On nomme rayon toute droite menée du centre. à

la circonférence. Telles sont les droites OA, OB, OC, OD ttig.5).

On nomme diamètre toute droite passant par le centre, et se terminant de part et d’autre à la circonférence, comme AC, BD ( fig. 5). •

4 . — L’arc est une portion quelconque de la circonférence, comme ACB ou ADB (fig. 6). •

Un arc doit toujours se désigner par trois lettres. En effet, si l’on se contentait de dire AB , on ne saurait pas s’il s’agit de la portion ABB de la circonférence , ou de la portion plus petite ACB.

On appelle corde ou sous-tendante la ligne droite qui joint les deux extrémités d’un arc. Telle est la ligne AB (lig. 6). On appelle segment la portion de cercle comprise entre l’arc et la corde. On appelle sécante toute droite qui coupe la circonférence en deux points, comme EF, et tangente toute droite qui n’a qu’un point commun avec le cercle, comme GH1 * (fig. G). Ce point commun, II, se nomme point de tangence ou point de contact.

Q. — La circonférence, dans le système décimal , se divise en 400 parties égales appelées grades : chaque grade, en 100 parties égales appelées minutes ; chaque minute, en 100 parties égales appelées secondes. Néanmoins on a généralement conservé l’ancienne division de la circonférence en 5G0 degrés, de chaque degré en G0 minutes , de chaque minute en G0 secondes. I.es degrés se désignent par °, les minutes par' et les secondes par ". Ainsi 20° S' 6" s’expriment 20 degrés, 5 minutes, 6 secondes.

6. — On appelle quadrant tout arc qui est le quart de la circonférence, comme AeB, B/C (fig. 5). Un quadrant vaut donc 100 grades ou 00 degrés.

7 . — Le cercle est d’un usage presque aussi général que la ligne droite dans les arts. Les roues des machines, les meules de moulin , les couvertures des puits, les cadrans des pendules, etc., sont des cercles. Dans les usages de la vie, les seaux, les tonneaux, les casseroles, les terrines, etc., ont des ouvertures circulaires. 11 est donc important de savoir décrire un cercle.

* 4° Théorèmes relatifs au cercle et à la circonférence.

1° Tous les rayons d’un même cercle sont égaux. — 2® Deux circonférences décrites de points différents, comme centres, mais avec le même rayon, sont égales. — 3° Tous les diamètres d’un même cercle sont égaux. — 4° Tout diamètre divise le cercle et sa circonférence en deux parties.

1° Tous les rayons d'un même cercle sont égaux.

Cette vérité résulte de la définition même du cercle et de celle du rayon. En effet, les rayons mesurent les distances du centre aux divers points de la circonférence.

2° Deux circonférences décrites de points différents, comme centres, mais avec le même rayon, sont égales.

En effet , si l’on transporte le second cercle sur le premier, de manière que leurs centres coïncident , les deux circonférences se confondront nécessairement dans toute leur étendue, puisque les rayons de l’une sont égaux aux rayons de l’autre.

3° Tous les diamètres d’un même cercle sont égaux. En effet, chacun se compose évidemment de l’ensemble de deux rayons composés.

4° Tout diamètre divise le cercle et sa circonférence en deux parties égales.

En effet, rabattons ABC (fig. 5) de façon que cette partie du cercle vienne s’appliquer sur l’autre ADC. 11 est évident que la première portion de cercle ABC recouvrira parfaitement la seconde ADC : car si l’une d’elles pouvait déborder l’autre , tous les points de la circonférence ne seraient pas également éloignés du centre; ce qui est incompatible avec la définition de la circonférence.

Ainsi tout diamètre divise le cercle en deux demicercles , et la circonférence en deux demi-circonférences.

§ 4. Rapport de deux droites , de deux arcs d’un même

cercle.

