OD=OD’ = OD

et ensuite ODC = OD'C zr OD"C.

Si les trois points C, D, E, étant supposés en ligne droite, on aCE>CD, ou aura aussi OE>OD et OEC<OED.

5° Tout point de la perpendiculaire élevée sur le plan d’un cercle par son centre est également distant de tous les points de la circonférence.

En effet, les distances de ce point à tous les points de la circonférence sont des obliques égales.

6 ® Deux droites AB, CD (fig. 119) perpendiculaires à un même plan MN sont parallèles.

En effet, menons la droite BD par les pieds de ces perpendiculaires. Puis, par un point quelconque O de celte droite, élevons dans le plan MN la perpendiculaire EF, et prenons OE = OF. Cela posé, nous aurons BE = BF, d’où AE = AF. Par conséquent, la droite AB a deux points A, B, situés dans le plan perpendiculaire à la droite EF , menés par le point O; donc elle y est contenue tout entière.

On démontrerait la même chose pour CD.

Donc les droites AB, CD, sont dans le même plan, et comme elles y sont perpendiculaires à une même droite BD, elles sont parallèles.

g 29. Des angles dièdres, des plans perpendiculaires entre eux et des plans parallèles.

I. Qu’appel!e-t-on intersection de deux plans? — 2. Qu’appelle-ton angle dièdre, faces, aréte9, et comment désigne-t-on un angle dièdre? — 3. De quelles propriétés jouissent en général les angles dièdres? — 4. Qu’appelle- t-on plans perpendiculaires? — 5. Qu’appellc-t-on plans parallèles?

|. — On appelle intersection de deux plans la série des points qui se trouvent situés à la fois sur les deux plans.

2 . — On appelle angle dièdre l’inclinaison mutuelle de deux plans , MN , OP ( fig. 89). L’angle dièdre se mesure par l’angle que font entre elles deux lignes menées dans chaque plan, perpendiculairement à leur intersection, et qu’on appelle angle plan. Ainsi l’angle EBF , formé par les deux perpendiculaires EB,FB, est l'inclinaison des deux plans.

On nomme faces de l’angle dièdre les parties de plan qui le comprennent , et arête, l’intersection AC des deux plans.

L’angle dièdre se désigne par quatre lettres en ayant soin de placer les deux lettres de l’arête entre les deux autres.

3 . — Les angles dièdres sont dans l’espace ce que sont sur un plan les angles formés par deux droites. Aussi les angles dièdres jouissent-ils en général des mêmes propriétés que les angles plans qui leur correspondent.

(iTfi GÉOMÉTRIE.

Ainsi, de même que les angles opposés, formés par deux droites qui se coupent, sont égaux deux à deux, de meme : les angles dièdres opposés, formés par deux plans qui se coupent, sont égaux deux à deux-

/i. — On appelle plans perpendiculaires deux plans qui ne penchent entre eux ni d’un côté ni de l'autre, fis forment alors deux angles dièdres adjacents égaux. .

— On appelle plans parallèles des plans qui ne peuvent se rencontrer, quelque loin qu’on les prolonge : tels sont deux plans déterminés par deux couples de droites qui se coupent, et parallèles, chacune à chacune, aux deux premières.

D'où il résulte que

Quand deux plans sont parallèles, toute droite menée dans l’un est parallèle à l'autre;

Et que

Les intersections respectives de deux plans parallèles avec une troisième sont parallèles :

Car ces intersections sont dans un même plan; et si elles se rencontraient, les plans parallèles se rencontreraient aussi.

Théorèmes sur les plans et sur les angles dièdres.

I » Combien peul-on faire passer de plans par trois points non situés en ligne droite?— 2° L'intersection de deux plans est une ligne droite ? — 3° Les angles dièdres sont proportionnels aux angles plans correspondants. — 4° Lorsqu’une droite est perpendiculaire à un plan , tout autre plan mené suivant la droite est perpendiculaire au premier, cl réciproquement. — 5° Tout plan perpendiculaire à deux autres plans qui se coupent est perpendiculaire à leur intersection. — C° Lorsque deux plans sont parallèles, toute droite parallèle à l’un d’eux, et passant par un point pris sur l’autre, est contenue tout entière dans ce dernier.

7 a Deux plans parallèles ont leurs droites perpendiculaires

communes. — 8° Deux droites parallèles ont leurs plans perpendiculaires communs. — 9° Les portions de deux droites parallèles comprises entre deux plans parallèles sont égales.

Je On ne peut faire passer qu'un plan par* trois points non situés en ligne droite.

