La pyramide est dite triangulaire, quadrangu

laire, pentagonale , suivant que sa base est un triangle,

un quadrilatère, un pentagone , ou suivant qu’elle a 3,

4,- 5 pans.

IB- — Lorsque toutes les arêtes latérales d’une pyramide SABCDE sont coupées par un plan entre le sommet et la base, la figure se trouve décomposée en deux autres : l’une SA'B'C’D'E' est une seconde pyramide, et l’autre ABCDEA'B'C'D'E’ se nomme un tronc de pyramide ou une pyramide tronquée.

19. — On appelle surface conique la surface engendrée par le mouvement d’une droite SC (fig. 97), qui passe constamment par un même point nommé sommet ou centre de

ia surface. Il est clair d'après cela qu'un cône peut être considéré comme une pyramide d’un nombre iniiui de pans dont la base est infiniment petite.

Quand la base est une circonférence de cercle, la surface conique est dite circulaire; et quand le sommet est situé sur l’arc de ce cercle, clic est dite circulaire droite.

*40- — On appelle , en général , cône l’espace limité par uoe surface conique et un plan (fig. ‘J7 ). La section CA se nomme base du cône, la droite SO est la hauteur ou \'axe du cône. Le cône est dit circulaire quand la base est uu cercle.

2 1 . — Un cône circulaire droit peut être considéré c omme engendré par la révolution d’un triangle rectangle SOA (fig. 97) autour d’un des côtés SO de l’angle droit 0, qui devient l’axe du cône.

Toutes les arêtes d’un cône circulaire droit étant égales entre elles, il s’ensuit que si l’on suppose sa surface latérale fendue suivant une arête, le développement de cette surface sera un secteur ayant pour rayon l’arête du cône, et une base équivalente en longueur à la circonférence de la base du cône.

22. — On appelle tronc de cône ou cône tronqué l’espace limité par une surface conique et par deux plans quelconques menés d’un même côté du sommet et qui se coupent hors du cône. — Les sections de la surface conique par les deux plans se nomment les bases du tronc. La petite base est la plus rapprochée, et la grande base est la plus éloignée du sommet. Quand les plans sont parallèles , le tronc est dit à bases parallèles.

Un tronc de cône à bases parallèles CA' (fig. 97) peut être considéré comme produit par la révolution d’un trapèze OA' rectangle en 0 et en 0', tournant autour du «ôté (X)' comme axe.

§ 32. De la sphère. — De ses propriétés générales. — De ses cercles.

1. Qu’appelle-t-on surface de révolution? — 2. Qu’appelle-l-on lignes méridiennes ou sections méridiennes ? —3. Qu’appellet-on cercles parallèles? — 4. Qu’appelle-t-on corps rond ? le cône et le cylindre sont-ils des corps ronds? — 5. Qu’appcllet-on surface sphérique? — G. Qu’uppelle-t-on sphère? Qu’est-

ce que la sphère est dans l’espace relativement aux surfaces courbes? — 7. Toute section d’une sphère par un plan est un cercle. — 8. Qu’appelle-t-on hémisphère? grand cercle? petit cercle? — 9. Quelles sont les propriétés générales de la sphère? — - 10. Qu’appellc-l-on axe et pôles du cercle? — 11. Qu’appelle-l-on aies perpendiculaires? — 12. Qu’est-ce qu’un quadrant? — 13. Qu’appelle-t-on calottes sphériques ? — 14. Qu'appelle-t-on secteur sphérique ?

1 . — On appelle surface de révolution la surface engendrée par la révolution d’une ligne droite ou courbe , tournant autour d’une droite que l’on appelle l’axe de révolution, de manière que, dans ce mouvement , chaque point de la génératrice décrive une circonférence de cercle ayant son centre sur l’axe, et dont tous les rayons restent constamment perpendiculaires à cet axe. Telles sont les surfaces qu’on produit au moyen du tour ordinaire.

2- — On appelle lignes méridiennes ou sections méridiennes, les intersections de la surface par les plans que l’on peut mener suivant l’axe.

3. — On nomme cercles parallèles de la surface, les différents cercles dont les circonférences sont décrites par chaque point de la génératrice.

4. — On appelle généralement et improprement corps rond, tout espace renfermé, soit dans une surface de révolution , soit entre une portion de la surface de révolution et les divers cercles de la surface.

