s x; d’où x

Ajoutant ce 4« terme à 2879, j’obtiens 2879,8 pour le nombre demandé.

2° Soit à déterminer le nombre correspondant au logarithme 1,56834.

J'ajoute 2 à la caractéristique, ce qui donne 3,56834. Je cherche le nombre correspondant à ce nouveau logarithme, et je trouve 3,56834 — log. 3701,2. Or, puisqu’en ajoutant 2 unités à la caractéristique , j’ai multiplié le nombre cherché par 100, je dois , pour obtenir celui-ci, diviser 3701,2 par 100; ce qui donne enfin 37,012 pour le nombre demandé, à 0,001 près.

Soit encore à trouver le nombre correspondant à 0,86784.

En ajoutant 3 unités à la caractéristique , j'ai 3,36784 — log. 7376,3;

donc, en divisant par 1000, j’ai 0,86784 = log. 7,3763, à 0,0001 près.

Soit enfin à trouver le nombre correspondant à 5,47659.

Retranchant d’abord 2 unités de la caractéristique, j’ai 3,47659 — : log, 2996,3; et comme en ôtant 2 unités de la caractéristique , j’ai rendu le nombre 100 fois plus petit, je dois multiplier 2996,3 par 100, ce qui donne 299630 pour le nombre demandé, à une dizaine près.

Les petites tables ne permettent pas d’obtenir un plus grand degré d’approximation.

§ 1. Notions générales : espace , corps , surface, lignes , points.

i . Qu’est-ce que la géométrie, et que signifie littéralement ce mot ?

2. Qu’est-ce que 1 espace?— 3. Qu’appelle-t-on corps, et qu’est-ce qu’un corps occupe dans l’espace ? — 4. Qu’appelle-t-on surface? — 5. Combien peut-on concevoir de surfaces dans l’espace? — G. Qu’appelle-t-on ligne? — 7. Combien peut-on concevoir de lignes sur une surface? — 8. Qu’appelle-t-on point? — 9. Comment la ligne peut-elle être considérée sous le rapport des points?

1 . — La géométrie * est la science qui s’occupe des propriétés des différentes sortes de figures, et de la mesure des trois espèces d'étendue.

2- — L 'espace est cette étendue indéfinie qui embrasse l’univers matériel, et que nous concevons plus que nous ne la voyons.

3. — On appelle corps toute chose qu’on peut toucher dans l’espace et qui y occupe un lieu déterminé, appelé proprement un espace.

4. — On appelle surfaces les limites ou bornes qui distinguent l’espace fini occupé par un corps de l’espace indéfini.

5. — Comme il peut exister dans l’espace une infinité de corps ayant chacun leurs limites propres , il en résulte que

’ 1 . Nous avons suivi le Programme de Géométrie pour les écoles normales primaires.- Nous avons consulté, pour rédiger cette partie du Manuel, les géométries le plus généralement adoptées, et notamment celles de MM. Legendre et Vincent, auxquelles nous avons dû faire plus d’un emprunt dans les définitions et les démonstrations des théorèmes.

2. Le mot géométrie, qui vient du grec, signifie littéralement mesure de la terre , parce que ce fut le but primitif de celte science.

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dans l’espace on peut concevoir une infinité de surfaces.

6 . — On appelle ligne l’intersection d’une surface rencontrée ou coupée par une autre surface.

7 . — Une ligne, provenant en général de l’intersection de deux surfaces, et une même surface pouvant être rencontrée par une infinité d’autres entièrement distinctes, il s’ensuit que sur une surface quelconque on peut concevoir une infinité de lignes.

8 . — On appelle point l’intersection de deux lignes qui viennent à se rencontrer ou à se couper.

9- — Un point résultant de la rencontre de deux lignes , et une même ligne pouvant être coupée par une infinité d’autres en autant de lieux différents , il s’ensuit que toute ligne peut être considérée comme ayant une infinité de points.

g 2. Objets principaux de la géométrie: figure, étendue, volumes , aires, longueurs.

