IG : 32 : G4 : 128 : 25G
Chaque terme de la progression par différence est dit le logarithme du terme qui occupe le meme rang dans la progression par quotient.
En général, on entend par logarithmes, des nombres en progression arithmétique qui correspondent , terme pour terme, à des nombres en progression géométrique , sous la condition toutefois que i et 0 soient respectivement leur point de départ : d’où il suit que le logarithme de l’unité est toujours égal à zéro.
2. — La première propriété des logarithmes, c’est que le logarithme du produit de deux nombres d’une progression géométrique est égal à la somme des logarithmes de ccs deux nombres.
Soient les deux nombres 6i et 2o6 de la progression géométrique dont il faille obtenir le produit.
On prend leurs logarithmes 18 et 24 dans la progression arithmétique; on les ajoute, ce qui donne 42; puis on cherche à quel nombre correspond 42, et l’on trouve IG384 pour le produit demandé. te
On trouve de même que 12 + 27 ou 39, somme des logarithmes de l(i et 512, correspond à 8192, produit des deui nombres 16 et 512. r <-
5 . — Le logarithme du produit d’un nombre quelconque de facteurs est égal à la somme des logarithmes de tous ces facteurs.
Ainsi le logarithme 24 du produit 256 des termes 2, 8, 16, de la progression géométrique est égal à la somme des logarithmes 3 .
9, 1 2 de la progression arithmétique.
D’où il résulte, que pour obtenir le produit de plusieurs termes de la progression géométrique, il suffit d’ajouter leurs logarithmes pris dans la progression arithmétique, et de déterminer à quel nombre correspond la somme ; le nombre correspondant est le produit demandé.
Soit à obtenir le produit des 3 termes 2, 8, 32.
Ajoutons leurs logarithmes 3, 9, 15, on a 27, logarithme de 512; donc 512 est le produit de 2 X 8 X 32.
4. — La seconde propriété des logarithmes, c’est que le logarithme du quotient est égal au logarithme du dividende, moins le logarithme du diviseur; car le dividende étant égal au produit du diviseur par le quotient, il s’ensuit que le logarithme du dividende est égal à la somme du logarithme du diviseur et du quotient. Donc :
logarithme ou 1. — = l. 42 — l. 24,
D’où il résulte que, pour effectuer une division sur deux nombres de la progression géométrique, il suffit de prendre dans la progression arithmétique le logarithme du dividende et celui du diviseur, de retrancher le second du premier, et de déterminer à quel nombre de la progression géométrique 'correspond cette différence ; on obtiendra ainsi le quotient demandé.
Soit proposé de diviser 16384 par 236.
On prend dans la progression géomélriqne les logarithmes 42 et 24 de ces deux nombres; on retranche 24 de 42, ce qui donne 18.
On cherche le nombre correspondant à 18 et l’on trouve 64 pour le quotient demandé.
5. — Le logarithme d’une fraction est égal au logarithme du numérateur moins le logarithme du dénominateur ; car on peut considérer une fraction comme, indiquant la division de son numérateur par son dénominateur. Ainsi: #
6. — Le logarithme du 4' terme d’une proportion est égal à la somme des logarithmes des moyens diminués du logarithme du 1 er terme ; car le 4' terme d’une proportion est égal au produit des moyens divisé par le 1 er terme.
Ainsi, dans la proportion 3 : 7 : : 15 : 35, on a /. 35 = /. 7 -f-/. 15 — /. 3.
7. — La troisième propriété des logarithmes, c’est que le logarithme d’une puissanoe d’un degré quelconque est égal au produit du logarithme de ce nombre par le degré de la puissance ; car la puissance d’un nombre exprime le produit d'autant de facteurs égaux à ce nombre qu’il y a d’unitcs dans le degré de la puissance.
Ainsi le logarithme de la 3 e puissance de 4 égale le log. 4 X 3 ; car le log. de la 3 e puissance 4 = /. (4 X 4x4) = /. 4 4- /. 4 + /. 4 = 3 fois /. 4 = 3 /. 4.
D’où il résulte que pour obtenir le résultat de la formation d’une puissance d’un certain nombre d’une progression géométrique , il suffit de prendre dans la progression arithmétique le logarithme de ce nombre , de le multiplier par le degré de la puissance , et de déterminer à quel nombre de la progression géométrique correspond ce produit; le nombre correspondant sera la puissance demandée.
Soit à élever 32 à la 3 e puissance (ou au cube).
On prend 15, logarithme de 32 ; on le multiplie par 3, degré de la puissance, ce qui donne 45; on cherche à quel nombre correspond 45, et l’on trouve 32768 pour la 3 e puissance ou le cube de 32.
8. — La quatrième propriété des logarithmes, c’est que le logarithme d’une racine de degré quelconque d’un nombre est égal au logarithme de ce nombre divisé par le degré de la racine à extraire.
