Manière de comparer les angles el de les indiquer. O

Supposons que le côté AB de l'angie ABC (fig. .13 ) ait d’abord été appliqué sur le côté BC, et qu’ensuite il se soit écarté de cette droite, en tournant autour du point B jusqu’à ce qu’il ail formé l’angle ABC. Il est clair que l’extrémité A de AB n’a pu passer de C en A sans décrire un arc de cercle. L’arc CA ne saurait avoir pour centre le point B, son centre est en 1). Il est clair aussi que si l’angle ABC augmente ou diminue, c'est-à-dire que si AB s’éloigne ou se rapproche de BC, l’arc augmentera ou diminuera dans la même proportion.

Celle dépendance constante et réciproque de l'angle et de l’arc fait que , pour indiquer un angle, on peut se servir de l’arc qui lui correspond; mais il faut observer qu’un arc compris entre les côtés d’un angle n’est plus l'indication de cet angle , s’il n’a pas le sommet de l'angle pour centre.

H n’est pas nécessaire de mesurer les angles pour les comparer. Un angle est la moitié, le tiers, le triple, etc., d’un autre , si son arc d'indication est la moitié , le tiers , le triple, etc., de l’arc d'indication de cet autre, et que les deux arcs soient décrits du même rayon.

8 ■ — Manière de mesurer les angles.

On ne peu^pas mesurer les angles avec l’unilé ordinaire de superficie, attendu qu’ils présentent une superficie indéterminée, tandis que le mètre carré et l’are sont limités; la mesure des angles doit donc être un angle. Celui qui est adopté a pour arc d’indication la 500 e partie d'une circonférence quelconque décrite du sommet : c’est ce qu'on appelle angle d’un degré ( p. 595).

Ainsi lorsqu’on dit un angle de 10 degrés, de 90 degrés, etc., non-seulement on exprime que l’arc d’indication contient 10 fois, 90 fois, etc., la 360" partie d’une circonférence, mais encore que cet angle vaut 10 fois, 90 fois, etc , l’angle d’un degré. L’indication d’un angle donnée en degrés fait donc connaître en même temps et le nom et la grandeur de cet angle.

L’angle droit vaut 90 angles d’un degré : il a pour mesure, ou plutôt pour indication , le quart de la circonférence entière qui vaut 360 degrés.

On peut- s’en, servir pour y rapporter les autres angles :

606 GÉOMÉTltlfc.

ainsi , un angle de 50 degrés sera les 5/9**" d'un angledroit.

Dans la pratique , on se sert pour mesurer les arcs, et par suite les angles, d’un instrument appelé rapporteur (fig. 14) : c’est un demi-cercle dont le limbe ou bord est divisé en 180 degrés. Si l’on place le sommet de l’angle à mesurer au centre même du rapporteur, il est évident qu’on trouvera sur le limbe l’indication de la grandeur de l’arc compris entre les côtés de l’angle, et par conséquent la mesure en degrés de cet angle.

Théorèmes relatifs aux angles.

1° Les angles adjacents formés par deux droites concourantes sont supplémentaires. — 2° Lorsque deux angles consecutifs sont supplémentaires, les côtés extrêmes sont en ligne droite. — 3" Les angles opposés formés par deux droites qui se coupent sont égaux deux à deux. — 4° Tout point pris sur la bissectrice dun angle est également distant des deux côtés de cet angle. — 5° Tout point situé dans l’angle, et extérieur à la bissectrice, est inégalement distant des mêmes côtés. — 6° Tous les angles droits sont égaux.

4° Les angles adjacents AOM , MOB (lig. 12) formés par les deux concourantes AB , MO sont supplémentaires.

En effet, si par le point de rencontre O, on élève sur AB la perpendiculaire OP, la somme des angles AOM, MOB sera identique avec la somme des deux angles droits AOP, POB.

C'est ce qu’on exprime encore ainsi :

Toute ligne droite CO (fig. 24) qui en rencontre une autre AB obliquement fait avec elle deux angles adjacents AOC, COB, dont la somme est égale à deux angles droits.