Le cône et le cylindre que l’on obtient en coupant les surfaces coniques et cylindriques de révolution , par des plans perpendiculaires à l’axe , sont donc des corps ronds.

5. — La surface sphérique est engendrée par la révolution d’une demi-circonférence GAK (fig. 98), tournant autour du diamètre immobile GK, qui lui sert de corde. Chaque point de celle circonférence décrit un cercle tournant autour du diamètre. Il résulte de là qu’on peut encore la définir : une surface courbe entièrement fermée, dont tous les points sont également distants d’un point intérieur que l’on nomme centre.

<5. — La sphère est l’espace renfermé dans la surface sphérique; cependant ce nom s’applique aussi à la surface elle-même.

• La sphère est dans l’espace, relativement aux surfaces courbes, cc que le cercle est par rapport aux courbes planes.

Ainsi l’on nomme centre le point intérieur O, dont sont également éloignés tous les points de la surface sphérique; rayon, la distance constante du centre à la surface; diamètre , toute droite qui, passant par le centre, aboutit de part et d’autre à la surface, etc.

Deux sphères sont égales tant qu’elles ont même rayon ou même diamètre.

7. — Toute section d’une sphère OA (tig. 98), par un plan CDFG , est un cercle.

En effet , abaissons du centre O la perpendiculaire OP sur le plan de la section , et menons aux divers points de la ligne d’intersection les rayons OC, OD...., et les droites PC, PD.,..; les obliques OC, OD.... étant égales , on aura aussi PC — PD = .... ; donc la ligne d’intersection est une circonférence de cercle qui a pour centre le point P et pour rayon la distance PC.

8. — Tout plan qui passe par le centre O de la sphère coupe sa surface suivant une ligne courbe qui est évidemment de même centre et de meme rayon que la surface elle-même. Ce plan partage la sphère et sa surface en deux parties égales qu’on nomme hémisphères (moitiés de sphère).

On nomme grand cercle, l’intersection de la sphère et d’un plan GIKL, A1EL, qui passe par son centre, parce que ce cercle est le plus grand qu’on puisse tracer sur sa surface.

Si le plan passe par tout autre point que le centre, la section est un petit cercle d’un rayon moindre que celui de la surface ; le cercle CDFG est donc un petit cercle.

9. — Tous les grands cercles d’une même sphère ou de sphères égales sont égaux.

Deux points quelconques, A, C, d’une surface sphérique déterminent toujours un grand cercle, puisque ces deux points et le centre de la sphère déterminent un plan.

Deux grands cercles ACEF, ADEG, se coupent mutuellement en parties égales ; car leur intersection commune AC, passant par le centre O, est un diamètre commun aux deux cercles.

La sphère est une surface convexe , c’est-à-dire qu’une ligne droite ne saurait percer sa surface en plus de deux points ; car, en menant un plan par cette droite et par le centre, on obtient une circonférence de grand cercle , qui , d'une part, doit contenir tous les points communs à la

f>88 i;éOMÉrniE.

droite et à la surface sphérique , et qui , d’autre part , n’eu peut contenir que deux.

10- — Le centre du cercle CDFG et celui de la sphère sont sur une même droite perpendiculaire au plan du cercle ; celte droite est Y axe du cercle , et l’on nomme pôles du cercle les points A , E , où celle droite perce la surface sphérique.

II. — Tous les points de la circonférence CDFG d’un cercle de la sphère sont également distants en ligne droite de chacun de ses pôles A ou E.

Par conséquent, tous les arcs de grand cercle CA, DA, des différents points de la circonférence CDFG à l'un de ses pôles A ou E sont égaux, puisqu’ils ont leurs cordes égales, et les plans de ces arcs sont perpendiculaires à celui de la circonférence , puisqu’ils contiennent l’axe de celle-ci. On dit, par cette raison, que ces arcs sont perpendiculaires au cercle, et par suite à la circonférence.

12 - — Les arcs de grand cercle menés aux divers points de plusieurs circonférences parallèles, de l’un de leurs pôles communs , augmentent à mesure que ces circonférences sont plus éloignées du centre. Pour toute circonférence de grand cercle, l'arc de grand cercle mené par chacun de ses points à l'un de ses pôles est un quart de grand cercle ou mi quadrant.

