AM : AB : : AN : AC

et par suite :

MB : AB : : NC : AC.

5° Deux triangles semblables ABC, A’B'C' (fig. 72) sont équiangles entre eux, et réciproquement, deux triangles ëquiangles entre eux sont semblables.

1° Soit AB> A'B’. Prenons sur AB une longueur AB' = A'B', et par le point B" menons B*C* parallèle à BC ; le triangle AB*C* sera semblable â ABC. Or ABC est, par hypothèse, semblable à A’B'C' ; donc les deux triangles AB'C* et A'B'C' sont semblables, et de plus, ils sont égaux, puisque AB" = A'B'. Les triangles ABC et AB'C" étant équiangles entre eux, ABC et A'B'C' le sont aussi, et par conséquent A = A’, B = B', C = C’.

2° ABC et A’B'C' élant équiangles entre eux , AB»C* et A’B'C' le seront aussi. L>e plus AB* — A'B’ : donc AB'C* et A'B'C' sont égaux ; donc ABC et A'B’C' sont semblables.

1" Corollaire. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont deux angles égaux chacun à chacun.

2* Corollaire. Deux triangles isocèles sont semblables lorsque leurs angles à la base ou au sommet sont égaux.

5 e Corollaire. Deux triangles rectangles sont semblables lorsqu’ils ont un angle aigu égal.

6° Deux triangles ABC, A’B’C' (fig. 72) sont semblables lorsqu’ils ont un angle égal. A r= A', compris entre des côtés proportionnels AB : A'B’ : : AC : A’C'.

En effet, les triangles ABC , AB'C" donnent AB : AB* : : AC : AC*. Or, de la proportion hypothétique combinée avec cette dernière, on tire A'B' : AB' : : A'C’ : AC* , et comme A'B’ = AB* , il en résulte A’C' = AC*. Donc les deux triangles A’B’C', AB'C" sont égaux ; donc ABC, A’B’C' sont semblables.

7° Deux triangles sont semblables lorsque les côtés de l’un sont parallèles ou perpendiculaires aux côtés de l’autre ,

Car, dans ce cas, deux angles au moins de chaque triangle sont égaux à deux angles égaux de l'autre, chacun à chacun ; donc le troisième angle est égal de part et d’autre; donc les triangles sont équiangles ; donc ils sont semblables. 1

8° Deux polygones semblables ont les côtés proportionnels et les angles égaux chacun à chacun et disposés dans le même ordre.

En effet, les côtés correspondants des deux polygones ne sont autre chose que les côtés homologues des triangles semblables dont les deux polygones sont composés; d'où il résulte que ces côtés, pris deux à deux, forment une suite de rapports égaux;

En outre, les angles correspondants des deux polygones ne sont aussi que des angles homologues ou des sommes d'angles homologues de triangles semblables, d'où il résulte que ces angles sont égaux.

9° Réciproquement : Deux polygones sont semblables lorsque leurs côtés, pris dans le même ordre, sont proportionnels et comprennent entre eux des angles égaux chacun d chacun.

En effet, si par les sommets A et A' (fig. 71), nous menons des diagonales, nous aurons d’abord deux triangles ABC , A'B'C' semblables entre eux comme ayant un angle égal B = B' compris entre des côtés proportionnels. Le rapport des diagonales AC, A’C' sera donc le même que celui des côtés correspondants, et les angles ACD , A'C'l)' seront égaux comme différences d’angles égaux chacun à chacun. Par suite, ces triangles ACD, A'C'D' seront aussi semblables comme ayant un angle égal ACD — A'C'l)', compris entre des côtes proportionnels. 11 en sera de même de tous les triangles formés autour du point A. Donc les deux polygones sont semblables.

1 er Corollaire. Deux polygones sont semblables lorsque leurs côtés, pris dans le même ordre , sont proportionnels, parallèles et dirigés dans le même sens ou en sens contraire chacun à chacun.

Car alors ils ont en même temps les angles égaux.

2 e Corollaire. Deux polygones réguliers de même nom sont semblables.

En effet les angles de l’un sont alors égaux aux angles de. l’autre, et les côtés homologues sont respectivement proportionnels. .

10° Les conditions essentiellement nécessaires à la similitude sont :

1° Pour les polygones :

Deux polygones de n côtés sont semblables lorsqu’ils ont n — 1 côtés consécutifs proportionnels et également inclinés entre eux, ou bien, n — 2 côtés consécutifs proportionnels et également inclinés entre eux, ainsi qu’avec les deux autres côtés , etc.

