

1. — On appelle extraction de la racine cubique d’un nombre le procédé au moyen duquel on revient du cube de ce nombre à sa racine.

2. — Si le nombre n’a que 3 chiffres au plus, on en extrait la racine cubique immédiatement d’après l’inspection des cubes des 10 premiers nombres ( p. 571).

Ainsi la racine cubique de 125 est 5; la racine cubique de 72 est 4 plus une fraction, ou 4, à une unité près. La racine cubique de 841 est 9 à une unité près , puisque 841 tombe entre 729, ou le cube de 9, et 1000, ou le cube de 10.

5- — Soit le nombre 105825 dont il faille extraire la racine cubique. «JâjHr

Le nèinbre 103823 étant compris entre 1000, 48 qui est le cube de 10, et 1000000, qui est ‘le cube de 100, sa racine cubique est nécessairement composée de deux chiffres, c’est-à-dire de dizaines et d’unités.

Comme le cube dés dizaines ne peut donner des unités d’un ordre inférieur à celui des mille, les trois derniers chiffres à droite n’en peuveat faire partie ; c’esldonc dans la partie 103, qu’on sépare des trois derniers chiffres par un point, que se trou\e le cube des dizaines. Or, la racine du plus grand cube contenu dans 103 étant 4 pour 04, 4 est le chiffre des dizaines de la racine cherchée: car 103823 est compris ertre C4000, cube de 40, et 125000, cule de 50 ; donc la racine est composée de 4 dizaines, plus un certain nombre d’unités moindre que dix.

Le chiffre des dizaines étant trouvé, je retranche son cube G4 de 103; il reste 39, qui, suivi de la tranche 823, donne 39823 ; et ce résultat contient encore le triple carré des dizaines par les unités, plus le triple carré des unités par les dizaines, plus le cube des unités. Or, comme le carré d’un nombre de dizaines ne peut donner des unités d’un ordre inférieur à celui des centaines, il s’ensuit que le triple produit du carré des dizaines par les unités ne peut se trouver que dans la partie à gauche 398 des deux derniers chiff res 23, qu'on sépare encore, pour cette raison, par un point. D’un autre c6té, on peut former le triple carré des 4 dizaines, ce qui donne 48 ; donc si l’on divise 398 par 48, le quotient 8 sera probablement le chiffre des unité» de la racine. Pour vériGer si ce chiffre 8 n’est pas trop fort, on élève 48 au cube, et l’on trouve 110592, nombre plus grand que 103823 : ainsi, le chiffre 8 est trop fort. En formant le cube de 47, on obtient 103823 ; donc le nombre proposé a pour racine cubique 47.

4. — Soit à extraire la racine cubique du nombre 43725658, composé de plus de 6 chiffres*.

Quelle que soit la racine cherchée, elle a nécessairement plus d’un chiffre et l’on peut la regarder comme composée d’unités et de dizaines seulement ( le nombre des dizaines pouvant avoir plusieurs chiffres).

Or le cube des dizaines donne au moins des mille :

ainsi, ce cube se trouve

43014208 n< '‘ cessa t rement dans la partie à gauche des trois rest. 111450 derniers chiffres 658. Si

donc on extrait la racine du plus grand cube contenu dans 43725 considéré comme exprimant des unités simples, on aura le nombre total des dizaines de la racine demandée. La question est alors ramenée à extraire la racine cubique de 43725; mais ce Douveau nombre ayant plus de trois chiffres , la racine en a plus d’un , c’est-à-dire renferme des dizaines et des unités. Pour obtenir les dizaines, il faut séparer les trois derniers chiffres, 725, et extraire la racine du plus grand cube contenu dans 43.

Le plus grand cube contenu dans 43 est 27 , dont la racine cubique est 3 ; et ce chiffre exprime alors les dizaines de la racine de 43725 ( ou le chiffre des centaines de la racine totale). Retran*» chant le cube de 3 ou 27 de 43, on a pour reste 16, à c6té duquel on abaisse le 1 er chiffre 7 de la tranche suivante, 725, ce qui donne 167.