15 . — On nomme calottes sphériques les deux portions dans lesquelles la surface se trouve divisée par un plan CDFG. Le cercle CDFG est leur base commune. Le sommet d’une calotte ACDFG est le point A où elle est percée par l’axe du cercle CDFG qui lui sert de base-, et sa hauteur est la portion AP de cet axe comprise entre son sommet et le centre P de la base.

ih . — On nomme secteur sphérique , l’espace compris entre une calotte CAF et une surface conique COF ayant pour sommet le centre 0 de la sphère, et pour base celle de la calotte. On nomme base d'un secteur la calotte qui lui correspond.

g ôô. Mesure des surfaces cylindriques, coniques et sphériques.

Théorèmes sur la mesure des surfaces cylindriques , etc.

1° La surface latérale d’un prisme droit a pour mesure le produit du périmètre de sa base par une arête. — 2° La surface latérale ou convexe d’un cylindre circulaire droit a pour mesure le produit de la circonférence de la base multipliée par sa hauteur. —

3° La surface latérale ou convexe d’un tronc de cylindre circu- % laire droit a pour mesure le produit de son axe multiplié par la circonférence de sa zone circulaire. — 4° La surface latérale d’une pyramide régulière a pour mesure la moitié du périmètre de sa base par l’apothème de la pyramide. — 5° La surface latérale d’un cône circulaire droit a pour mesure la moitié du produit de la circonférence de sa base multipliée par son côté. — 6° La surface latérale d’un tronc de cône circulaire droit a pour mesure la somme des circonférences de ses bases multipliées par la moitié de son côté. — 7° La surface de la sphère est égale à son diamètre multiplié par la circonférence d’un grand cercle.

1° La surface latérale d’un prisme droit a pour mesure le produit du périmètre de sa base par une arête. (On prend pour unité de mesure celle du carré qui a pour côté l’unité de longueur.)

En effet, cette surface n’est autre chose qu’une série de rectangles adjacents deux à deux , ayant une arête pour hauteur commune, et dont la somme des bases compose le périmèlre de la base des prismes.

Corollaire. La surface totale d’un prisme régulier (bases comprises) a pour mesure le produit du périmètre de sa base par la somme faite d’une arête et de l’apothème de cette base.

2° La surface latérale ou convexe d’un cylindre circulaire droit a pour mesure le produit de la circonférence de la base multipliée par la hauteur.

En effet, un cylindre droit peut être considéré comme un prisme droit; or, la surface d’un prisme droit a pour mesure le produit du périmèlre de sa base multiplié par sa hauteur : ce périmètre n’est autre chose que sa circonférence; donc, etc.

Soit S la surface, R le rayon de la base, et H la hauteur : S — 2-R1I.

690 CÉOMÉTME.

Application numérique. R = !«,2; H = 2»*-. S = 2x 3,14x1,2x2 = 15,072 (15 mèlres carrés, 7 décimètres carrés, 20 centimètres carrés).

3° La surface d'un tronc de cylindre circulaire droit a pour mesure le produit de son axe multiplié par la circonférence de sa zone circulaire.

Car si l’on considère un cylindre de même base, et dont l’axe serait double, on voit que ce cylindre contiendrait deux fois le tronc proposé.

4° La surface latérale d’une pyramide régulière a pour mesure la moitié du périmètre de sa base par l’apothème de la pyramide.

En effet . celle surface n’est autre chose qu'une série de triangles adjacents deux à deux, ayant l'apothème pour hauteur commune, et dont la somme des bases compose le périmètre de la base de la pyramide.

Corollaire. La surface totale d’une pyramide régulière (bases comprises) a pour mesure la moitié du périmètre de sa base par la somme des apothèmes respectifs de la pyramide et de la base.

5° La surface convexe d’un cône circulaire droit a pour mesure la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son côté.

En effet , on peut considérer le cône circulaire droit comme une pyramide, et sa surface comme formée d’une infinité de triangles dont la hauteur égale le côté du cône. Or, chacun de ces triangles a pour mesure la moitié du produit de sa base par sa hauteur; donc la somme de ces triangles ou la surface du cône égale la somme des bases multipliée par la moitié de la hauteur commune, c'est-à-dire la circonférence de la base du cône multipliée par la moitié de son côté ou la moitié de la circonférence de la base multipliée par le côté du cône.

Soit S la surface , R le rayon de la base et L le côté , on a : S = 2 ttR X y = «RL.

