AD=AB, GD=GB

et de plus. AG est commun : donc les deux triangles sont égaux ; donc AGD — AGB ; donc, etc.

Réciproquement : si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en parties égales et à angle droit, la figure est un losange ou un carré.

En effet, chaque diagonale partage alors le quadrilatère en deux- triangles isocèles.

Théorèmes sur les rectangles.

Les diagonales d’un rectangle sont égales, et réciproquement , si les diagonales d’un quadrilatère se coupent mutuellement en parties égales, ce quadrilatère est un rectangle.

Les diagonales d’un rectangle ACDE { fig. 78) sont égales.

En effet , comparons, les deux triangles DEÀ, CAE : ils ont un angle égal (l’angle droit E = A) ; de plus ED = AC et EA est commun : donc les deux triangles sont égaux, et F.C = AD.

Réciproquement : si les diagonales d’un quadrilatère se coupent de manière que les quatre parties soient égales, ce quadrilatère est un rectangle.

En effet, il résulte de l’hypothèse que les 4 triangles qui composent le quadrilatère sont isocèles; d’où il suit que chaque diagonale partage cette figure en deux triangles rectangles.

§19. Diverses espèces de polygones. — Décomposition des polygon.es en triangles.

J. Combien un polygone peut-il avoir de côtés? — 2. Quelles sont les principales espèces de polygones d’après le nombre de leurs côtés? — 3. Qu est-ce qu’un polygone convexe ? un polygone concave? — 4. Combien distingue-t-on de sortes d'angles dans un polygone? En quoi peut-on décomposer un polygone d’un nombre quelconqée de côtés? — 5. Comment se fait la décomposition d’un polygone en triangles ? — C. Qu’appelle-t-on polygone régulier? Quelles sont les trois espèces de polygones réguliers? — 7. Qu’appelle-t-on centre, rayon et apothème d’un polygone régulier ? — 8. Qu’appelle-t-on angle au centre d’un polygone régulier ? — 9. Quelle est l’indication de l’angle inté— 'rieur d’un polygone régulier? l’indication de l’angle au centre?

1. — Un polygone ne peut avoir moins de trois côtés (p. 623) ; mais il peut en avoir un nombre indéfini.

îi. — Les principales espèces de polygones, d’après le nombre de leurs côtés (outre le triangle et le quadrilatère), sont 1 e pentagone ou polygone de 5 côtés; l 'hexagone , de 6 côtés ; Y heptagone, de 7 côtés ; Y octogone, de 8 côtés ; le décagone, de 10 côtés, etc.

Quant aùx autres polygones, on peut les désigner par le nombre de leurs côtés , et dire un polygone de 14, de 16, «le 18 côtés, etc.

5. — Un polygone est dit convexe , lorsqu’il n’existe aucune droite autre que ses côtés qui puisse avoir avec son périmètre ou contour plus de deux points communs, ou, ce qui revient au même, lorsqu’aucun de ses côtés, même indéfiniment prolongé, ne peut rencontrer le reste de ce périmètre. Au contraire, un polygone est dit concave, lorsqu’il ne présente pas ce caractère.

4. — On distingue dans un polygone deux sortes d’angles : les angles saillants et les angles rentrants. Un angle est dit suillant, tel que ABC (fig. 111), ou rentrant, tel que BCD, suivant que le triangle déterminé parles extrémités \ f B, C, ou B, C, D, des deux côtés qui comprennent cet angle appartient à l’intérieur ou à l’extérieur du polygone.

De même que l’on peut, en menant une diagonale, décomposer en deux triangles un quadrilatère simple ou concave , de même on peut toujours décomposer en triangles un polygone d’un nombre quelconque de côtés.

o. — La décomposition d’un polygone convexe en triangles se fait en menant par l’un des sommets A (fig. 71) des diagonales à tous les autres, excepté les deux sommets B, E, consécutifs du premier : le polygone se trouve alors partagé en autant de triangles, moins deux , qu’il y a de côtés, puisqu’on prenant le point A pour sommet commun de tous les triangles, chaque côté du polygone, à l’exccptrôn des deux extrêmes AB et AE, sert de base à un triangle.

6. — On appelle polygone régulier tout polygone qui est en même temps équilatéral et équiangle.

Dans le triangle, ces deux conditions ne peuvent pas être .remplies l’une sans l’autre : on est donc sûr qu’un triangle est régulier, dès que l’on sait ou qu’il est équilatéral ou qu’il est équiangle. Mais il n’en est pas de même quand le polygone a plus de 5 côtés : ainsi le losange proprement dit est équilatéral sans être équiangle, et le rectangle en géné r rai est équiangle sans, être équilatéral ; le carré seul , parmi les quadrilatères , satisfait aux deux conditions à la fois. .

