III. La perspective offre aussi l’application de l’inter

section des surfaces coniques avec un plan ; mais les surfaces coniques que l’on y rencontre ne .sont pas seulement des surfaces coniques circulairesdroites, ony trouve des suiiaces conicpies de toute espèce. Les rayons visuels, dirigés de l’œil du spectateur vers tous les points d’une courbe quelconque, située comme on voudra au delà du plan du tableau, forment une surface conique dont l’intersection avec ce plan e.st la perspective de la courbe. Les rayons visuels menés à tous les points d’une circonférence de cercle , par exemple, forment en général unesurface conique oblique ; rinter.seclion de celle suiface avec le plan du tableau peut être une section conique quelconque, mais, le plus .souvent, c’est une ellipse; voilà j)ourquoi les cercles, vus en perspective, paraissent elliptiques : c’est ce qu’on peut ob.server en legardant obliquement les roues d’une voilure, ou en voyant le ,

bord d’un bassin circulaire.

IV. Si l’on remplit d’eau un vase conique , par exemple un entonnoir bouché par le bas , la surface supérieure du liquide se trouve terminée par une courbe,

qui est rinlei*section de la surface conique avec le plan i

horizontal formé par le niveau du liquide. Cette courbe ^

esl un cercle ou une ellipse, suivantque l’axe de la sur- |

40G SECOîiDE PARTIE.

face conique esl vertical ou incliné d’un certain angle à l’horizon. Au delà d'une certaine inclinaison, l’eau s’écoule et l’expérience ne peut plus être continuée; mais on obtient les deux autres sections coniques en plongeant l’entonnoir, sous diverses inclinaisons, dans un vase plein d’eau.

546. • — L’intersection d’une surface conique et d’une surface cylindrique est, en général, une courbe à double courbure. Il en est de même de l'intersection de deux surfaces coniques entre elles. Lorsque les deux surfaces ont le même axe, elles ne peuvent se couper que suivant une circonférence de cercle. La méthode des projections fournit le moyen de déterminer ces diverses intersections; mais ce sujet nous entraînerait trop loin.

Applicatioxs. 1. Lorsqu’une tour circulaire a du talus, c’est-à-dire quand sa muraille offre plus d’épaisseur à sa base qu’au sommet, la surface extérieure de cette tour est une surface conique droite à axe vertical. Si l’on veut y pratiquer une porte ou une fenêti*e cintrée, on a à construire l’intersection de cette surface avec une surface cylindrique à génératrices horizontales. La même chose arriverait si une pareille surface était rencontrée par une voûte en berceau.

H. Les robinets ordinaires pré.sentent une intersection pareille : c’est celle de la surface cylindrique qui forme le corps du robinet avec la surface conique de la cavité qui reçoit la clef.

III. Lorsque la lumière d’une lanterne à verre circulaire .se projette sur la muraille d’une salle ronde , la séparation entre la lumière projetée et l’ombre environnante est l'intersection de la surface cylindrique de la muraille, avec la surface conique formée par les rayons lumineux qui rasent le bord du verre.

IV. La perspective offre aussi une application de l’intersection des surfaces coniques et cylindriques. Dans les panoramas, par exemple , le plan du tableau est remplacé par une surface cylindrique qui est celle de la toile sur laquelle le sujet doit être peint. Les rayons visuels, menés de l’œil du spectateur aux différents points d’Une

GÉOMÉTRIK DAtNS l’kSPACI:. 407

ooiirbo située comme on voudra au delà de la toile, Ibrinenl une surface conique dont riuterseclion avec ia surface de la toile est la perspective de celle courbe.

V. La lumière d’une lanterne à verre circulaire, projetée sur la muraille d’une tour ronde en talus, offrirait un exemple de l’intersection de deux surfaces coniques.

547. — Les surfaces coniques jouissent, comme les surfaces cylindriques, de la propriété d’être développables.