6° La surface latérale ou convexe d’un tronc de cône circulaire droit a pour mesure la demi-somme des circonférences de ses bases multipliée par son côté.

En effet , le cône pouvant être considéré comme une pyramide, un tronc de cône équivaut à un tronc de pyramide, et sa surface à une infinité de trapèzes d'une hauteur égale au côté du tronc. Or, chacun de ces trapèzes a pour mesure

la demi-somme de ses bases, multipliée par la hauteur commune : donc l’ensemble des trapèzes , ou la surface du cône tronqué, vaudra la demi-somme des bases des trapèzes multipliée par la même hauteur, ou la demi-somme des deux circonférences multipliée par le côté.

Soit S la surface, R et r les rayons des bases, et L le côté :

7° La surface de la sphère est égale d son diamètre multiplié par la circonférence d’un grand cercle.

En effet, la sphère est engendrée par la révolution d’un demi-grand cercle autour de son diamètre (p. 686); si l’on considère ce demi-cercle comme un polygone d’une infinité de côtés, alors la surface de la sphère sera produite par la révolution de ces différents côtés autour d'une droite immobile, c’est-à-dire qu'elle sera l’assemblage d'une infinité de surfaces de troncs de cône. Or il est facile d'évaluer ces différentes surfaces et d’en faire la somme.

Soit AB (fig. 12.7) un des côtés tournant autour du diamètre immobile PQ; ce côté décrit une surface convexe qui, d’après le théorème précédent , a pour mesure le côté AB multiplié par la demi-somme des circonférences qui ont AC et BD pour rayons. Or, la demi-somme de ces circonférences est une circonférence moyenne qui a pour rayon une moyenne arithmétique entre les rayons des deux premières; celte moyenne est la ligne IK relativement aux rayons AC

et BD , car !K = IS -f* SK , et IS = -— , comme SK =;

GD -f AC J BC -f- GD -f AC BD 4- AC

: donc Ik = — — L ou ±

Donc la surface décrite par le côté AB = AB multiplié par la circonférence dont IK est le rayon. Mais ce produit peut être remplacé par celui de CD, hauteur du tronc du cône,multiplié par la circonférence dont 01 est le rayon ; car les triangles ABC, OIK, ayant les çôlés perpendiculaires chacun à chacun, sont équianglcs et semblables; or ils donnent la proportion AB : AG ou CD : : 01 ; IK et aussi : : cire. 01 : cird. IK; d’où l’on tire AB X cire. IKzzCDX cire. 01: donc la surface décrite par le côté AB égale CD, partie du diamètre qui correspond à ce côté, multiplié par la circonférence dont 01 est le rayon. Or, lorsque AB est un des éléments de la courbe considérée comme un polygone, 01 se confond avec OR, rayon de la sphère ; donc la surface dé-

crite par chacun des éléments du demi-cercle générateur égale la partie correspondante du diamètre multipliée par la circonférence d’un grand cercle ; donc la surface totale décrite par le demi-cercle, ou celle de la sphère, égale le diamètre entier multiplié par la circonférence d’un grand cercle ou S = 2 n R X 2 H = 4nR s .

Application numérique. R '= 5" 1 -, 2 , Y — i x ”> ( I 4 X ( 5,2 )* = 539»i- ,6224.

§ 54. Pollinie des parallélépipèdes, des prismes et du cylindre, des pyramides, du cône, de la sphère et du secteur sphérique.

I. Comment subdivise-t-on le mètre cube?— -2. Quelle est la mesure d’un cube ?

I. — Pour subdiviser le mètre cube, on partage en parties égales les trois arêtes qui aboutissent à un même sommet, et l’on mène par les points de division des plans perpendiculaires à ces arêtes.

a. — Soit à mesurer le cube AB (fig. 99). Je suppose les arêtes AC, AD et AE = 4<™-. Si par les points de division île l’arête AC je mène des plans perpendiculaires à celte arête et parallèles à la base, le cube sera divisé en 4 paralléiipipèdes égaux. Si par les points de division de AD et de AE je mène aussi des plans perpendiculaires à ces arêtes, le cube entier sera divisé en 64 petits cubes égaux de i cm sur chaque dimension, c’est-à-dire en 64<™-. Or est le cube de 4‘> n -, valeur de chaque arête.