1 . Qu’appelle-l-on rapport d’une quantité à une autre quantité? — 2. Que fait-on pour comparer entre elles plusieurs quantités de même espèce ? — 3. De combien de manières un rapport peut-il

être exprimé? — 4 . Trouver une droite égale en longueur à la somme de deux ou de plusieurs droites déterminées m, n, p... — 5. Trouver une droite égale en longueur à l’excès d’une droite déterminée rn, sur une autre droite déterminée n. — 6. Qu’appelle-t-on mesure commune de deux droites, et comment obtienton en général le rapport de deux droites?— 7. Qu’appelle-t-on droites commensuraDles entre elles? — 8. Qu’appelle-t-on droites incommensurables entre elles? — 9. Quand dit-on que quatre lignes sont proportionnelles? — 10. Comment trouve-t-on le rapport de deux arcs d’un même cercle ?

1. — On appelle rapport d'une quantité à une autre quantité de même espèce le quolient de la première par la seconde. La première se nomme antécédent et la seconde conséquent.

2. — Lorsqu’on veut comparer entre elles plusieurs quantités de même espèce, on en prend une quelconque pour terme général de comparaison ; on lui donne le nom d'unité, et l’on appelle nombre le rapport de chacune des autres quantités considérées successivement comme antécédents à cette unité considérée comme conséquent.

5. — Un rapport peut être exprimé de trois manières : 1° par un nombre entier qui désigne combien de fois l’une des deux lignes contient l’autre ; 2" par une fraction qui indique combien l’une des lignes contient de parties égales de la seconde ; 3° par un nombre fractionnaire. — Exemple : Si le rapport de deux lignes est 3-J-f, cela signifie que la plus grande ligne contient la plus petite 3 fois, et en outre 2 fois la 7 e partie.

4. — Pour trouver une droite égale en longueur à la somme de deux ou de plusieurs dxofles déterminées, m, n, p...., on trace une droite indéfinie, on prend une ouverture de compas égale à m , et on l'applique sur la droite; on prend une seconde ouverture de compas égale à n, et on la porte à la suite de la première et dans le même sens; on prend une troisième ouverture de compas égale à p, et ou la porte à la suite de deux autres, et ainsi de suite. La distance entre le point de départ cl le point d’arrêt est la longueur cherchée.

S — Pour trouver une droite égale en longueur à l’excès d’une droite déterminée, m, sur une autre droite déterminée, n , ou trace une droite indéfinie; on y porte, au moyen du compas, la droite m, puis, dans un sens contraire , la droite n. La distance entre le point de départ de

598 GÉOMÉTUIE.

la première et le point d’arrêt de la seconde sera la longueur cherchée.

G. — On appelle en général mesure commune de deux lignes une troisième ligne contenue exactement dans les deux premières.

Pour obtenir le rapport de deux lignes AB, CD (fig. 51), on porte la plus petite CD sur la plus grande AB , autant de fois qu’elle peut y être contenue; si elle s’y trouve comprise un nombre exact de fois , le rapport est un nombre entier, et l’opération est terminée.

Mais supposons que AB contienne 3 fois CD et un excédant EB; on portera EB sur CD, et s’il y est par exemple contenu 4 fois exactement, la ligne AB, qui contient 3 fois CD avec un excédant EB , contiendra 13 foisEB, et le rapport de CD à AB sera ; ce qui donne la proportion AB : CD: : 13 : 4. La ligne ÉB, qui se trouve renfermée 4 fois exactement dans CD cl 15 fois dans AB, est la commune mesure de ces deux lignes.

Si la ligne CD , qui contient 4 fois EB , avait en outre renfermé un excédant FD , on eût continué en portant cet ex» cédant sur EB. Par exemple, si FD était contenu 2 fois dans EB, CD qui contient 4 fois EB, avec un reste FD, renfermerait 9 fois FD; et AB, qui contient 5 fois CD, avec le reste EB, renfermerait 29 fois FD. Ainsi FD serait la commune mesure des deux lignes, et le rapport de CD à AB serait ~ ; ce qui donne la proportion AB : CD : : 29 : 9.

7. — On appelle droites commensurables entre elles celles dont le rapport est un nombre assignable , comme les lignes AB, CD (tig. 51).