2° Pour le parallélogramme :

Un parallélogramme étant déterminé par deux côtés et une diagonale , il s’ensuit que

Deux parallélogrammes sont semblables lorsque deux côtés consécutifs et une diagonale de l’un sont proportionnels à deux côtés consécutifs et à une diagonale de l’autre.

5° Pour le losange :

Un losange étant déterminé par un côté et une diagonale, il s’ensuit que

Deux losanges sont semblables lorsqu’un côté et une diagonale de l’un sont proportionnels à un côté et à une diagonale de l’autre.

4° Pour le rectangle :

Un rectangle étant déterminé par deux côtés consécutifs, il s’ensuit que

Deux rectangles sont semblables lorsque leurs bases sont proportionnelles à leurs hauteurs.

5° Pour le carré :

Un côté étant déterminé par un côté, il s'ensuit que

Tous les carrés sont semblables.

g 22. Propriétés du triangle rectangle. — Incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré.

Théorèmes sur le triangle rectangle et sur le carré.

1» Si de l’angle droit d’un triangle rectangle on abaisse une perpendiculaire sur l’hypoténuse, il se présente 4 circonstances particulières : la t re , c’est que les deux triangles formés par cette perpendiculaire sont semblables au triangle rectangle ; la 2®, c’est que les deux mêmes triangles son ► semblables entre eux;

la 3 e , c’est que la perpendiculaire est une moyenne proportionnelle entre les deux divisions de l’hypoténuse ; la 4 e , c’est nue chaque côté de l’angle droit est moyen proportionnel entre l’fiypothénusc et la division correspondante. — 2° Dans un triangle rectangle, le carré (ou la 2 e puissance) de la valeur numérique de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des valeurs numériques des deux autres côtés. Quel corollaire peut-on tirer de ce théorème pour prouver l’incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré ?

1" Si de l'angle droit d’un triangle rectangle ABC < fig. 73) on abaisse une perpendiculaire CD sur l’hypo-, ténuse AB : les deux triangles ÀDC, CBB sont semblables au triangle ABC ; — les deux triangles ADC , CDB sont semblables entre eux; — la perpendiculaire CD est moyenne proportionnelle entre les deux divisions AD, CB de l’hypoténuse ; — chaque côté die l’angle droit est moyen proportionnel entre l’hypoténuse et la division correspondante.

l re Circonstance. L’angle A est commun aux deux triangles ADC, ABC; de plus, chacun d’eux a un angle droit : donc ils sont semblables; donc l’angle ACD =: l’angle CBA. * Il en est de même des triangles CDB et ACB.

2 e Circonstance. Les deux triangles ADC, CDB ont chacun un angle droit, el de plus, l’angle ACD de l’un est égale à l’angle CBD de l’autre : donc les deux triangles sont semblables.

3' Circonstance. La comparaison des triangles semblables ACD, CDB donne la proportion AD : CD : : CD : DB; donc CD ou la perpendiculaire est moyenne proportionnelle entre les deux divisions de l’hypoténuse.

■i r Circonstance. La comparaison des triangles semblables ACB, ADC, donne la proportion AD : CA : : CA : AB. —

De même, la comparaison des triangles semblables CDB et ACB donne la proportion DB : CB : : CB : AB; donc chaque côté de l’angle droit est moyen proportionnel entre l’hypoténuse entière et la division correspondante.

2° Dans un triangle rectangle ABC (lig. 75), le carre (ou la 2 e puissance) de la valeur numérique' de l’hypoténuse AB est égal à la somme des carrés des valeurs numériques des deux côtés.

1. On appelle gués lions numériques toutes les questions de géométrie qu’on peut résoudre en appliquant les règles de l'arithmétique. '

*iS

En effet , si dans les deux proportions :

AD : CA : : CA : AB, et DB : CB : : CB : AB (n° \ , 4°), on fait le produit des moyens égal à celui des extrêmes, on a :

CA X CA ou CA’ = AD X AB, et CB X CB ou CB 1 = DB X AB.

Ajoutant ces deux résultats, on a :

CA* + CB* = (AD + DB) X AB ; or A D + DB zr A B ; donc on a :

CA*-f- CB* = AB X AB ou AB*; donc, etc.

Soit l’hypoténuse ABrzrS" 1 -, AG — &” et CB — 4* , on aura 5 X 5 ou 5* = 3* -f- 4* c’est-à -dire 25 = 9 + IG.