En effet, si par le point de rencontre O, on élève sur AB la perpendiculaire OD, la somme des deux angles AOC, COB sera identique avec la somme des deux angles droits AOD , DOB.

1 er Corollaire. La somme de tous les angles consécutifs AOC , COD , DOE , EOB (fig. 25) que l’on peut former en un même point O et du même côté d’une droite AB , est constamment égale à deux anglès droits.

Pour le démontrer, il suffit d’éiever sur AB la perpendiculaire OF.

2* Corollaire. La somme des 4 angles formés par

deux droites AB , F.G (tig. 25) qui se coupent est égale à 4 angles droits.

Pour le démontrer, il suffit d’abaisser la perpendiculaire OH.

3 e Corollaire. La somme de tous les angles consécutifs ÀOB, BOC, COD (fig. 20) formés autour d’un

même point O dans un plan est constamment égale à 4 angles droits.

Ce corollaire est une conséquence des deux précédents.

2° Réciproquement, lorsque deux angles consécutifs AOM, MOB (fig. 12î sont supplémentaires , les côtés extrêmes AO, OB sont en ligne droite.

En effet, supposons que OB ne soit pas le prolongement de AO en ligne droite, et dans celle hypothèse, soit OB' ce prolongement, on aurait alors (n° 1°, 1 er coroll.) :

AOM -f MOB' — 2 droits.

mais on a déjà par hypothèse :

A0M-J-JI0B=2 droits ;

d’où il résulterait AOM-{-MOB'— AOM-f-MOB; ou simplement MOB=MOB' : ce qui est absurde.

3° Les angles opposés AOC et BOD (fig. 11), AOD et BOC, formés parqfeux droites AB, CD , qui se coupent sont égaux deux à deux.

En effet , deux angles opposés quelconques , tels que AOC et BOD, sont toujours à la fois supplémentaires d’un même, angle AOD ou BOC.

Réciproquement, si les angles AOC et BOD sont égaux d’une part, ainsi que les angles AOD et BOC de l’autre, leurs côtés AO et OB seront en ligne droite , ainsi que leurs côtés CO et OD; car, d’après l’hypothèse, la somme de deux angles consécutifs quelconques sera égale à deux droits.

4° Tout point E (fig. 103) pris sur la bissectrice AD d’un angle BAC est également distant des deux côtés de cet angle.

En effet, abaissons sur AB et sur AC les perpendiculaires respectives EG, El, et plions la figure suivant AD: les droites AB, AC, coïncideront, puisque les angles BAD, CAD sont égaux par hypothèse, et par conséquent les perpendiculaires EG, El se confondront pareillement.

5° Tout point F (fig. 103) situé dans l’angle, et extérieur à la bissectrice, est inégalement distant de ses côtés.

En effet, abaissons sur AB et sur AC les perpendiculaires FK , FI, et plions la figure suivant AF; les droites AK , FK , prendront respectivement des positions telles que AC , FL. Soit M le point d’inserseclion des droites FI et AL , nous aurons :

FL < FM, et FM<FI ;

donc à fortiori :

FL<FI, ou FK<FI.

6° Tous les angles droits sont égaux.

En effet, la droite AB (fïg. 25) partage le plan des deux droites AB, CD en deux moitiés superposables ; déplus, les angles AOC, BOC sont égaux d’après les définitions de l’angle droit et de la perpendiculaire. Mais la droite CD partage aussi le plan en deux moitiés superposables; donc l’angle AOD = BOC , et par conséquent les quatre angles droits formés autour du point O comme sommet commun, sont égaux.

Cette proposition ne doit pas s’entendre seulement des angles formés par deux droites perpendiculaires entre elles en un point O, mais encore de tous les angles droits possibles, quels que soient leurs sommets respectifs O, O'

§ 7. Intersection de la ligne droite atec le cercle. — Propriétés des cordes , des sécantes et des tangentes.

