AB" : B"B : : AC" : C"C

Et réciproquement : si la droite B"C'' est menée dans le plan dn triangle ABC de telle manière que l’on ait cette proportion, la droite B"C" est parallèle à BC.

§ 21. Quatrièmes proportionnelles. — Similitude des triangles et des polygones.

1. Qu’est-ce qu’une quatrième proportionnelle? — 2. Comment irouve-t-on une quatrième proportionnelle à trois longueurs données? — 3. Quels sont les caractères des ligures semblables? — 4. Quand deux triangles et deux polygones sont-ils semblables ? — 5. Qu’appelle-t-on points et lignes homologues ?

1 . — (On a vu dans l’arithmétique qu’) une quatrième proportionnelle est le quatrième terme inconnu d’une proportion dont on connaît les trois autres .

GÉOMÉTRIE. 65f

2. — Trouver une quatrième proportionnelle x à trois longueurs données a, b, c, de manière que l’on ait a : b : : c : X.

Traçons sous un angle quelconque les droites indéfinies AB", AC" (lig. 72); prenons AB" == a, AC'' = 6,AB=c; traçons B"^', et menons BC parallèle à B''C" : Ja longueur AC sera la quatrième proportionnais cherchée.

En effet, on aura (d’après le g précédent) :

AB* : AC» : : AB : AC, ou a : b :: c : AC;

et par conséquent AC = x.

3- Deux figures semblables sont deux figures telles qu’il n’y a aucun point de l’une qui n’ait son correspondant ou, selon le langage géométrique, son homologue dans 1 autre ; de sorte que si, par la pensée, on mène de toutes les manières possibles, des droites qui lient deux à deux tous les points de la première figure, et qu’on exécute la même opération pour la deuxième, les rapports numériques de chaque couple de lignes homologues sont égaux entre eux. Le rapport constant se nomme le rapport de similitude des deux figures.

— Un triangle étant déterminé par ses trois côtés , il s ensuit que

Deux triangles ABC, A’B'C' (fig. 70), sont semblables lorsqu ils ont les côtés homologues proportionnels, c’esta-dire, lorsqu’on a :