C. log. CD

log. BA=2,6758991 —log. 474,132 ;

ainsi BA=474 n, -,132.

4° Soit à mesurer la hauteur BD (fig. 49, Ibid.) d’un édifice.

On suppose que le pied de l’édifice soit accessible; quand il est inaccessible, on commence par en déterminer la distance, d’après len° 1.

Soit une droite BEA, menée par le pied de l’édifice : à des distances de ce point, BE, BA, qui ne diffèrent pas beaucoup de sa hauteur présumée, on plante parallèlement à BD deux jalons EE , AG , d’inégales longueurs" , le premier plus grand, le second plus petit. Cela fait, par l’extrémité G du plus petit, on mène un rayon visuel au sommet D de l’édifice, et l’on marque le point F d’intersection de ce rayon avec le jalon EF. Alors les droites BD, EF, AG étant parallèles, si par le point G on mène la droite GUI parallèle à AEB et coupant EF et BD respectivement en I et en II, on aura la proportion :

, HGXIF

I1D : HG : : 1F : IH, d’où I1D= — — —

Ainsi, en mesurant HGrrBA, fF=EF— AG, et lGrrAE, on aura I1B. Enfin, ajoutant BH— AG, on aura la hauteur cherchée BD , égale à BH -f- HD.

Soient BE = IH = 75”', EA = 1G = 1 "* ,3, EF = 2* ,3, et AG = EI=BH = 1»>,1;

on a d’abord HD =• 76,3X1,2

HGx IF ( 75 -H 1 ,3 ) (2,3- 1,1)

III — Ë3 r

d’oùBD=70»s4-j-1 »“•,! = 71 m ,3.

§ 26. Rapport des circonférences considérées comme des polygones d’un nombre infini de côtés. — Valeur approchée du rapport de la circonférence au diamètre.

I. Qu'entend-on par limite en géométrie? — 2. De quelle manière le cercle peut-il être considéré? — 3. Qu’est-cc que la rectification d’une courbe, et comment peut-on y parvenir? quelle conséquence en tirc-t-on V — 4. En quoi consiste la détermination du contour du cercle? — h. Le rapport de la circonférence au diamètre est-il le même dans tous les cercles? — 6. Quel est le rapport du diamètre à la circonférence ?

1 — On entend par limite, en géométrie, une figure on nue étendue dont s’approchent indéfiniment des figures ou des étendues comprises dans une même série.

2- — Une circonférence de cercle peut être considérée , soit comme la limite d’une série de polygones réguliers du même périmètre, soit comme la limite d’une série de polygones réguliers inscrits, soit enfin comme la limite d’une série de polygones réguliers circonscrits , les côtés de ces polygones diminuant indéfiniment de longueur dans les f1*ois cas, tandis que leur nombre augmente indéfiniment} c’est ce que l’ott exprime en disant que :

Le cercle est un polygone régulier d’un nombre infini de côtés infiniment petits.

5. — La rectification d’une courbe est une opération qui consiste à déterminer le rapport de la longueur de cette courbe , supposée redressée ou rectifiée, à l’unité linéaire rectiligne.

Ou peut toujours y parvenir approximativement en regardant la courbe comme un polygone, et l’on obtient ainsi un degré d’approximation d’autant plus élevé, que les points de division de la courbe sont plus multipliés.

Ainsi , en regardant’ le cercle comme un polygone régulier, on en conclut sur-le-champ que

Les circonférences de cercles , étant des lignes semblables, sont proportionnelles à leurs rayons et à leurs diamètres,

et que, par conséquent, il suffit de déterminer une fois pour toutes le rapport constant de la circonférence au

- GÉOMÉTBIK. 6GS

diamètre; le diamètre d'une circonférence quelconque, multiplié par ce rapport, donne toujours la longueur de la circonférence rectifiée.

4- — La détermination du contour du cercle consiste à trouver une ligne droite égale en longueur à la circonférence, pour la comparer au diamètre, et il n’y a pour résoudre ce problème que des méthodes approchées ; mais le degré d’approximation qu’on obtient équivaut à l'exactitude.

