AC : A'C' : : AB : A'B

on en conclut, en multipliant ces deux proporiions par ordre, et supprimant le facteur AC dans ies antécédents et le facteur A'C' dans les conséquents :

ABC : A’B'C' : : AB 2 : A'B' 2 ou : : AC 2 : A'O 2 , ou : : BC 2 : B'C' 2 .

3° Les surfaces des polygones semblables ABCDE , A'B’C'D'E' (fig. 71 ) sont proportionnelles aux carrés de leurs côtés homologues.

En effet, les deux polygones étant, d’après leur définition, composés de triangles semblables, qui, comparés entre eux , sont, chacun à chacun, dans un même rapport , celui des carrés des côtés homologues, il s’ensuit, d’après la propriété des rapports égaux, que les deux polygones sont aussi dans le même rapport.

Corollaire. Les surfaces des figures semblables sont proportionnelles aux carrés de leurs lignes homologues.

id by Gc

4° Tout polygone régulier ABCDEF ( fig. 88) a pour mesure la moitié du produit de son périmètre par son apothème.

Pour le démontrer :

4° On peut employer la décomposition en triangles (p. 645).

2° Si cette décomposition n'est pas possible (sur le terrain ), on cherche le centre au moyen de perpendiculaires sur les milieux des côtés ; on mesure l’une de c es perpendiculaires OH (fig. 88), ainsi qu’un côté AB; on calcule la superficie du triangle AOB, dont on connaît la base et la hauteur, et l'on multiplie cette superficie par le nombre des côtés du polygone ; le produit donnera celle de tout le polygone. puisqu’il renferme autant de triangles égaux à AOB qu’il a de côtés.

Soit OH := 0 m -,34 , et AB =z 0 m ,25; on aura AOB

0 m -,34 XO "■•,25 2 '

0 mc i085

— 0"*r,0425, et la super-

ficie de rhexagone=(W f 0i25x6 = 0 m i ,2550. Donc, etc.

Plus généralement : Tout polygone circonscriptible au cercle a pour mesure la moitié du produit de son périmètre par le rayon du cercle inscrit.

Remarque. Les polygones réguliers d’un même nombre de côtés sont proportionnels aux carrés de leurs côtés , ou de leurs rayons, ou de leurs apothèmes, ou de leurs périmètres.

5° Le cercle est la limite des polygones qui lui sont circonscrits (p. 648), ou peut être considéré comme un intermédiaire entre un polygone régulier inscrit et un polygone régulier circonscrit d’un nombre indéfini de côtés. Supposons un polygone inscrit de 52768 côtés et un polygone circonscrit du même nombre de côtés; ces deux polygones seront tellement rapprochés, que le cercle peut être assimilé à l’un d’eux. Le mesurage des polygones réguliers peut donc être appliqué au cercle. Dans ce cas , le périmètre devient la circonférence, et la perpendiculaire 10 est le rayon du cercle.

Donc la superficie du cercle est égale à la circonférence multipliée par la moitié du rayon.

Or le polygone de 32768 côtés, inscrit dans un cercle dont le rayon est d’un mètre, a un contour représenté par le nombre 6,2831852. Le rapport de ce nombre au dia-

mètre, qui est représenté par 2, puisque le rayon est 1 , sera 5 1415920 ou 3,1416.

Soit le rayon = 5 m - ; le diamètre sera 5 m X 2, et la circonférence vaudra 5 m X2x3il416, d'où la superficie

5 m x2X5,14i6xS"- . .ci i

— , et eu supprimant 2 dans les

deux termes, — 5 m X3|1316xS m Or, multiplier le rayon 5' n par 3,1416 et le produit par S m -, c’est faire le carré du rayon et le multiplier par 5,1416.

Donc la superficie d’un cercle est égale au carré du rayon multiplié par le nombre 3,1416.

Remarque . Les cercles sont proportionnels aux carrés de leurs rayons, ou de leurs diamètres , ou de leurs circonférences rectiliées.

Théorèmes sur la mesure des surfaces des secteurs et des segments circulaires.

1* Tout secteur de cercle est équivalent à un triangle qui aurait pour base l’arc correspondant et le rayon pour hauteur. — 2° Tout segment plus petit qu’un *demi-cercle a pour mesure la moitié du produit du rayon par i’excès de l’arc correspondant sur sa perpendiculaire.