Donc la mesure d’un cube est égale au produit des arêtes qui concourent à former un angle solide, ou plus simplement, le volume d’un cube est égal au cube numérique de l’arête.

Théorèmes sur le volume des parallélépipèdes , des prismes, des cylindres , des pyramides , du cône , etc. ,

1° Le volume d’un parallélépipède rectangle a pour mesure le

f troduit de sa base par sa hauteur. — 2° Le volume d’un paralélépipède quelconque a pour mesure te produit de sa base par sa hauteur. — 3° Le volume d’un prisme triangulaire a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. — 1° Le volume

<l’un prisme quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. — 5° Le volume d’un cylindre a pour mesure le produit de sa base par la hauteur. — 6° Le volume d’une pyramide triangulaire, et par suite d’une pyramide quelconque, a pour mesure le tiers du produit de la base par la hauteur. — 7° Le volume d’un cône a pour mesure le tiers du produit de la base par la hauteur. — 8° ‘Le volume de la sphère a pour mesure le tiers du produit de sa surface par son rayon. — 9° Le volume du secteur sphérique a pour mesure le tiers du produit de la calotte par le rayon.

4° Le volume d’un parallélépipède rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

En effet, le parallélépipède peut se décomposer en petits cubes ayant pour côtés l’unité linéaire, et dont le nombre égale le produit des trois dimensions. En général , soit V le volume, B la base, et H la hauteur : V— B X H.

Application numérique. Admettons que les 3 dimensions d’un parallélépipède rectangle soient ,2, 6 m -,4 et 40 m 1 7. V = 5 m -| 2 X 6 m |4 X 10" 1 -, 7 = 356d)96, ce qui s’énonce 356 mètres cubes , 96 décimètres cubes. C'est ainsi qu’on évalue les bois équarris.

2° Le volume d’un parallélépipède quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Car tout parallélépipède peut être changé en un parallélépipède rectangle équivalent, de même base cl de même hauteur.

Soit B =^2 « i , 27 d i- ; H = 3"*|15«-; V=i: 27 X

3 m l 45 c =7' nc (450S=7 mètres cubes, 130 décimètres cubes , 500 centimètres cubes.

3° Le volume d’un prisme triangulaire a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

En effet, tout prisme triangulaire est la moitié d’un parallélépipède de même hauteur et de base double. Or la solidité de celui-ci égale le produit de sa base par sa hauteur : donc celle du prisme triangulaire égale le produit de sa propre base par sa hauteur, puisque cette base est moitié de celle du parallélépipède. Soit B la base, et II la hauteur : V=BX H.

Application numérique. On évalue en mètres carrés, décimètres carrés, etc., la surface du triangle formant la base; puis on multiplie cette surface par la hauteur du prisme, et l’on obtient le volume en mètres cubes.

4° Le volume d’un prisme quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

En effet, un prisme quelconque peut être partagé en autant de prismes triangulaires de même hauteur que le périmètre de sa base a de côtés, moins deux. Or, la solidité de chaque prisme triangulaire égale sa base multipliée par sa hauteur : donç la somme de tous les prismes triangulaires, ou le prisme quelconque, égale aussi le produit de sa base par sa hauteur.

Application numérique. On évalue en mètres carrés la surface du polygone formant la base; puis on multiplie cette surface par la hauteur du prisme, et l'on obtient le volume en mètres cubes, etc.

5° Le volume d’un cylindre a pour mesure le produit de sa base par la hauteur.

En effet , tout cylindre peut être considéré comme un prisme d'un nombre infini de faces latérales dont la largeur est inlinimenl petite. Le volume d'un cylindre est donc identique à celui du prisme de même base et de même hauteur. Or, celui-ci a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur; donc, etc.

Soit V le volume, II le rayon de la base, et II la hauteur : V = *R‘Xll. *

Application numérique. R = 1 ; H = 2™ . V = 3,1 4

ti° Le volume d’une pyramide triangulaire , et par suite d’une pyramide quelconque, a pour mesure le tiers du produit de la base par la hauteur.

En effet, une pyramide triangulaire est le tiers d'un prisme de même base et de même hauteur ; or, le prisme triangulaire a pour mesure de son volume le produit de la superûcie de la base multipliée par la hauteur : donc, etc.

Si la base est polygonale, on en évalue la superficie comme celle d’un polygone (p. ü71).

Soient V le volume, B la base, et H la hauteur. V=