I. Sous combien de points de vue, l’espace, la surface et la ligne peuvent-elles être envisagées? — 2. Quand l’étendue prend-elle le nom particulier de volume, d’aire ou de longueur? — 3. Qu’estce que la longueur d’une ligne ou l’étendue linéaire? — 4. Qu’estce que l’aire d’une surface ou l’étendue superficielle ? — 5. Qu’estce que le volume ou l’étendue solide? — G. Comment se désignent les différentes parties d'une figure? — 7. Qu’appellet-on figures équivalentes? semblables ? égales? — 8. Le point est-il susceptible de figure ou d’étendue , et comment se désigne-t-il ? — 9. Quelles sont les principales espèces de propositions et de questions usitées en géométrie? — 10. Qu’esl-ce qu’un axiome? — 11. Qu’est-ce qu’un théorème, un raisonnement, une démonstration ? Que distingue-t-on généralement dans l’énoncé d’un théorème? — 12. Qu’cst-ce qu’une réciproque?— 13. Qu’est-ce qu’un corollaire? — 14. Qu’est-ce qu’un problème? qu’est-ce que résoudre un problème et comment appellc-t-on le résultat qu on obtient?— 15. Quelles sont les principales méthodes de résolution ? Qu’est-ce que la superposition des figures ? Qu’estce que la réduction à l’absurde? — IG. Quels sont les principaux signes et les principales abréviations employées en géométrie ?

I. — L’espace, la surface et la ligne peuvent être envisagées sous deux points de vue distincts : 1° sous le rap-

CÉOMÉTRÎE. o9f

port de leurs diverses formes , que l’on nomme généralement des figures; 2° sous le rapport de leurs grandeurs relatives que l’on comprend sous la dénomination commune d 'étendue.

2. — L’étendue prend le nom particulier de volume , d’aire ou de longueur, suivant que celte étendue est la grandeur d’un espace, d'une surface ou d’une ligne. C'esl ce qu’on appelle vulgairement les trois dimensions : hauteur (épaisseur ou profondeur), largeur et longueur.

3. — La longueur d’une ligne ou Yé tendue linéaire n’est autre chose que la grandeur de celte ligne, grandeur que l’on évalue ou que l’on mesure en la rapportant ou en la comparant à une unité de ligne. — On dit ordinairement que la ligne n’a qu’une dimension : longueur.

4- — L'atre d’une surface ou V étendue superficielle est la grandeur de cette surface dont la valeur numérique s'exprime en unités de surface. — On dit ordinairement que la surface a deux dimensions : longueur et largeur.

5. — Le volume d’un espace ou Y étendue solide d'un corps est identiquement la même chose que la grandeur de cet espace ou de ce corps ; on l’évalue en unités d’espace. — On dit ordinairement que l’espace ou le corps a les trois dimensions : longueur , largeur et hauteur (épaisseur ou profondeur).

6. — Les différentes parties d’une figure géométrique se distinguent au moyen des lettres de l’alphabet.

7. — On appelle figures équivalentes, celles qui ont la même grandeur sans avoir la même forme; figures semblables, celle qui ont la même forme sans avoir la même grandeur ; figures égales, celles qui ont en même temps la même grandeur et la même forme.

O. — Le point n’a ni figure ni étendue : aussi ne peut-on ni le mesurer ni le comparer, comme on mesure et comme on compare les corps, les surfaces et les lignes. Le point se désigne par une seule lettre ( fig. 1 ).

Lorsqu’il existe entre plusieurs points une analogie quelconque, on les désigne par les mêmes lettres , qu’on distingue, soit par des caractères d’écriture différents , soit par des accents que l’on place au haut et à la droite de chacune d’elles , de la manière suivante : A', A", k'"... ; ce

qui s’énonce ainsi: A prime, A seconde, A tierce, elc. Les lettres a, b, c..., a', b', c'..., se prononcent petit a, petit b..., petit b', petit etc.

9. — Les principales espèces de propositions et de questions usitées en géométrie sont : V axiome, le théorème , la réciproque, le corollaire et le problème.

10- — V axiome est une proposition si évidente par elle-même, qu’il suffit de l’énoncer pour en faire immédiatement reconnaître la vérité.

Telles sont les propositions suivantes : 1° Deux quantités respectivement égales à une troisième sont égales entre elles; 2° un tout est plus grand que sa partie; 3° un tout est égal à la somme de ses parties; 4 0 d’un point à un autre on ne peut mener qu’une seule ligne droite; o° deux grandeurs superposées et coïncidant entre elles sont égales.

11. — Le théorème est une proposition qui n'est pas évidente par elle-même, mais qu’on rend telle au moyen de raisonnements dont l’ensemble se nomme démonstration.

12. — La réciproque d’une proposition est une autre proposition établie en sens inverse de la première.

15. — Le corollaire est la conséquence immédiate et facile d’une proposition qui précède.

14. — Le problème est une question qui a pour objet la détermination de l’inconnu au moyen du connu.