1° Tout secteur de cercle AOB (üg. 117) est équivalent à un triangle qui aurait pour base l’arc correspondant AB ( supposé rectifié ) et le rayon OA pour hauteur.

En effet , on a :

sect. AOB : £OA Xcirc. OA : : arc AB : cire. OA; d’où l’on tire :

sect. AOB=^OAX arc AB.

2° Tout segment ACB (l re et 2 e partie de la fig. 117) plus petit qu’un demi-cercle a pour mesure la moitié du produit du rayon OA par l’excès de l’arc correspondant ACB «trr sa perpendiculaire.

En effet, ou a :

segm. ACBrrsecf. AOB — triangle AOB; , or sect. AOB=r^OAXarc AB,

et tri. AOB = jOA X BD ;

donc segm. ACB = JOA X (. arc AB — BD).

On démontre de la même manière que :

Tout segment plus grand qu’un demi-cercle a pour mesure la moitié du produit du rayon par la somme de rare et de sa perpendiculaire.

Remarque. Les secteurs semblables sont proportionnels aux carrés de leurs rayons ou de leurs arcs rectifiés.

$ 28. Propriétés générales des droites perpendiculaires et obliques à un plan.

Théorèmes sur les propriétés des droites perpendiculaires et obliques à un plan.

Quand un plan est-il dit perpendiculaire ou oblique à une droite, et une droite perpendiculaire ou oblique à un plan?

Tout plan, lieu des perpendiculaires menées à une droite par un de ses points, est-dit perpendiculaire à ta droite, et réciproquement , une droite est dite perpendiculaire à un plan, lorsque (rencontrant cette surface) elle est perpendiculaire à toutes les droites que l’on peut mener par son pied dans le plan.

Lorsqu'une droite perce un plan sans satisfaire à celle condition, elle est dite oblique au plan, et le plan est dit oblique à la droite. Le point d’intersection de la droite avec le plan est encore dit le pied de V oblique.

Théorèmes sur les perpendiculaires et obliques à un plan.

1° Combien par un point pris sur une droite peut-on mener de perpendiculaires distinctes? — 2° La perpendiculaire abaissée sur le plan d’un point extérieur est le plus court chemin de ce point au plan. — 3° Deux obliques qui s’écartent également de la perpendiculaire sont également inclinées sur le plan. — 4° de deux obliques qui s’écartent inégalement de la perpendiculaire, celle qui s’en écarte le plus est la plus longue et elle est la plus inclinée sur le plan. — 5° Tout point de la perpendiculaire élevée sur le plan d’un cercle par son centre est également distant de tous les points de la circonférence. — 6° Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

1° (On a vu précédemment que) par un point pris sur une droite, on ne peut mener, dans un même plan avec la Manuel. — P. Supérieur. 29

droite , qu’une seule perpendiculaire à cette ligne. Mais aussi, comme par une droite on peut mener une infinité de plans , il s’ensuit que

Par un point O (fig. 416) pris sur une droite AB, on peut mener une infinité de perpendiculaires distinctes, qui déterminent, conjointement avec la droite AB, une infinité de plans distincts, ayant tous, deux à deux, celte droite pour intersection commune.

Or on peut considérer ce3 perpendiculaires comme n’étant autre chose que les positions successives d’une même droite, mobile autour de la première, de manière à faire toujours avec elle, au point O, deux angles égaux entre eux.

2° La perpendiculaire OC (fig. 118) abaissée sur le plan AB d’un point extérieur O est le plus court chemin de ce point au plan.

Eu effet, soit une oblique quelconque OD, menée du point O au plan AB. En tirant la droite CD, on formera un triangle OCD, dont OD sera l’hypoténuse: d’où OC<OD; donc, etc.

3° Si d’un point O pris hors d’un plan AB (fig. 118) on mène la perpendiculaire OC et différentes obliques OD, OD', OD',

Deux obliques OD, OB', qui s’écartent également de la perpendiculaire , sont également inclinées sur le plan ;

De deux obliques OD, OE , qui s’écartent inégalement de la perpendiculaire, celle OE qui s’en écarte le plus est la plus longue, et elle est la plus inclinée sur le plan.

Puisque, par l’hypothèse CD = CD' = CD".... , les triangles OCD, OCD’, OCD", sont égaux ; donc, d’abord