Outre le triangle régulier et le quadrilatère régulier, on obtient encore ['hexagone régulier, en réunissant autour d’un même point O (fig. 88) ske triangles réguliers, puisque l’angle de celte dernière figure vaut f ou le 6 e de 4 angles droits.

Digitiz

7. — On appelle centre d’un polygone régulier le point O (fig. 88), qui sert de sommet commun à tous les triangles de ce polygone ; rayon, chacune des droites égales, OA, OB, OC, et apothème, chacune des perpendiculaires OH, OK..., abaissées du centre O sur les côtés.

0. — On appelle angle au centre d’un polygone régulier, chacun des angles égaux formés par deux rayons consécutifs.

9. — Pour trouver l’indication de l'angle intérieur d’un polygone régulier, on ôte 2 unités du nombre total des angles ; on multiplie le reste par 180°, et l’on a la somme des indications de tous ces angles. Or ils sont égaux, puisque le polygone est régulier; si donc on divise le produit par leur nombre, le quotient sera l'indication d’un seul.

Soit le pentagone ABCDE ; en multipliant 180° par 5 — 2 ou 3, on a 510, qui , divisé par 5, donne 108° pour indication. de chaque angle. L’indication de l’angle au centre de 360° divisés par 5, ou 72° : l’arc AGB est, en effet, la 5 e partie de la circonférence.

Théorèmes sur les polygones.

I® A quoi est égale la somme des angles intérieurs d’un polygone convexe ? — 2° A quoi est égale la somme de tous les angles extérieurs d’un polygone convexe dont tous les côtés ont été prolongés dans le même sens? — 3° Quand deux polygones sontils égaux? — 4° Tout polygone régulier est décomposable en 'autant de triangles isoreles égaux qu’il a de côtés. — 5° Deux polygones réguliers sont égaux, lorsqu’ils portent le môme nom et que le côté de l’un égale le côté de 1 autre. — C° A tout polygone régulier on peut circonscrire un cercle. — 7° A tout polygone régulier on peut inscrire un cercle.

1° La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe est égale à autant de fois 2 droits qu’il y a d’u~ nités dans le nombre des côtés diminué de deux.

' Eu effet, si de l’un des sommets on mène des diagonales à tous les autres (fig. 71), le polygone se trouvera décomposé en aillant de triangles, moins deux, qu’il y a de côtés ; or la somme des angles du polygone étant égale à la somme des angles de ces triangles , et la somme des angles de chaque triangle étant égale à 2 droits, il s’ensuit que la somme des angles du polygone est égale à autant de fois 2 droits qu’il a de côtés moins deux.

2° Dans un polygone convexe quelconque ABCDE (fig. 71 ),

MOMÉTRIE. G 15

si l’on prolonge tous les côtés dons le même sens, la somme des angles extérieurs MB, oBC, ftCD, cDE, dEA, qui en résultent, est égale d 4 droits.

En effet, MB -4- BAE == 2 droits.

aBC 4 - CBA = 2 tCD -|-DCB=2

D'où il résulte que la somme de tous les angles du polygone , augmentée de la somme des angles extérieurs , est égale à autant de fois 2 droits qu’il y a de eôtés dans le polygone. Ainsi la somme totale surpasse la somme des angles du polygone de 4 droits; donc la somme des angles extérieurs est égale à 4 droits.

3° Veux polygones sont égaux, lorsqu’ils sont composés d’un même nombre de triangles égaux chacun à chacun et assemblés de la même manière.

Car si l’on .fait coïncider deux à deux les triangles égaux, les polygones dont ils sont composés coïncideront aussi.

Deux polygones sont encore égaux, lorsqu’ils ont tous • leurs côtés égaux chacun à chacun , ainsi que leurs angles correspondants.

On démontre facilement que ces polygones sont superposables comme le sont des triangles dans les mêmes conditions.

4° Tout polygone régulier ABCDEF (fig. 88) est décomposable en autant de triangles isocèles égaux qu’il y a de côtés.

En effet, menons des droites qui partagent respectivement en six parties égales les angles A, B, C, D... du polygone : nous obtenons ainsi une série de triangles qui ont respectivement pour base les côtés AB, BC, CD ; or tous ces triangles sont isocèles, puisque, les angles A, B, C, étant égaux, leurs moitiés sont aussi égales, et les mêmes triangles sont égaux entre eux, puisqu’ils ont un côté égal, ainsi que les angles adjacents à ce côté.