Résoudre un problème, c’est parvenir à la détermination de l’inconnu : le résultat qu'on obtient s’appelle la solution du problème.

15. — Les principales méthodes de résolution sont: la superposition des figures et la réduction d l’absurde.

La superposition des figures consiste à prouver que l’on peut faire coïncider, c'est-à-dire que l’on peut appliquer exactement l’une sur l’autre deux ligures ou deux portions ' de figures.

La réduction à l’absurde consiste à supposer d’abord que la proposition ne soit pas vraie; puis, par certaines déductions tirées de principes déjà reconnus , à faire ressortir une contradiction , soit avec quelqu’un de ces principes , soit avec la supposition elle-même.

16. — Les principaux signes et les principales abréviations employés en géométrie sont :

— signifie égale, égal à.

>' plus grand que.

< plus petit que.

-+- plus, augmenté de.

— moins, diminué de.

X ou . multiplié par.

: ou — divise par.

pl. 1. planche I re .

Ijg. 1,2, etc. figure 1 er , 2 e .

C Q. F. D. ce qu il fallait démontrer.

§ 3. Des lignes droite , brisée et courbe. — Des surfaces plane, brisée et courbe. — De la circonférence et du cercle.

1° Lignes droite, brisée et courbe.

1. Combien y a-t-il d’espèces de'lignes?— 2. Qu’est-ce que la ligne droite? que résulte-t-il de la définition de la ligne droite? Comment désigne-t-on une ligne droite? Qu’appelle-t-on lignes concourantes et point de concours, de rencontre ou d’intersection? — 3. Qu’est-ce qu’une ligne brisée? — 4. Qu’est-ce qu’une ligne courbe ? — 5. Quelles sont les applications de la ligne droite aux arts industriels ?

1. — Il y a trois espèces de lignes : la ligne droite, la ligne brisée et la ligne courbe.

2. — La ligne droite , ou simplement une droite , est le plus court chemin d’un point à un autre : telle est l’aréle d’une bonne règle.

Il résulte de celte définition que : par deux points donnés, on ne peut mener qu’une seule ligne droite , et que deux points déterminent complètement la position d’une droite.

De là vient qu’on désigne ordinairement une droite par deux lettres A, B (fig. 2) placées aux extrémités de celte ligne.

Il résulte encore de ce qui précède, que deux droites distinctes ne peuvent avoir qu’un seul point commun. Alors chacune d’elles partage l’autre en deux portions situées respectivement de part et d’autre de la première.

.On appelle concourantes , deux droites qui ont un point

commun, al point de concours, de rencontre ou d’intersection, le point où elles se coupent.

5. — La ligne brisée est une ligne composée de droites qui ont deux à deux une extrémité commune.

Telle est la ligne ABCDEF (fig. 3).

4. — Une ligne courbe est une ligne qui n’est ni droite ni composée de lignes droites.

Telle est la ligne ABC ( fig. 4).

2° Surfaces plane, brisée, courbe:

I. Qu’est-ce qu’une surface plane ou un plan ? — 2. Qu’appelle-t-on surface brisée? surface courbe ?

1. — Une surface plane, ou simplement le plan, est une surface sur laquelle une ligne droite peut être exactement appliquée dans tous les sens et dans toute son étendue. Tel est le dessus d’une table, d’une glace, d’un parquet, etc.»

2. — On appelle surface brisée, toute surface composée de plans consécutifs qui se rencontrent ou se coupent deux à deux.

On appelle surface courbe, toute surface qui n’est ni plane ni composée de surfaces planes.

3° Circonférence, cercle.

I. Qu’est-ce qu’une circonférence? — 2. Qu’est-ce qu’un cercle? —

3. Qu’est-ce qu’un rayon? un diamètre? — 4. Qu’esl-ee qu’un arc, et comment se désigne-t-il? Qu’est-ce qu’une corde? un segment? une sécante? une tangente? — 5. En combien de parties égales se divise une circonférence ? un grade ou degré, la minute décimale ou la minute ancienne, la seconde décimale ou la seconde ancienne? — 0. Qu'est-ce qu’un quadrant? — 7. Quelles sont les applications du cercle aux arts industriels et aux usages de la vie ?

1. — La circonférence est une ligne courbe fermée, tracée sur un plan , et dont tous les points sont à égale distance d’un point intérieur qu’on appelle centre. Telle est la ligne courbe A BC D ( fig. 5 ).

2. — Le cercle est la portion de plan limitée par la circonférence. Ce nom se donne souvent aussi, pour abréger, à la circonférence elle-même.