D’abord le rapport de la circonférence au diamètre est le même dans tous les cercles, grands ou petits.

D'un autre côté , le rapport du périmètre d’un polygone de 32768 côtés ou, ce qui revient presque au même , de la circonférence au diamètre, est de 3,1115026 : 1, résultat exact à un dix-millionième près , c’est-à-dire que la circonférence contient la dix-millionième partie du diamètre, plus de 31115926 fois et moins de 31415027 fois.

Comme le rapport de la circonférence au diamètre est d‘un usage fréquent, on emploie, au lieu du nombre peu commode 3,1415026, un rapport moins exact, mais beaucoup plus simple , 7 : 22 ou y. Ce nombre, réduit en décimales, donne 3,142, etc., et coïncide avec 3,1415926 jusqu’aux centièmes inclusivement. On peut donc dire, avec une approximation qui suilitaux arts manuels, que la circonférence contient 3 fois le diamètre plus j. C’est le rapport trouvé par Archimède.

On peut dire plus approximativement , avec Adrien Métius, que la circonférence contient 355 fois la 113° partie du diamètre. En effet le nombre évalué en décimales donne 3,1415929, etc., qui coïncide avec 3,1415926 jusqu’aux millionièmes.

§ 27. Mesure des surfaces. — Mesure des rectangles et parallélogrammes , triangles, trapèzes et polygones quelconques.

t. Quelle est la mesure légale pour les surfaces? — 2. N'cmploie- . t-on pas aussi des rectangles métriques ?

I . — La mesure légale des surfaces se nomme millimètre carré, si le côté est un millimètre; centimètre carré , si le côté est un centimètre; décimètre carré, si le

côté est un décimètre; mètre carré ou centiare, si le côté est un mètre; décamètre carré , arc ou perche métrique , si le côté a ÎO" 1 ; hectomètre carré, hectare ou arpent métrique, si le côté a 1 0O m - ; kilomètre carré ou myriare, si si le côté a 1000'" ; enfin myriamètre carré, si le côté a 10000 m -.

2. — On emploie aussi des rectangles métriques pour unités de superficie : les uns ont 1"*- pour base, et pour hauteur 1^-, l cm ou l mm -; les autres ont l^" 1 pour base , et pour hauteur l m ou 1*»-.

Théorèmes et problèmes sur la mesure des rectangles, des parallélogrammes, etc.

J° Quelle est lamesure d’un rectangle? — 2° mesurer un rectangle en métrés carrés et parties rectangulaires ou décimales du mètre carré ; 3° mesurer un rectangle en mètres carrés et parties carrées ou centésimales du mètre carré. — 4° Comment compare-t-on numériquement deux rectangles sous le rapport de la mesure? — 5° Faire numériquement un rectangle équivalent à un autre. — G° Quelle est la mesure d’un carré? — 7° Quand y a-t-il équivalence entre deux parallélogrammes quelconques? Démonircz en particulier qu’un parallélogramme est équivalent à un rectangle de même base et de même hauteur. 8° Quelle est la mesure d’un parallélogramme? — 9° lin triangle équivaut à la moitié d’un parallélogramme de même base et de même hauteur. — 10° Quelle est la mesure d’un triangle? — 1 1 ° Quelle est la mesure d’un trapèze ? — 12° Quelle est la mesure d’un polygone quelconque ?

1° Quelle que soit l'unité de superficie, un rcclangle Ja contient autant de fois que l’exprime le produit de sa base multiplié par sa hauteur, cette base et cette hauteur étant mesurées avec la base et la hauteur de l'unité choisie.