Corollaire. Lorsque CA = CB, c'est-à-dire lorsque le triangle est isocèle, on a AB* = 2 CA 5 ; donc :

Dans tout triangle rectangle isocèle , le carré de l'hypoténuse est égal au double du carré d’un côté de l’angle droit.

Par conséquent , la 2® puissance de la valeur numérique de la diagonale d’un carré est double de celle d’un côté.

El comme l’équation AB* = 2 CA*, donne la proportion AB : CA :: i,

il en résulte que : la diagonale et le côté d’un carré étant dans le rapport de la racine carrée de 2 d sont incommensurables entre eux.

Ainsi, non-seulement la géométrie fournit une expression linéaire de la racine carrée de 2 , mais elle concourt à en démontrer l'incommensurabilité.

§23. Troisième et moyenne proportionnelle; moyens de les construire.

1 . Qu’appelle-t-on moyenne proportionnelle? — 2. Qu’cst-ce qu’une troisième proportionnelle ?

1 . — Lorsqu’on élève une perpendiculaire en un point quelconque A d’un diamètre BC ( lig. 52 ) , et qu’on prolonge celle perpendiculaire AD jusqu’à la circonférence d’un seul côté, on a trois droites AB, AD, AC, qui jouissent d’une relation remarquable :

La petite partie AB du diamètre est contenue dans la perpendiculaire AD autant de fois que cette même perpendiculaire est contenue dans la grande partie AC du diamètre. La perpendiculaire AD est dite, pour cette raison , moyenne proportionnelle entre les deux parties du diamètre, c'est-à-dire qu’on a AB : AD : : AD : AC.

2. — On appelle troisième proportionnelle, une ligne qui est en proportion avec une autre ligne et une moyenne proportionnelle.

Problèmes sur les troisièmes et les moyennes propor- „ • lionnelles.

1° Comment trouve-t-on une moyenne proportionnelle entre deux

droites données?— 2° Quels sont les moyens de construire une

troisième proportionnelle à deux longueurs données ?

l n Soit à trouver une moyenne proportionnelle entre deux droites données, b, c (fig. 52).

Menons une droite BC et portons-y les deux droites données b, c, la première de B en A et la seconde de A en C ; cherchons le milieu de AC; de ce milieu E, avec la moitié de BC pour rayon , décrivons une demi-circonférence , et au point A, jonction des deux droites données , élevons une perpendiculaire sur BC jusqu’à la rencontre de la demi-circonférence en D. Cette perpendiculaire AD sera la moyenne proportionnelle cherchée, c’est-à-dire qu’elle contiendra AB ou b, comme elle sera contenue elle-même dans • AC ou c.

2° Construire une troisième proportionnelle x, A deux longueurs données a, b, de sorte que l’on ait a : b : : b : x.

1 r « Construction. Elle consiste à employer la construction de la -4 e proportionnelle (p. 651 ), en y faisant b~c.

2' Construction. Prenons AD zr a (fig. 73), et prolongeons; élevons au point D la perpendiculaire DC=à,et menons AC; élevons sur AC la perpendiculaire CB, et soit B le point d’intersection de CB avec AD prolongé.

DB est la longueur demandée; car on a :

AD : DC : : DC : DB, c’est-à-dire a : b : ; b ; x.

g 21. Construction et usage des échelles de proportion.

1. Qu'esi-ee qu’une échelle de proportion ? — 2. Qu'est-ce qu’une échelle simple de proportion, et quel en est l’usage ’t — 3. De quoi dépend la grandeur d’une échelle ? quelle est l’échelle la plus commode ? quelle est l’échelle employée dans le cadastre ? — 4. Qu’est-ce que l’échelle de» dîmes, et quel en est l’usage?

1. — L'échelle de proportion est une ligne AD ^pl. III , fig. \ ,D. LK) divisée en parties égales, dont chacune représente telle longueur qu’on veut lui attribuer; en sorte que la figure qui représente l’objet est en même proportion avec cette échelle que l’objet lui-même l’est avec sa mesure réelle.

2. — L'échelle simple de proportion est une ligue qui représente la longueur que doit occuper sur le plan tel ou tel nombre de mètres sur le terrain; elle sert donc à mettre tous les côtés des plans en proportion.