Eu effet, si l’on joint deux points par une ligne droite, on pourra faire passer par cette ligne une infinité de plans qui contiendront ces deux points; mais si l'on lixe hors de

celte ligne un troisième point que le plan devra contenir aussi, ce plan se trouve entièrement déterminé.

2“ L'intersection de deux plans MN , OP (Jig. 80) est une ligne droite.

Les points A , B , G, etc., qui sont placés à la fois sur les deux plans MN,OP, sont situés en ligne droite; car si le point C n’était pas situé sur la ligne droite qui joint le point A au point B, les deux plans MN , OP, passant par trois points non en ligne droite, ne feraient qu’un seul et même plan.

3° Les angles dièdres sont proportionnels aux angles plans, correspondant s.

Pour comparer ces deux espèces d’angles, on cherche, d’une part, la plus grande mesure commune aux angles plans, et, d’autre part, la plus grande mesure commune aux angles dièdres correspondants. Cela fait, il est évident: 1° que les quotients successifs obtenus de part et d’autre seront constamment égaux deux à deux, et dans le même ordre; 2° et que l’une des divisions successives ne peut donner de reste, sans que sa correspondante ne donne aussi un reste. Donc, les deux conditions nécessaires à la proportionnalité des angles et des arcs étant remplies, on a :

Angle dièdre A : angle dièdre A' : : angle plan B : angle plan B'.

4° Lorsqu’une droite AB (tig. 120) est perpendiculaire à un plan MN, tout autre plan CF mené suivant ta droite est perpendiculaire au premier , et réciproquement.

En effet, toutes les droites menées perpendiculairement au plan MN par les différents points de l’intersection commune EF sont daus un même plan qui a les deux droites AB, EF, communes avec le plan CF, et qui par conséquent se confond avec lui ; donc, etc.

Réciproquement : lorsque lieux plans MN , CF, sont perpendiculaires entre eux ,

Toute droite AB menée dans l’un des deux CF perpendiculairement à l’intersection commune EF est perpendiculaire à l’autre.

Toute droite menée perpendiculairement à l’un d’eux MN par un point pris sur l’autre est tout entière dans ce dernier.

3" Tout plan C , perpendiculaire à deux autres plans

A , B , qui se coupent , est perpendiculaire A leur intersection.

En effet, si, par un point de l’intersection commune des deux plans A , C , on mène une perpendiculaire au plan C , clic sc trouve tout entière dans chacun des deux premiers, et se confondra par conséquent avec leur intersection.

Réciproquement : si un plan C est perpendiculaire à l’intersection de deux autres plans A, B, il est perpendiculaire â ces derniers.

6" Lorsque deux plans sont parallèles, toute droite parallèle à l’un d’eux , PQ ( fig. 121 ), et passant par un point A pris sur l’autre est contenue tout entière dans ce dernier.

Car si elle ne l’était pas , en menant un troisième plati parallèle aux deux autres, il s’ensuivrait qu’une même droite serait parallèle à deux autres qui ne le seraient pas entre elles; ce qui est absurde.

7° Deux plans parallèles, MN , PQ (tig. 121), ont leurs droites perpendiculaires communes.

Soit la droite AC perpendiculaire en A au plan MN : elle sera aussi perpendiculaire au plan PQ. En effet , d’abord elle rencontrera PQ, et soit C le point de rencontre. Par la droite AC, menons un plan quelconque ; soient AB et CD ses intersections respectives avec les plans parallèles : les droites AB et CD seront aussi parallèles. Or, AB est perpendiculaire à AC; donc CD est aussi perpendiculaire à AC. Mais le plan ABCD étant quelconque, la droite CD est aussi quelconque : donc AC est perpendiculaire à une droite quelconque menée par son pied dans le plan PQ ; donc AC est perpendiculaire au plan PQ.

8° Deux droites parallèles AB, CD (fig. 119) ont leurs plans perpendiculaires communs.

Soit le plan MIN' perpendiculaire è la droite AB au point B ; je dis que CD est perpendiculaire au plan MN.

D’abord le plan MN rencontrera la droite CD, et soit D le point où la droite CD perce le plan MN. Cela posé, si CD n’est pas perpendiculaire à MN, élevons, par le point D, sur ce plan , la perpendiculaire DC' ; les droites BA et 1)C' seront parallèles : d’où il résulterait que par le point D on pourrait mener deux parallèles à la droite AB; ce qui est absurde.

9° Les portions de deux droites parallèles comprises entre deux plans parallèles sont égales.

En effet, le plan des deux parallèles coupe les deux autres plans suivant deux autres droites aussi parallèles entre elles : d’où résulte un parallélogramme. Donc, etc.