Théorèmes sur les cordes, les sécantes el les tangentes.

1 ° Une droite et une eirconférence de cercle ne peuvent se rencontrer en plus de deux points. — 2° Le milieu d’une corde el les milieux des arcs correspondants sont toujours sur un même diamètre perpendiculaire à la corde. — 3° Une tangente ne peut rencontrer la circonférence en plus d’un point. — 4° La perpendiculaire élevée à l'extrémité d’uu rayon est tangente en ce point à la circonférence. — 6° Dans un même cercle ou dans des cercles décrits du même rayon, si les arcs sont égaux, les cordes sont égales, et réciproquement. — 6° Dans un même cercle, un plus grand arc est sous-entendu par une plus grande corde, et réciproquement. — 7° La plus petite corde que l’on puisse mener à un cercle par un point intérieur dillérenl du centre est la perpendiculaire au diamètre qui passe par ce point.

1° Une droite et une circonférence ne peuvent 'se rencontrer en plus de deux points.

En effet , les rayons menés au point commun sont des droites égales, et il ne peut y en avoir plus de deux; sans quoi il existerait au moins, soit deux obliques égales d'un même côté de la perpendiculaire, soit une oblique égale à cette perpendiculaire.

2° Le milieu M (fig. 38) d’une corde AB, et les milieux N, D, des arcs correspondants sont toujours sur un même diamètre perpendiculaire à la corde.

En effet, on voit d’abord que le diamètre mené par le milieu N de l’arc BNA, passe aussi par le milieu D de l’arc BDA , restant de la circonférence, ainsi que par le milieu il de la corde commune.

En second lieu , puisque, dans la supposition des demicercles NBD,NAD, les demi-cordes MB, MA prennent la même direction , il s’ensuit que le diamètre NCD et la corde AB sont perpendiculaires.

4 re Réciproque. Le rayon perpendiculaire à une corde divise cette corde et les arcs correspondants chacun en deux parties égales.

2 e Réciproque. La perpendiculaire élevée sur une corde et par son milieu contient les milieux des arcs correspondants, ainsi que le centre.

3° La tangente IG ne peut rencontrer la circonférence en plus d’un point (fig. 0).

Cela résulte de sa définition (p. 393).

4° La perpendiculaire IG (fig. 6) , élevée à l’extrémité d’un rayon OH, est tangente en ce point à la Circonférence.

Tout autre point D de la perpendiculaire IG est plus distant du centre que le point H : donc la perpendiculaire IG n’a que le point II de commun avec la circonférence; donc elle lui est tangente en ce point.

1 re Réciproque. La tangente est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de tangence.

En effet, tout autre point de la tangente est plus distant du centre que du point de tangence; donc, etc.

2 e Réciproque. La perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente passe par le point de tangence.

3 e Réciproque. La perpendiculaire élevée au point de tangence sur la tangente passe par le centre.

K>^0 ISOMÉTRIE.

5° Dans un mime cercle ou dans des cercles décrûs du même rayon, si les arcs sont égaux, les cordes sont égales.

Soit l’arc AMB=l’arc CND (fig. 7), la corde AB sera égale à la corde CD.

En effet, menant le diamètre IL par le milieu de l’arc BC, le demi-cercle 1CNDL peut s’appliquer exactement sur le demi-cercle IBMAL; or, d’après l’hypothèse, il est clair que le point C tombera sur le point B, et le point D sur le point A; les deux arcs se couvriront parfaitement, ainsi que les deux cordes, et par conséquent la corde AB= la corde CD. — C. Q. F. D.

Réciproquement, si les cordes sont égales , les arcs sont égaux.

Soit la corde AB = la corde CD (fig. 7), l’arc AMB égalera l’arc CND.

En effet, en superposant les deux cordes, le pointe tombe en B et le point D en A. puisque les cordes sont égales. Tous les points de l’arc CND coïncident avec tous les points de l'arc BMA , car si l’un d’eux tombait en dehors ou en dedans, il ne serait plus à la même distance du centre que les autres, et ne ferait point partie de la circonférence.

