Il ne faut qu’une chose pour déterminer un carré

Tracer un carré dont le côté L est connu.

Tirons deux droites, AC, 6D (fig. 79), qui se coupent à angle droit ; décrivons de leur intersection E, avec un rayon quelconque, un arc qui les coupe aux points F, G; prenons FH = L; menons par H une parallèle à BD jusqu’à AC, et par A une parallèle à FH jusqu’à BD, nous aurons AB— FH=L. Si maintenant nous rapportons BA de B en C par un arc décrit de B, et de A en I) par un arc décrit de A , en joignant C, D, la figure ABCD sera un carré , car EA = EB.

15. — 1° Deux trapèzes sont égaux, lorsque les côtés de l’un sont égaux aux côtés correspondants de l’autre.

2° Deux parallélogrammes sont égaux lorsqu’ils ont un angle égal compris entre des côtés égaux chacun à chacun.

3° Deux rectangles sont égaux lorsqu’ils ont même base et môme hauteur.

4° Deux carrés sont égaux lorsqu'il y a égalité entre le côté de l’un et le côté de l’autre.

Les applications du rectangle sont nombreuses : l’emplacement d’un édifice est ordinairement un rectangle ; dans l’arpentage, on a souvent occasion de mesurer ou de construire des rectangles.

Les applications du losange sont fréquentes dans les arts à cause de ses formes régulières : on s'en sert dans les papiers de tenture, dans les dessins des étoffes, dans la menuiserie , etc.

Théorèmes sur les •parallélogrammes.

1® Dans tout parallélogramme les angles opposés sont égaux deux à deux, et réciproquement, si les angles opposés d’un quadrilatère convexe sontégaux deux à deux, la ligure est un parallélogramme. — 2° Dans tout parallélogramme les côtés opposés sont égaux deux à deux. — 3° Si les deux côtés opposés d’un quadrilatère sont égaux deux à deux, ce quadrilatère est un parallélogramme. — 4° Si deux côtés opposés d’un quadrilatère sont égaux et parallèles , le quadrilatère est un paroTlélograronic. —

Gio - Gr’OMÉTIUE.

'5° Les diagonales d’un parallélogramme se coupent mutuellement en parties égales, et réciproquement, si les diagonales d’un quadrilatère sc coupent mutuellement en deux parties égales, la figure est un parallélogramme.

1" Dans tout parallélogramme ABCD (fig. 76) , les angles opposés sont égaux deux à deux.

Eu effet , d’après les propriétés des parallèles coupées par une transversale, il résulte que dans tout parallélogramme, deux angles adjacent* à un même côté sont supplémentaires ; ainsi, par exemple:

A -+• B =2 droits, et B + C — 2 droits ;

d'où il résulte que

A =C, et par suite B — D.

Réciproquement : si les angles opposés d’un quadrilatère convexe sont égaux deux à deux , la figure est un parallélogramme.

En effet, la somme des 4 angles valant 4 droits, il s'ensuit que les angles adjacents à un même côté sont supplémentaires; donc les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

2° Dans tout parallélogramme ABCD (fig. 76) les côtés opposés sont égaux deux à deux.

En effet , menons la diagonale DB : nous formerons ainsi deux triangles ABD, CDB, ayant un côté commun I)B; de plus l’angle ABD = BDC, et l’angle ADB =: DBG ; donc les deux triangles sont égaux; donc AB = DC, et de même AD=rBC.

3° Si les deux côtés opposés d’un quadrilatère ABCD (fig. 76) sont égaux deux à deux , ce quadrilatère est «n parallélogramme.

En effet, en menant la diagonale DB , on forme des triangles égaux entre eux comme ayant les côtés égaux chacun à chacun : donc l’angle ABD = BDC ; donc AB est parallèle à DC ; de même l’angle ADB = DBG : donc AD et BC sont parallèles ; donc la ligure est un parallélogramme.

4° Si deux côtés opposés AB, DC (fig. 76) d’un quadrilatère ABCD. sont égaux et parallèles, le quadrilatère est un parallélogramme .

La diagonale DB détermine deux triangles ADB,DBC, qui . * sont égaux comme ayant un angle égal compris entre des

côtés égaux chacun à chacun. En effet, AB et DG étant parallèles, les deux angles ABD et BDCsont égaux; de plus ABr=DC,elDB est commun. 11 résulte de là que l’angle ADB = DBC ; d’où il suit que AD et BC sont aussi parallèles : donc, etc.

5° Les diagonales d’un parallélogramme ABCD (lig. 7t>) se coupent mutuellement en parties égales.

Soit G le point d’intersection des deux diagonales; les deux triangles AGB, CGDsont égaux, comme ayant un côté égal AB = i)C, adjacent à des angles égaux chacun à chacun ; donc :

* AG = GC et BG = GD.

Réciproquement : si les diagonales d’un quadrilatère se coupent mutuellement en deux parties égales , la figure est un parallélogramme.

En effet, de AG:=GC et BG = GD on déduit que les triangles AGB. CGD sont égaux comme ayant un angle égal (l’angle en G) compris entre des côtés égaux chacun à chacun ; donc :

AB = DG et AD =BC.

Théorèmes sur les losanges.

Les diagonales d’un losange se coupent à angle droit, et réciproquement, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en parties égales et à angle droit, la Ggure est un losange ou un carré.

Les diagonales d’un losange ABCD (fig. 77) se coupent à angle droit , et réciproquement. En effet, dans les deux triangles AGD, AGB, on a :