Comme d’ailleurs ces triangles sont contigus deux 5 deux, il s’ensuit nécessairement qu’ils ont leurs sommets en un même point O intérieur au polygone; ce qui prouve que le polygone est l’ensemble de tous ces triangles.

î>* Deux polygones réguliers sont égaux, lorsqu’ils portent le même nom et que le côté de l’un égale le côté de l’autre.

En effet, tous les angles et tous les côtés du premier sont

6tG • GÉOMÉTRIE.

alors égaux aux angles el aux côtés du second : d’où il suit que les deux figures coïncident exactement.

6° A tout polygone régulier ABCD (fig. 88), on peut circonscrire un cercle.

En effet, les rayons du polygone régulier OA, OB, OC, OD...., sont tous égaux entre eux ; donc si du centre O et d’un rayon OA, on décrit une circonférence, cette circonférence passera par tous les points A, B, C, D....: donc le polygone régulier est inscriptible.

7° A tout polygone régulier ABCD...., on peut inscrire un cercle.

Eu effet, les apothèmes OH, OE, OL...., sont tous égaux entre eux ; donc si du même centre O, et d’un rayon OH, on décrit une circonférence , elle passera par tous les points H, K, l„...., et de plus elle touchera les côtés AB,

• BC , CD.... ; donc le polygone régulier est circonscriplible.

. Problèmes sur les cas particuliers du carré, de l’hexagone el du triangle équilatéral.

1* Inscrire dans un cercle uu carré. — 2° Circonscrire un carré

inscrit. — 3° Inscrire dans un cercle et circonscrire à un cercle

un hexagone régulier. — 4° Inscrire dans uu cercle et circonscrire à un cercle un triangle équilatéral.

1° Inscrire dans un cercle un carré.

Menons le diamètre AB (fig. 86) ; des points A et B, avec un rayon arbitraire, mais toutefois plus grand que AO, décrivons deux arcs de cercle qui se coupent au point E ; joignons E à O et prolongeons EO jusqu’à la rencontre de la circonférence en C. En tirant les quatre lignes DB, DA, CB,- CA, nous aurons le carré inscrit ACBD.

2° Circonscrire un carré inscrit.

Soit le carré ACBD (fig. 86)'; des points B et D, avec le même rayon arbitraire, décrivons deux arcs de cercle qui se coupent en F ; joignons F à O ; la ligne FO déterminera le point C ; faisons la même chose pour les autres points. pris deux à deux du carré inscrit, et par les quatre points ainsi déterminés, menons des tangentes à la circonférence : nous aurons le carré circonscrit I’EllS.

On l’aurait obtenu de même en prolongeant les rayons qui passent par les sommets des angles du polygone inscrit,

et en menant des parallèles à tous les côtés de ce même polygone.

5° Inscrire dans tin cercle un hexagone régulier. .Menons le rayon OA (fig. 88), et du point A portons-le six fois-sur la circonférence ; eu joignant les six points ainsi déterminés, on aura l’hexagone régulier ABCDEF.

On voit par là que le côté d’un hexagone régulier inscrit est égal au rayon.

La circonscription d’un hexagone à un cercle n’offre aucune difficulté.

4° Inscrire dans un cercle un triangle équilatéral. Menons le diamètre AB ( tig. 85) , et du point B comme centre , avec une ouverture de compas égale au rayon , décrivons un arc de cercle qui coupe la circonférence aux points G, D. Les lignes DC, DA, CA, formeront le triangle équilatéral inscrit.

Problèmes sur la manière de doubler les côtés d'un polygone régulier, inscrit et circonscrit.

1° Construire un polygone égal à un polygono donné. — 2° Etant donné un polygone régulier inscrit à un cercle, circonscrire un polygone régulier'du même nombre de côtés. — 3° Etant donné un polygone régulier circonscrit à un cercle , inscrire un polygone régulier du même nombre de côtés. — 4° Etant donné un polygone régulier inscrit ou circonscrit à un cercle, inscrire ou circonscrire une circonférence ou polygone régulier d’unnombre de côtés double.

\° Construire un polygone égal à un polygone donné. On décompose le polygone donné en triangles , ou bien en trapèzes et en triangles, ou bien encore on fixe !a position des sommets au moyen de diagonales menées des extrémités d’un côté à tous les autres sommets. Gela fait, la question se réduit aux problèmes relatifs à la construction des triangles.

2° Etant donné un polygone régulier ABGDEF (fig. 88) inscrit d un cercle, circonscrire un polygone régulier du même nombre de côtés.