§ 50. Des angles polyèdres.

1. Qu’appelle-t-on angle polyèdre ou solide, sommet, face, surface , arêtes, et comment désigne-l-on l’angle polyèdre? — 2. Quels noms particuliers donne-t-on aux angles polyèdres pour indiquer le nombre de leurs faces? Quel est le plus simple des angles polyèdres ?

4 . — On appelle en général angle polyèdre, ou improprement angle solide, la portion indéfinie de l’espace comprise entre plusieurs plans qui se coupent en un même point S (fig. 90).

On nomme sommet le point commun de rencontre S ; face, chacun des angles plans ASB, BSD, ASD, etc., qui comprennent l’angle polyèdre; surface , l’ensemble de ces angles plans, et arêtes, les intersections des faces prises deux à deux SA, SB, SC, SD, SE.

Un angle polyèdre se désigne par la lettre de son sommet, à laquelle on joint une lettre de son arête.

2 . — Pour indiquer le nombre des faces, on remplace ordinairement la dénomination générale d’angle polyèdre par celles d’angle trièdre, tétraèdre, pentaèdre, etc., suivant que le nombre des faces est trois , quatre , cinq , etc.

L 'angle trièdre, formé par trois plans qui se coupent en un même point, est évidemment le plus simple des angles polyèdres.

Théorèmes sur les angles polyèdres.

1° Dans tout angle trièdre, la somme des trois faces est moindre que quatre angles droits. —2° Dans tout angle trièdre, la somme des angles dièdres est plus grande que deux droits et plus petite que six. — 3° Lorsque deux faces d’un angle triedre sont égales, les angles dièdres opposés sont égaux; et lorsque deux faces d’un angle trièdre sont inégales, a la plus grande lace est oppose le plus grand angle dièdre. — 4° Deux angles triedres sont égaux; lorsqu’ils ont les faces égales chacune à chacune et semblablement disposées ; lorsqu'ils ont les angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés ; lorsqu’ils ont un

GhO géométrie,

angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées; lorsqu'ils ont une face égale adjacente à deux angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés. — 5° Dans tout angle polyèdre , la somme des faces est moindre que quatre angles droits.

1° Dans tout angle trièdre S (lig. 122), la somme des trois faces est moindre que quatre angles droits.

En effet , menons un plan qui coupe les faces , suivant AB, AC, BC; puis d’un point quelconque O pris dans le triangle ABC, menons les droites AO, BO, CO. Nous aurons trois triangles ayant respectivement pour bases les droites AB, AC, BC, et le point S pour sommet commun ; puis trois autres triangles ayant respectivement les mêmes bases et leur sommet en O. Cela posé , l’angle CAB, formé de la somme des angles OAC et OAB, est moindre que la somme des angles SAC , SAB; de même ABC < SBA 4- SBC , et BCA < SCB -j- SCA ; donc la somme des angles à la base des triangles qui ont leur sommet en O est moindre que la somme des angles à la base des triangles qui ont leur sommet en S. Or la somme des angles des trois triangles de chaque système est la même ; donc la somme des angles en S est moindre que la somme des angles en O, et puisque celle-ci vaut quatre droits, il s’ensuit que celle-là est moindre que quatre droits. — C. Q. F. D.

2° Dans tout angle trièdre, la somme des angles dièdres est plus grande que deux droits et plus petite que six .

En effet , la somme des angles dièdres de l’angle trièdre proposé , augmentée de la somme des faces de son angle trièdre supplémentaire, forme six droits. Or, la seconde somme partielle est comprise entre zéro et quatre droits : donc la première est moindre que six droits et plus grande que deux. — C. Q. F. D.

3° Lorsque deux faces d’un angle trièdre sont égales, les angles dièdres opposés sont égaux; lorsque deux faces sont inégales, à la plus grande face est opposé le plus grand angle dièdre.

On démontre ces théorèmes par une méthode analogue à celle qui a été employée pour les triangles (p. 625).

4° Deux angles trièdres sont égaux : lorsqu’ils ont les faces égales chacune à chacune et semblablement disposées; lorsqu’ils ont les angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés; lorsqu’ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales cha-

OÉ0MÉTK1E. tiKi

eu ne à chacune et semblablement disposées; lorsqu’ils ont une face égale adjacente à deux angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

On démontre ces quatre théorèmes par une méthode analogue à celle qui a été employée pour les triangles ( p. f>2f> et suiv.).

5° Vans tout angle polyèdre SABCDE ( lig. 90), la somme des faces est moindre que quatre angles droits.