8- — On appelle droites incommensurables celles dont le rapport n’est pas un nombre assignable , en d’autres termes, celles qui n’ont pas de commune mesure. Cependant le rapport de ces lignes peut être évalué avec une approximation illimitée qui équivaut à l’exactitude.

En effet , si l’on divise AB ( tig. 51 ) en un nombre quelconque de parties égales, et qu'on porte sur CD la longueur d’une partie autant de fois qu’elle peut y être contenue, il y aura un reste, puisque les deux lignes” n'ont pas de commune mesure; mais ce reste , qui est moindre qu’une division de AB, sera d’autant plus faible et plus-susceptible d’être négligé que ÀB aura été partagé en un plus grand nombre de parties égales. Par exemple, si l'on divise AB en mille parties égales ,ct si CD contient 455 de ces divisions,

le rapport de CD à AB sera 0,-435 à un millième près, c’està-dire que CD contiendra la millième partie de AB plus de 435 fois et moins de 436 fois.

g. — Quand le rapport de deux lignes A et B est égal au rapport de deux autres lignes C et D, en sorte qu’on peut établir la proportion A : B : : C : D, ou dit que les quatre lignes A, B, C, D, sont proportionnelles.

10. — Pour trouver le rapport numérique de deux arcs d’un même cercle, on emploie le procédé de superposition , comme pour les droites.

§5. Mesure des lignes droites. — Angles en général . — Lignes perpendiculaires et obliques.

1. Comment mesure-t-on une ligne droite ? Qu’est-ce que la longueur moyenne ? — 2. Qu’esl-cc qu’un angle ? Qu’appelle-t-on sommet et côtés? — 3. De quoi dépend la grandeur d’un angle? — 4. Comment désigne-t-on un angle? — 5. Qu’appelle-t-on angles opposés? angles adjacents? bissectrice d’un angle? — G. Qu’est-ce

a u’une perpendiculaire? une oblique? —7. Qu’appelle-t-on pied e la perpendiculaire et de l'oblique? — 8. Dans quel cas dit-on qu’une perpendiculaire est élevée ou abaissée sur une droite?

|.— 11 est plus difficile qu’on ne le pense de mesurer trèsexactement une ligne droite, et cette difficulté même est telle, que rarement on obtient la même longueur en recommençant l’opération : aussi lorsqu’une grande exactitude est nécessaire, il faut mesurer trois, quatre, et même cinq fois avec toute la précision possible, additionner toutes les longueurs trouvées, et diviser leur somme par le nombre de fois qu’on a mesuré. Le quotient est ce qu’on appelle la longueur moyenne.

Supposons que la vraie longueur d’une droite soit 4 ">., 558 , et que nous l’ayons trouvée de 4”»- 359 par un 4" mesurage, de 4 m ,357 par un 2 e , et de 4 "*.,3585 par un 3 e ; la somme de ces trois longueurs est 13 m ,0745, qui, divisée par 3, donne 4 ”> ,5581 pour longueur moyenne. Nous n’avons donc plus qu’un seul 10 e de millimètre d’erreur, tandis que l’erreur serait d’un millimètre ou d’un demimillfmètre en plus, si nous nous en tenions au 1" ou 5* mesurage , et d’un millimètre en moins, si nous adoptions le 2 e .

BOO GÈOStÊTRtE.

2 . — Un angle est l’inclinaison plus ou moins grande de deux droites qui se rencontrent : telle est l’inclinaison des deux droites AB , AC (fig. 10).

On appelle sommet le point de reqcontre ou d’intersection À des deux droites , et côtés les lignes AB, AC qui forment l’angle.

3 . — La grandeur d’un angle dépend, non de la longueur actuelle des côtés , mais de leur écartement. En effet, le prolongement indéfini des côtés ne change en rien l’ouverture qui constitue l’angle.

4 . — On désigne ordinairement un angle par trois lettres, celle du sommet doit occuper le milieu. Ainsi l’on dit indifféremment CAB ou BAC (fig. 10). Quelquefois aussi l’angle est désigné par la seule lettre du sommet , et l’on dit l'angle A ; mais il faut pour cela que ce sommet ne soit pas commun à plusieurs angles.