6° Dans un même cercle, un plus grand arc est soustendu par une plus grande corde, et réciproquement.

(On suppose dans cet énoncé que les arcs ne dépassent pas une demi-circonférence.)

Ainsi la corde AI (fig. 7) de l’arc AMI est>la corde AB de l’arc AMB (théor. 5°), et réciproquement l’arc AMI est> l'arc AMB.

Il en résulte encore le moyen de construire un arc égal à un arc donné.

Soit l’arc AB donné (fig. 8 et 9) ; au point C avec un rayon égal à DA, je décris un arc indéfini EF; je prends la distance AB , corde de l’arc AB , et je la porte de F en G; le point G détermine l’arc FIIG, qui doit être égal à l’arc AB, puisqu'ils ont tous deux une corde égale.

7° La plus petite corde que l’on puisse mener à un cercle par un point intérieur I (fig. 405), différent du centre , est la perpendiculaire CI) au diamètre AB, qui passe par ce point.

En effet, soit MN une autre corde quelconque passant par le même point , et OK , sa distance au centre O ; la perpendiculaire OK étant plus courte que l’oblique 01, il s’ensuivra que MN >CD ; ce q'tfil fallait démontrer.

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§ 8. Perpendiculaire Élevée ou abaissée au moyen de (a règle et du compas. — Partage d’une droite , d’un arc de cercle ou d'un angle en deux parties égales.

Problèmes sur les perpendiculaires élevées ou abaissées au moyen de la règle et du compas.

1» fclever ou abaisser une perpendiculaire au moyen de la réglé et du compas. — 2° Mener une tangente à un cercle par un point pris sur la circonférence ou au dehors.

1° Élever ou abaisser une perpendiculaire an moyen de la règle et du compas.

Pour élever ou pour abaisser une perpendiculaire graphiquement (p. 601), c’est-à-dire au moyen de la règle et du compas, on irace avec la règle les lignes et l'on décrit avec le compas les arcs de cercle, comme il a été dit pour le procédé géométrique ( p. 605). Le procédé graphique n’a donc rien de particulier dans la construction des perpendiculaires.

â° Mener une tangente à uncerclepar un point pris sur la circonférence ou au dehors.

Si le point donné est sur la circonférence, on mène un rayon par ce point, et l’on élève une perpendiculaire à l’extrémité de ce rayon : ce sera la tangente demandée (p. 609).

2° Si le point donné A (ftg. 41 ) est hors de la circonférence, on mène par ce point et le centre O du cercle la ligne AO ; on divise la ligne AO en deux parties égales au point C ; du point C comme centre et du rayon OC, on décrit un cercle qui coupe la circonférence donnée en deux points S et T s on tire AS, AT, et chacune de ces lignes perpendiculaires aux rayons OS, OT, sera tangente à la circonférence donnée ( p. 609 ).

Théorèmes et problèmes relatifs au partage d’une droite, d’un arc ou d’un angle en parties égales.

i° Toute perpendiculaire à une corde en son milieu passe par le centre du cercle el par le milieu de l’arc sous-tendu par cette corde. — 2° Si l’on prolonge l’un des côtés d’un angle droit, l’autre côté formera avec le prolongement un autre angle droit. — 3° Partager une droite en trois parties égales. — 4° Par-

tager un angle et un arc en deux parties égales. — û» Trouver le centre d’une circonférence ou d’un arc de cercle. — G° Faire passer une circonférence par trois points donnés (non en ligné droite) ?

Toute perpendiculaire CN à une corde AB en son milieu passe par le centre du cercle et par le milieu de l’arc sous-tendu par cette corde ( fig. 38).

En effet , puisque CN est une perpendiculaire sur Je milieu de AB (p. 609, n° 2), le point C est à égale distance des points A et B; d’ailleurs, AC et CB sont égaux comme rayons : donc la perpendiculaire menée par le milieu d’nne corde passe par le centre.

