OD < OE ; C.Q.F.D

La réciproque est facile à démontrer.

6° Tout point E (fig. 19) de la perpendiculaire CD élevée sur une droite AB par son milieu C est également distant des deux extrémités de la droite.

En effet , menons les droites AE , BE , nous aurons :

AE=BE, puisque AC = BC.

7° Tout point F (fig. 19) extérieur à la perpendiculaire est inégalement distant des deux extrémités.

En effet, menons AF, BF; et par le point E où BF coupe CD , menons encore AE, nous aurons :

AF<AE -j-EF, ou AF<BE + EF, ou AF<BF.

Problèmes relatifs aux perpendiculaires et aux obliques.

1° Par un point pris sur une droite, élever une perpendiculaire sur celte droite — 2° D’un point pris hors d’une droite , abaisser une perpendiculaire sur celle droite. — 3° Faire passer une perpendiculaire à une droite par son milieu. — 4° Décrire sur une droite donnée, comme diamètre, une circonférence ou une . demi-circonférence.

1° Par un point O (fig. 20) pris sur une droite MN, élever une perpendiculaire sur celte droite.

Soit pris sur la droite MN , OA=OB. Des points A et B comme centres , et d’un même rayon arbitraire, mais toutefois plus grand que OA oit OB, décrivons deux arcs de cercle qui se coupent en un point C, et tirons la droite OC.

OC est la perpendiculaire cherchée, puisque le point C est également distant des deux points A et B.

2° D'un point C (ftg. 21) pris hors d’une droite , abaisser une perpendiculaire sur cette droite.

Du point C comme centre, et d’un rayon arbitraire, mais toutefois plus grand que la perpendiculaire CD, décrivons un arc de cercle qui coupera la droite MN en deux points A , B. De plus , des points A et B comme centres , et d’un même rayon arbitraire , mais toutefois plus grand que la moitié de AB, décrivons deux arcs de'cercle, et par le point d’intersection E de ces arcs , menons la droite CE.

CE sera la perpendiculaire cherchée, puisque les points C -, D, E, etc., sont également distants des points A et B.

3° Faire passer une perpendiculaire à une droite AB (ftg. 21) par son milieu.

Des points A et B comme centres et d’un rayon quelconque, pourvu qu’il surpasse la moitié de AB , décrivons des arcs de cercle qui se couperont en deux points C, E , situés, l’un d’un côté de la droite AB, et l’autre de l’autre côté; puis menons CE : CE sera la perpendiculaire cherchée, et son point D d’intersection avec la droite AB sera le milieu de celle-ci.

4° Décrire sur une droite donnée AB, comme diamètre, une circonférence ou une demi-circonférence.

L’opération ci-dessus en fait connaître le centre, qui n’est autre chose que le milieu de la droite donnée; et la moitié de cette droite est le rayon.

«ÉOMÉTRIÈ.

§ 6. Diverses sortes d’angles. — Manière de Us comparer et de les mesurer.

1. A quels principes les angles sont-ils soumis?— 2. Combien y a-til de sortes d’angles? — 3. Qu’est-ce qu’un angle droit? —

4. Qu’cst-ce qu’un angle aigu ? un angle obtus ? — 5. Qu’appellet-on angles complémentaires? angles supplémentaires? — 6. Qu’appelle-t-on angle au centre ? angle inscrit ? — 7 . Manière de comparer les angles et de les indiquer. — 8. Manière de mesurer les angles.

1 . — Les angles étant susceptibles d’augmentation et de diminution, et présentant par conséquent le caractère de véritables grandeurs, sont soumis aux mêmes principes que toutes les autres espèces de quantités, c’est-à-dire qu'on peut les comparer entre eux , les mesurer ou les rapporter à une unité commune , les évaluer ou les exprimer en nombre , les combiner par voie d 'addition ou de soustraction, les multiplier, les diviser, etc..

2. — Il y a trois sortes d’angles , savoir : Y angle droit , Vangle aigu et l’ angle obtus.

5. — On appelle angle droit tout angle formé par deux lignes perpendiculaires l’une à l'autre : tels sont les angle» AOP, POB (fig. 12). L’angle droit est pris pour unité des angles.

4. — On appelle angle aigu celui qui est plus petit qu’an angle droit, comme GOB (fig. 12), et angle obtus, celui qui est plus grand qu'un angle droit, comme MOB. On voit que ces deux sortes d’angles sont formés par des lignes obliques l'une à l’autre.

8. — Deux angles adjacents AOJI, MOP (fig. 12), dont la somme est égale à un angle droit, sont dits compléments l’un de l’autre , ou complémentaires, parce qu’ils complètent à eux deux un angle droit ou 90 degrés.

Deux angles adjacents AOM, MOB, dont la somme est égale à deux angles droits , sont dits suppléments l’un de l’autre, ou supplémentaires, parce que l’un d’eux est exactement ce qui manque à l'autre pour valoir deux angles droits ou 180 degrés.

6. — On appelle angle au centre l’angle dont le sommet est au centre et dont les côtés sont des rayons, comme

ADC (fig. 13); on nomme angle inscrit l’angle qui a son sommet à la circonférence, et qui est formé par deux cordes comme ABC.