En effet, supposons que l’unité de superficie soit un carré, et prenons pour exemple le rectangle ABCD (fig. 83); si le côté du carré est contenu 6 fois dans la base CD, nous aurons 6 bandes rectangulaires en traçant des perpendiculaires à CD par les points de division; et si le même côté est contenu 8 fois dans la hauteur AD, nous diviserons chacune des 6 bandes en 8 carrés égaux, au moyen de parallèles à AB menées par les divisions de AD. Or il est clair que, pour avoir le nombre total 48 des carrés du rectangle, il suffit de multiplier 8, longueur de la hauteur AD, par 6, longueur de la base CD.

Si donc on veut mesurer en mètres carrés la superficie

GÉOMÉTRIE. Gf)7

d'un rectangle , ABCD, il faut mesurer sa base et sa hauteur avec le mètre linéaire et faire le produit des deux longueurs trouvées.

La surface d’un rectangle est égalé au produit de sa base par sa hauteur,

proposition qu’on exprime par la formule R (rectangle) = BXII ( base X hauteur).

2° Mesurer un rectangle en mètres carrés et parties rectangulaires ou décimales du mètre carré.

Il faut d’abord remarquer que le rectangle métrique est le 10® de celui qui a une hauteur décuple de la sienne. Ainsi le rectangle dont la base est \ m - et la hauteur l"»».est le 10 e du rectangle qui a l m de base et l« n - de hauteur.

Il en résulte que le mètre carré vaut 10 mètres-décimètres. I.e mètre-décimètre contient 10 décimètres carrés; le mètrecentimètre, 100 centimètres carrés, etc.

Soit B=5 m -,455 et H=2 m -,32, mesurées en mètres et parties rectangulaires du mètre.

Multiplions ces deux nombres l’un par l’autre, d’après la formule II=BXII, nous aurons 8" , c , 01 56, résultat indiquant que la superficie du rectangle vaut 8 mètres carrés et 156 dix-millièmes de mètre carré, ou 8 mètres carrés, 1 mètre-centimètre , 5 mètres-millimètres et 6 dixièmes de mètre-millimètre.

5° Mesurer un rectangle en mètres carrés et parties carrées ou centésimales du mètre carré.

Soit B= 8 m -,45 et H = -4»* ,69, mesurées en mètres et parties carrées du mètre.

Multiplions ces deux nombres l’un par l'autre, et nous aurons 39«-«-,6305, résultat indiquant que la superficie du rectangle vaut 39 m ® ,65 décimètres carrés et 5 centimètres carrés.

Ainsi le second mesurage se fait absolument comme le premier; seulement, il faut, pour obtenir les parties carrées ou centésimales du mètre carré, partager les décimales du produit en groupes de deux chiffres chacun, à partir de la virgule. Si le dernier groupe de droite n’a qu’un chiffre, on le complète par l’addition du zéro.

4° Pour comparer numériquement deux rectangles , c’est-à-dire pour savoir combien l’un contient l'autre, il faut calculer leurs superficies en unités de même espèce et diviser celle du l tr par celle du 2®.

Soit B— 5 "■,55, H=2 m -,80 du l ir rectangle, et Br: 0">-,3t, II— O ">-,5 du 2®.

La superficie du 1 er esl 3 "■•,55X2'" ,80 ou 9* <-,94, et celle du 2 e , 0" , -,34xO m l 5=0'»- c -,17. En divisant 9™ ',94 par on trouve 58,47, c’cst-à-dirc que le 2 e rectangle

est contenu environ 58 fois ^ dans le 1 er .

5° Faire numériquement un rectangle équivalent à un autre.

Soit B = 4 «■ et H = 1 m ,2 du rectangle donné.

Four faire un autre rectangle qui lui soit équivalent et qui n’ait , par exemple, que 3 ™- de base , on dira :

La superficie du rectangle connu — 4 m ' ,8 ; l’autre qui lui doit être équivalent aura la même mesure. Or, ce nombre doit égaler le produit de la haseS"* par la hauteur inconnue. Si donc on divise 4,8 par 3, on trouvera pour cette hauteur i m ,6, qui, multiplié par 3, donne exactement 4'" <- ,8.