Si l’échelle AB (pl. III, fig. 1) représente 10 *»•, Ao ou Ac représente 1 m -; Al ou Ad, 2 m ; A2 ou Ac, 3 m , etc. Si donc on a besoin de représenter une longueur de 7 m ,50«- , on porte une pointe du compas sur le chiffre 7 et ou l’ouvre jusqu’à ce que l’autre pointe soit parvenue à la moitié de A o ou Ac. Si une ligne du plan est plus grande que l’échelle, on porte une ouverture de compas égale à AB , sur la ligne du plan autant de fois qu’elle peut y être contenue , et s’il y a un reste , on l’évalue en mètres , en le portant sur l’échelle.

3. — La grandeur d’une échelle simple est arbitraire; on la fait dépendre ordinairement de celle du plan Néanmoins les échelles décimales, au 10®, au 100 e , au ÎGOO", etc., sont d’un emploi plus facile que les échelles arbitraires. L’échelle d’un millimètre par mètre, telle qu’on la trouve en buis dans le commerce , est la plus commode de toutes.

On emploie dans le cadastre l’échelle d’1 *»• pour 2500 m , ou ce qui revient au même, de -i" 1 pour 10000" 1 , ou de 0,001 pour

— On appelle échelle des dîmes celle qui donne les

1. Ces lettres D. L. renvoient à la planche du dessin linéaire.

dixièmes. Le dessin linéaire en donne le tracé (pl. III, fig. 1). En voici la construction :

Sur une ligne indéfinie CI, on porte plusieurs ouvertures de compas arbitraires, dont chacune CD, DF, FH, etc., représente 100 parties; aux points C, D, F, 11, etc., on élève les perpendiculaires CA, DB , FE, HG , etc., sur chacune desquelles on porte 10 ouvertures de compas égales, mais arbitraires. On tire alors ABG ; on divise CD en 10 parties, et l’on porte ces parties sur AB; on mène ensuite des transversales , et l’on se trouve dans le même cas que si l’on avait divisé CD en 100 parties. Enfin , par les points de division correspondants de CA , DB , DE , on tire des lignes droites qui sont autant de parallèles à CD.

Soit CDr=100 m , on aura aussi I)F ou FH— 100 m , etc.

Pour 100 m - on prendra donc avec le compas de F en D :

pour 103 m de / en n ,

pour 94 m . . . • de o en 4,

pour 47 m dcpen7.

§ 23. Mesure des hauteurs et des distances inaccessibles.

Problèmes sur les mesures des hauteurs et des distances inaccessibles.

1® Mesurer une distance dont une extrémité est inaccessible. — 2° Mener par un point donné une parallèle à une droite inaccessible. — 3° Mesurer la distance de deux points inaccessibles."— 4° Mesurer la hauteur d’un édifice.

i° Soit à mesurer la distance de deux points B, A (fig. 19, Arpent.), dont un seul, B, est accessible à cause de la rivière RR'.

Après avoir fixé la direction BA au moyen de jalons (v. § 3 de l’arpentqge), on élève sur BA , dans le plan du terrain, une perpendiculaire BD', et sur BD’, une perpendiculaire D'E, toutes deux de longueurs arbitraires; puis on détermine le point C où AE rencontre BD’ ; cela fait , on pose la proportion :

BA : DC : : D E; D'C , d'ou BA =

BCxD'E

Dx - -

Di

Ainsi, en mesurant BC, D'E et D'C, on aura la valeur de AB par la formule précédente.

Soit BC= 75 >»•, D'C = 25 et D E =27 :

on aura BA = - — =8*1 w, -,9.

2" Soit à mener par un point donné C' (fig. 20, ibid. ) une parallèle C'D' dune droite inaccessible AB.

Pour cela, on recule dans la direction de AC', d’une quantité quelconque C'F que l’on mesure ; puis on détermine les distances FA, FB, comme on Fa expliqué ci-dessus, et l’on pose alors la proportion :

FA : FB : : FC’ : FD’ ;

FB X FC f

et la distance FD'= — fait connaître sur la direction

FB le point D’ de la parallèle cherchée.

3° Soit à mesurer la distance de deux points inaccessibles A, B ( fig. 19, ibid). On est supposé placé en un point C.

On détermine d’abord la distance CA et CB ; puis par un point quelconque D' pris sur la droite C'B, par exemple, on mène la droite D'E parallèle à AB, et terminée en E sur le prolongement de CA ; on mesure D'E, et comme CD' est déjà mesuré , on pose la proportion :

AB : BC : : D'E : CIV, d’où l’on tire AB= RCXD E