D'abord l’angle polyèdre étant supposé convexe, il est toujours possible de faire passer par son sommet S un plan MN (différent des faces), tel que cet angle polyèdre soit tout à fait situé d’un même côté du plan ; en menant alors par un point A d’une arête SA un plan PQ parallèle au premier. celui-ci coupera toutes les arêtes, et de là résultera un polygone ABCDE. Supposons que d’un point O pris dans l'intérieur de ce polygone on mène des droites à tous les sommets. 11 restera à prouver que la somme des angles en S est moindre que la somme des angles en O; ce qui se fait absolument comme au n° 3.

S 31 Des polyèdres en général. — Vu prisme. — Vu parallélépipède. — Du cylindre droit. — Vu tétraèdre. — De la pyramide. — Vu cône circulaire droit.

1 . Qu’appelle-l-on en général polyèdre ? Qu’esl-cc que les faces, la surface , les arêtes et les sommets d’un polyèdre ? — 2. Combien le polyèdre a-t-il d’angles dièdres et polyèdres? — 3. Qu’est-ce qu’un polyèdre convexe? un polyèdre concave ? — 4. Quand deux polyèdres convexes coïncident-ils? — 5. Quand un polyèdre est-il dit régulier ? — 0. Combien distingue-t-on d’espèces principales de polyèdres? — 7. Qu’est-cc qu’un prisme? Que noinme-t-on faces latérales ou pans , bases et hauteur du prisme? — 8. Quels noms particuliers donne-t-on au prisme d’après la nature de sa base ou le nombre do ses pans ? Qu’estce qu’un prisme droit? un prjsme oblique? un prisme carré? un tronc de prisme ou un prisme tronqué? — U. Qu’est-ce qu’un parallélépipède? un parallélépipède droit? un parallélépipède rectangle? — 10. Qu'cst-cc qu’un cube ou hexaèdre régulier? — 11. Qu’appelle-l-on surface cylindrique? — 12. Qu’af>l>elle-t-on , en général, cylindre? bases et hauteur ou axe d’un cylindre? — 13. Qu’est-cc qu’un cylindre droit? — 14. Qu’appelle-l-on tronc de cylindre ou cylindre tronqué? — I.S. Qu’appelle-l-on tétraèdre? base et hauteur du tétraèdre? — 10. Qu’eslcc qu’une pyramide? Qu r csi-cc que les faces latérales ou pans,

682 GS0MËTC1E.

base, somme! et hauteur de (a pyramide? — 11. Quels noms particuliers donne-t-on à la pyramide suivant la nature de sa base ou le nombre de scs pans? — 18. Qu’est-cc qu’un tronc de pyramide ou une pyramide tronquée ? — 19. Qu’appelle-lon surface conique? — 20. Qu'appelle-t-on, en général, cône? base cl hauteur ou axe d'un cône ? — 21. Qu’est-ce qu’un cône circulaire droit ? — 22. Qu’appelle-t-on tronc de côue ou cône tronqué? grande base et petite base?

1. — On appelle en général polyèdre un espace entièrement circonscrit, en d’autres termes, un solide terminé par plusieurs plans qui se coupent deux à deux (fig. 91).

Le polyèdre se trouve ainsi limité par une série de polygones que l’on nomme ses faces , et dont l’ensemble consiiiue la surface du polyèdre ; les côtés de ces faces sont les arêtes du polyèdre, et les points d’intersection de ces arêtes en sont les sommets.

2 Il y a dans un polyèdre autant d’angles dièdres

qu’il a d’arêtes, et autant d’augles polyèdres qu’il a de sommets.

5. — Le polyèdre est convexe, lorsque tous ses angles polyèdres sont saillants ; il est concave, si quelqu’un d’eux est rentrant.

4 . — Deux polyèdres convexes coïncident, lorsqu’ils ont les mêmes sommets.

— Un polyèdre est dit régulier, lorsque tonies ses faces sont des polygones réguliers égaux entre eux et que tous ses aqgles dièdres sont égaux : d’où il suit qu’un polyèdre régulier est nécessairement convexe.

«$. — On distingue deux espèces principales de polyèdres : le prisme et la pyramide.

7. — Un prisme est un polyèdre qui a pour faces deux •polygones égaux et parallèles , et une série de parallélogrammes en nombre égal à celui des côtés de chaque polygone (fig. 92); les parallélogrammes AB', BC', CD', DE', LA' sont les faces latérales ou les pans du prisme, et leur ensemble compose sa surface latérale.

On appelle bases du prisme les deux polygones ABCDE, A'B'C'iyE', et hauteur la distance de ces bases ou la perpendiculaire commune à leur plan.