6° Tout ce qui vient d’être dit sur le mesurage des rectangles 1 s’applique à celui des carrés , puisque le carré n’est qu’un cas particulier du rectangle. Mais comme la base et la hauteur d’un carré sont égales , il suffit , pour en mesurer la superficie , de mesurer un des côtés et de multiplier par elle-même la longueur trouvée.

Soit un carré dont le côté = 4 m ,7, la superficie sera 4 m ,7X4 " ,7 ou 22"»-«.,09 ; d’où ce principe que ,

La superficie d’un carré égale le carré numérique du côté.

1° Veux parallélogrammes quelconques de même base et de même hauteur sont équivalents.

Tout parallélogramme ABCD est équivalent à un rectangle de même base et de meme hauteur (fig. 81).

En effet, abaissons sur la base et sur son prolongement les perpendiculaires DE, CF; nous aurons deux triangles AED, BFC, égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Or, si de la figure totale AFDC on retranche successivement les deux triangles égaux AED , BFC, il restera le parallélogramme ABCD égal en surface, c’est-à-dire équivalent, au rectangle EFDC.

8° Comme un parallélogramme est équivalent à un rectangle de même base et de même hauteur, il en résulte que le produit d’un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Soit CD, base du parallélogramme ABCD (fig. 76) = 6'" ,50, et la hauteur FE=5«-,23. La superficie sera 6 m , 50 X 5 m , 25 = 54"' * ,123.

9" Tout triangle ADC (fig. 82) est équivalent à la moitié d’un parallélogramme de même base et de même hauteur.

En effet , par les points A et D menons respectivement à CD, AC, les parallèles AB, DB; nous aurons un parallélogramme ABCD, dans lequel les triangles ADC, DAB seront égaux : donc le triangle ADC est la moitié du parallélogramme ABCD de même base et de même hauteur.

10° Un triangle étant la moitié d’un parallélogramme de même base et de même hauteur, il en résulte que, pour obtenir la superficie d’un triangle, il faut multiplier la base par la hauteur et prendre la moitié du produit.

11° Le mesurage d’un trapèze se fait en ajoutant les deux côtés parallèles , en multipliant cette somme par la hauteur du trapèze et en prenant la moitié du produit.

En effet , un trapèze peut se décomposer en deux triangles qui ont chacun pour base un des côtés parallèles , et pour hauteur, la hauteur même du trapèze.

Soil(fig. 80) AB=6 m -,2, DC =H m ,14 , et la hauteur AE = 7 "> |7. En ajoutant les nombres 6 "■•,2 et 11 « ,14, on a 17 m -16, qui, multipliés par 7 "> ,7, donnent 132"* c -, 132 dont la moitié est (36" , ,: -,66.

12° Tout polygone étant décomposable en triangles , l’évaluation de la surface d’un polygone quelconque se ramène toujours à celle de la surface d’un triangle.

Théorèmes sur les rapports des surfaces dans les triangles , les polygones semblables, les polygones réguliers, etc.

i° Les surfaces «les triangles qui ont un angle égal sont proportionnelles aux rectangles des côtés qui comprennent l’angle égal. — — 2 n Les surfaces des triangles semblables sont proportionnelles aux carrés de leurs côtés homologues. — 3° Les surfaces des polygones semblables sont proportionnelles aux carrés de leurs côtés homologues. — 4° Quelle est la mesure de la surface d'un polygone régulier quelconque? — 6° Quelle est la mesure de la surface d’un cercle?

1® Les surfaces des triangles ABC , A DE ( tig. 115) qui ont un angle égal A sont proportionnelles aux rectangles des côtés qui comprennent l’angle égal ■

Après avoir superposé les angles égaux, menons BE : les deux triangles ABC , ABE , pourront être considérés comme

ayant respectivement pour bases AC , AE ; ils auront donc pour hauteur commune la perpendiculaire abaissée du . sommet commun B sur la droite AC; et par conséquent ils seront proportionnels à leurs bases, c’est-à-dire qu’on aura :