4 ,e construction. On mène des tangentes par les sommets A, B, C..., du polygone donné, et l’on obtient ainsi le polygone demandé A'B'C'D'E'F'.

2° construction. On peut encore prolonger tous les apothèmes jusqu’à leur rencontre avec la circonférence, et par ces points de rencontre on mène des tangentes.

3° Etant donné un polygone régulier A'B'C’D'E'F (fig. 88), circonscrit à un cercle, inscrire un polygone régulier du même nombre de côtés.

■1” construction. En menant des droites AB, BC, CD... entre les points de tangence consécutifs, on forme I© polygone demandé ABCDEF.

2* construction. Par les points A, B, C..., où les rayons OA', OB', OC’..., coupent la circonférence, on mène les droites AB, BC, CD...

4° Etant donné un polygone régulier inscrit ou circonscrit à un cercle , inscrire ou circonscrire une circonférence ou un polygone régulier d’un nombre de côtés double.

Soit l’hexagone régulier inscrit ABCDEF (fig. 88) ; des points A et B, avec un même rayon arbitraire, décrivops deux arcs de cercle qui se coupent en G ; joignons G à 0 ; le point f sera le milieu de l’arc AB, et AI, IB, seront les côtés d’un polygone régulier à 12 côtés ou d’un dodécagone. D’où l’on voit que le problème se réduit à trouver le milieu de l’arc qui correspond au côté d’un polygone inscrit.

Il résulte de là que la bissectrice d’un arc fournit : 1° si elle correspond au côté d’un triangle éqpilatéral, le côté des polygones réguliers (inscrits ou circonscrits) à 6, 12, 24, 48, etc., côtés; 2° si elle correspond au côté du carré, le côté des polygones réguliers ( inscrits ou circonscrits ) à 8, 16, 32, 64, etc., côtés ; 3° si elle correspond au côté d'un pentagone régulier, le côté des polygones réguliers (inscrits ou circonscrits) à 10, 20, 40, 80, etc., côtés.

S 20. Propriétés des droites coupées par des séries de . . parallèles.

Théorèmes sur les droites coupées par des séries de parallèles.

1* Lorsque deux droites quelconques sont coupées par un nombre quelconque de parallèles, si les segments de l’une sont égaux entre eux, les segments de l’autre sont aussi égaux entre eux. — 2° Les serments de deux droites quelconques compris entre trois parallèles sont directement proportionnels , et réciproquement. Quels sont les deux corollaires de ces théorèmes?

1° Lorsque deux droites quelconques MN, M'N' (fig. 112)

sorti coupées par un nombre quelconque de parallèles AA', BB', CC', DI)'..., si les segments de l’une sont égaux entre eux , les segments de l’autre seront aussi égaux entre eux.

En effet, menons à M'N' les parallèles Al, BK.CL..., terminées respectivement sur les droites BB', CC', DD'... Les triangles ABI , BCK..., seront égaux comme ayant un côté égal AB = BC... adjacent à des angles égaux chacun à chacun, BA1 = CBK..., et ABI = BCK...: donc Al=r BK...,el par suite A'B' = B'C, etc.

2° Les segments de deux droites quelconques MN, M’Ai' (fig. U 3) compris entre trois parallèles AA', BB', CC', sont directement proportionnels , c'est-à-dire nue l’on a AB : BC : : A' B' : B'C'.

Supposons, par exemple, AB >BC, et dans cette hypothèse, admettons qu’en portant BC le long de AB autant de fois qu’il est possible, de A vers B, on trouve que BC est contenu dans AB , une première fois de A en D , puis une seconde fois de D en E, avec un reste EB moindre que BC. Cela posé , menons , par les points D , E , les droites DD', EE', parallèles à AA' et terminées à la droite M'N'. II est ■bien clair (d’après le n° d) que A'D', D’E', seront égaux à B’C', et E'B' moindre que B'C' , et que par conséquent A'B' •contiendra autant de fois B'C', en nombre entier , que AB contient BC.

On prouverait de même, en portant le reste EB sur BC et en menant des parallèles, que BC contient EB autant de fois, en nombre entier, que B'C' contient E'B'... et ainsi de suite.

Maintenant, l’opération que nous venons d’indiquer pour les lignes AB et BC n’est évidemment autre que l’opération à effectuer pour trouver leur rapport ; et l’opération toute pareille exécutée sur A'B' et B'C' au moyen des parallèles DD', EE', n’est aussi que la détermination de leur rapport. Or, puisque les quotients successifs obtenus de part et d’autre sont constamment les mêmes, on doit en conclure que les deux rapports sont nécessairement identiques, c’està-dire que l’on a toujours :