3 . — On appelle angles opposés deux angles dont chacun est formé par les prolongements des côtés de l’autre , tels que A OC et BOD , AOD et BOC (fig. 11).

On appelle angles adjacents deux angles consécutifs qui ont un côté commun , et dont les autres côtés sont mutuellement les prolongements l’un de l’autre , tels que AOC et COB , COB et BOD, BOD et DOA , DOA et AOC, pris ainsi deux à deux.

On appelle bissectrice d’un angle la droite qui partage cet angle en deux angles égaux, comme AD (fig. 10).

6. — On appelle perpéndiculaire une droite qui en rencontre une autre de manière à faire avec elle deux angles adjacents égaux, comme est la ligne PO (fig. 12). Il est évident que AB est réciproquement perpendiculaire à PO. — On dit aussi qu’une ligne est perpendiculaire à une autre, quand elle ne penche ni à droite ni à gauche de cette ligne.

On appelle oblique une droite qui en rencontre une autre de manière à faire avec elle deux angles adjacents inégaux : • telles sont les lignes GO, MO ; fig. 12). — On dit aussi qu'une ligne est oblique à une autre , quand elle penche à droite ou à gauche de cette ligne.

7. — On appelle pied de la perpendiculaire et pied de l’oblique le point de rencontre de ces lignes avec une autre ligue : tel est le point O (fig. 12).

8 — Quand la perpendiculaire est menée par un point

0(fig. 12), pris sur une droite AB, on dit qu’elle est élevée sur celle droite, et quand elle est menée par un point P pris hors d’une droite AB, on dit qu’elle est abaissée sur la droite.

Théorèmes relatifs aux perpendiculaires et aux obliques.

I® Par un point pris sur une droite, on ne peut élever qu’une seule perpendiculaire. — 2* D’un point pris hors d’une droite , on ne peut abaisser qu’une perpendiculaire. — 3° La perpendiculaire ahaissée sur une droite d’un point extérieur est le plus court chemin du point à la droite. — 4° Deux obliques qui s’écartent également de la perpendiculaire sont égales.— 6° De deux obliques qui s’écartent inégalement de la perpendiculaire, celle qui s’en écarte le plus est la plus longue. — 6° Tout point de la perpendiculaire élevée sur une droite par son milieu est également distant des deux extrémités de la droite. — 7° Tout point extérieur à la perpendiculaire est inégalement distant des deux extrémités.

1° Par un point 0 (fig. 15) pris sur une droite AB, on ne peut élever qu’une seule perpendiculaire.

En effet, pour que l’on pût élever sur AB deux pespendiculaires OP, OG , il faudrait que chacune des deux droites OP, OG, fit avec AB deux angles adjacents égaux; et alors on aurait ;

AOP = AOG , BOG — BOP.

ce qui est absurde, d’après l’axiome 2°, page 592.

2° D'un point O (fig. 16) pris hors d’une droite AB, on ne peut abaisser qu’une perpendiculaire OP.

En effet » si OG était une seconde perpendiculaire à AB , GO' devrait être en ligne droite avec GO, puisque ces deux droites seraient perpendiculaires à AB. Mais PO et PO’ faisant partie d’une droite unique, il s’ensuivrait que, par deux points O, 0’, on pourrait mener deux droites différentes, OGO’, 0P0' : ce qui est absurde.

3° La perpendiculaire OC (fig. 17), abaissée sur une droite AB d’un point extérieur 0, est le plus court chemin du point à la droite.

Ce théorème se réduit à prouver que la perpendiculaire QC est plus courte que toute oblique OD. Pour cela faisons

Manuel. —D. Supérieur. 26

fi02 GÉOMÉTRIE.

tourner la portion de figure OCD autour de AB comm

charnière, de manière à la rabattre en O'CD; nous aurons

de plus, OCO' étant une ligne droite, il en résultera :

OC + CO'<OD + DO\ ou 2 0C<2 OD; d’où, en prenant la moitié de paît et d’autre, on aura :