Par exemple, la racine 3* de 64 étant la quantité qui, prise trois fois comme facteur, donne 64, on a :
64 = racine cubique Je 64 X rnc. cub. de 64 X rac. cub. 64, d'où
log. 64 = log. rac. cub. de 64 +log. rac. cub. de 64 4- log. rac. cub. de 64 = 3 log. rac. cub. de 64.
l.e logarithme de 64 étant égal à trois fois le logarithme de la racine cubique de 64 , il en résulte que :
log. de la rac. cub. de 64 =
log. 64 3 '
D’où il suit que pour obtenir la racine quelconque d'un nombre delà progression géométrique, il suffit de prendre son logarithme dans la progression arithmétique, de le diviser par le degré de la racine , puis de chercher à quel nombre correspond ce quotient; ce nombre correspondant sera la racine demandée.
Soit proposé d’extraire la racine 3 e de Ci.
On prend 18, logarithme de 04, et l’on divise par 3, degré de la racine; on trouve G qui a pour nombre correspondant 4; donc 4 est la racine demandée : en effet, 4 x 4 x 4 = 64.
Soit proposé d'extraire la racine 5 e de 32708.
On prend 45, logarithme de 32768 ; on divise par 5, degré de la racine à extraire, ce qui donne 9. Le nombre correspondant à 9 dans la progression géométrique est 8 ; donc 8 est la racine 5 e de 32768 : en effet, 8X8X8x8x8 = 327G8.
2° Construction et usage des tables de logarithmes.
I . Quelle progression a-t-on choisie pour base des tables ordinaires de logarithmes, et quelle marche a-t-on suivie pour construire
cette table P — 2. Qu’entend-on par logarithmes vulgaires?
3. Que résulte-t-il de l’inspection de deux progressions décuples? — 4. Qu’appelle- t-on caractéristique d’un logarithme? — 5. Quand on connaît le logarithme d’un nombre quelconque, que faut-il faire pour obtenir celui d’un nombre 10, 100,
1000 fois plus grand? — 6. Un nombre quelconque étant
donné, déterminer son logarithme. — 7. Que faut-il faire pour obtenir le logarithme d’un nombre décimal? — 8. Un logarithme quelconque étant donné, trouver le nombre qui lui correspond.
i . — Entre tous les systèmes de deux progressions, l'une géométrique, l’autre arithmétique, que l’on pouvait prendre on a choisi la progression décuple, c’est-à-dire dont la base est 10 :
Or il résulte de l’inspection de ces deux progressions :
1° Que le logarithme de l’unité est zéro ;
2° Que le logarithme de 10 est 1 •
3° Que les logarithmes de tous les nombres entiers ou fractionnaires , compris entre 1 et 10 , sont plus petits que l’unité; que ceux des nombres compris entre 10 et 100 se composent d’une unité et d’une certaine fraction ; que ceux
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des nombres compris entre 100 et 1000 Se composent de deux unités et d'une certaine fraction, et ainsi de suite.
Dans les tables ordinaires , ces fractions sont évaluées en décimales.
Ainsi les logarithmes des nombres d’un seul chiffre sont représentés par une fraction décimale proprement dite ; les logarithmes des nombres de deux chiffres ont 1 pour partie entière, suivie d'une fraction décimale; les logarithmes des nombres de trois chiffres ont 2 pour partie entière, etc. En général , la partie entière du logarithme d’un nombre renfermé autant d’unités moins une, qu’il y a de chiffres dans le nombre si ce nombre est entier, ou dans la partie entière de ce nombre s’il est fractionnaire.
4. — On appelle caractéristique la partie entière d'un logarithme , parce qu’on peut juger d’après son inspection seule l'ordre des plus hautes unités qui se trouvent comprises dans le nombre correspondant au logarithme proposé.
Ainsi 2,74056... correspond à un nombre de trois chiffres, c’est-à-dire à un nombre compris entre 100 et 1000; de même 4,05678 est le logarithme d’un nombre de cinq chiffres compris entre 10000 et 100000.
ii. — Connaissant le logarithme d’un nombre quelconque, po ir obtenir celui d’un nombre 10, 100, 1000... fois-plus grand , il suffit d’ajouter 1,2, 5... unités à la caractéristique; et réciproquement, pour obtenir le logarithme d’un nombre 10, 100, 1000... fois plus petit, il suffit de retrancher de la caractéristique!, 2,3... unités.
Ainsi les logarithmes des nombres 4367, — 456,7, — 13,67, — 4,367, ne diffèrent pas les uns des autres par la partie décimale, mais seulement par la caractéristique qui est 3 pour le 1 er nombre, 2 pour le 2 e , 1 pour le 3 e , et O pour le 4*.
Donc, en général, le logarithme d’un noriabre fractionnaire décimal est le même, à la caractéristique près, que le logarithme de son numérateur , pu du nombre proposé dans lequel on ferait abstraction de la virgule décimale : il n'y a point de différence' dans la partie décimale du logarithme.
0. — Un nombre quelconque étant donné , déterminer son logarithme*.