D'un autre côté, puisque le point N appartient à la perpendiculaire CN, il est à égale distance des points A et B , et ANzzNB : donc AN et NB sont des cordes égales; donc les arcs sous-tendus AON, NPB sont égaux; donc la perpendiculaire passe par le milieu de l'arc sous-tendu par la corde AB.

2° Si l’on prolonge l’un des côtés AB d’un angle droit ABC (fig. 22) l’autre côté BC forme avec le prolongement BD un autre angle droit CBD.

En effet, décrivons du point B une demi-circonférence qui se termine au diamètre AD. L’arc AC sera l'indication de l’angle ABC, et comme cet angle est supposé droit, AC sera le quart de la circonférence ou la moitié de la demicirconférence ACD. L’arc CD sera donc l’autre moitié ou un autre quart de la circonférence , et comme l’arc CD est l'indication de l'angle CBD , cet angle est droit aussi.

Donc une droite ne peut faire un angle droit avec une autre droite sans former un second angle droit avec le prolongement de celte droite.

3° Partager une droite AB (fig. 50) en trois parties égales. «

Menons par une des extrémités une droite quelconque AC, et portons dessus une longueur telle, que la somme AD des (rois parties soit sensiblement plus longue que AB; joignons Dà B; décrivons de A, avec AD, un arc qui aille couper le prolongement de DB au point E, et joignons le point A au point E,- nous aurons AE = AD, et par conséquent nous pourrons porter exactement sur AE les trois parties de AD. Si maintenant nous unissons les points de division F et G, H et I par des droites, elles seront parallèles, puisqu'elles partageront les concourantes AD, AE en parties égales (p. 617), et les divisions AK, Kl., I.B ,

G0OBKTRIE. 615

formées par ces parallèles sur AB, seront égales , puisque AB concourt au même point que AD et AE.

4° Partager un angle AOB et un arc ACB en deux parties égales ( fig. 59).

Du sommet O comme centre et d’un rayon quelconque OA, décrivons l’arc AOB, terminé aux deux côtés de l’angle en A et en B; marquons un point quelconque k à égale distance des points A et B; enfin, menons OK.

La droite OK sera la bissectrice cherchée.

En effet, si l'on mène la corde AB, la droite uk sera perpendiculaire sur son milieu. Par conséquent, celte droite partage l’arc ACB et l’angle correspondant AOB en deux parties égales.

5° Trouver le centre d’une circonférence ou d’un arc de cercle.

Marquons deux points A, B (fig. 40) sur la circonférence, et traçons la droite CD perpendiculaire sur le milieu de AB. Prenons un troisième point E et traçons la droite FG perpendiculaire sur le milieu de la corde BE ; le centre des deux arcs et du cercle se trouvera au point O d'intersection des droites CD, FG, puisque ces droites sont perpendiculaires aux milieux des cordes.

U° Taire passer une circonférence par trois points donnés ( non en ligne droite).

Soient les trois points donnés A, B, E (fig. 40). On opère sur ces trois points comme dans la construction du problème précédent, et, le centre O trouvé, il ne reste plus pour décrire le cercle qu’à prendre comme rayon la distance AO, ou BO,ou EO. Ces trois distances sont effectivement égales : car le point O, appartenant à la perpendiculaire au milieu delà corde AB, est également éloigné de A et de B; appartenant à la perpendiculaire au milieu de la corde BE, il estfogalement éloigné de B et de E. Donc, etc.

§ 9. Théorie des parallèles.

j . Qu’appellc-t-on lignes parallèles, et comment peut-on constater la possibilité de ces lignes? — 2. Qu’appelle-t-on bande ? — 3. Qu’appelle-l-on ligne transversale ? — 4. Quel nom donnet-ou aux diiïcrcnts angles formés par une transversale qui rencontre deux droites quelconques parallèles ou concourantes? — 6. Quelle est la théorie des parallèles d’après Bertrand de Ge- «ève?