En effet, considérons plusieurs génératrices consécutives S«, S/v, Sc, Si/, etc. (fig. 463), suffisamment rapprochées les unes des autres pour que la portion de surface conique comprise entre deux de ces génératrices consécutives puisse être regardée comme .sensiblement plane. Si l’on fait tourner le plan aSh autour de comme charnière, on pourra toujours l’amener sur le prolongement du plan hSc; et si l’on fait tourner ensuite le plan aSc autour de Sc comme charnière, on pourra toujours l’amener sur le prolongement du plan cSi/. En continuant ainsi, on voit que toutes les faces élémentaires aSù , bSc, cSd, etc., pourront être amenées dans un même plan, ou développées suivant ce plan.

548. — Il est facile de voir que, dans ce développement, tous les points de la surface conique situés à égale distance du sommet resteront encore à égale distance de ce sommet, et appartiendront conséquemment à un même arc de cercle ayantee sommet pour centre, et pour rayon la distance en question.

Dans une surface conique droite, par exemple, une .section telle que AàlB (fig. 464), faite par un plan perpendiculaire à l’axe SO, a tous scs points à égale distance du sommet, puisque l’axe est une perpendiculaire élevée au plan du cercle AM B par son centre (407). Le développement de cette section sera donc un arc de cercle BC ayant le point S pour centre, et la distance BS pour rayon.

On peut calculer d’avance le rapport de l’arc BC à la circonférence entière dont il fait partie; car cet arc

Vi08 SFCONDF. PARTIE.

étant égal eu longueur à la circonférence AM lî a pour valeur S’^rXOl}; et la circonférence <lonl cet arc fait partie a pour valeur 2'irXSB. L’arc BG est donc à la circonférence entière comme OB est à SB.

Cette relation montre que cet arc est toujours moindre que la cii'conférence ; car O B est toujours moindre que SB; et qu’il en approchera d’autant plus que O B approchera plus de SB, c’est-à-dire d’autant plus que l’angle OSB , et par suite l’angle de la surface conique, seront plus grands.

Remarque. Lorsque l’angle de la surface conique est deCO°, l’arc B G est précisément une demi-circonférence, car l’angle OSB étant alors le tiers d’un angle droit, le triangle SOB est la moitié d’un triangle équilatéral, et O B est la moitié de SB.

Application. Lorsqu’une surface conique roule sur un plan, toutes ses génératrices viennent s’appliquer successivement sur ce plan , comme si elle s’y développait. Ce que nous venons de dire peut donc servir à régler la vitesse de rotation des meules coniques employées dans diverses fabrications, et notamment au broiement du cacao.

Ges meules font un certain nombre de révolutions, autour de leur axe propre, tandis que celui-ci fait luiinéine un tour entier autour de l’axe vertical de la macbifie. Si l’on veut que chaque meule fasse, par exemple, trois tours sur son axe, ])eiuinnlque cet axe fait luimême un tour complet autour de l’axe vertical , il faudra que la surface conique soit contrainte de se développer trois fois sur le plan pour le couvrir en entier; il faudra donc que BG soit le tiers de la circonférence, et que, par conséquent ,OB soit le tiers de SB. Ayant construit le triangle rectangle SOB d’après cette condition , on aura les éléments nécessaires pour obtenir la surface conique (541).

54Ü. — Prouléme. Développer sur une .surface plane V intersection d’une surface conique et d’un plan. Supposons que l’axe de la .surface conique soit vertical ; prenons le plan vertical de projection perpendiculaire au

Digi!i-.':1 by Googk,

CKOMJiTRIR DAN-S l’eSPACE. 409

plan coupant. La trace verticale de celui-ci sera unecertaine droite mh' ((ig. -IG5) , et sa trace liori/onUile mh sera perpendiculaire à la ligne de terre. Soient S et O les projections du sommet de la surface conicjue ; Aalî le trace horizontale de cette surface; AB celle d’un plan vertical parallèle au plan vertical de projection , et passant par l’axe de la surface. Soient enfin SA et SB' les projections verticales des génératrices qui passent par les points A et B. Ces projections seront égales à ces généi’atrices mêmes, puisque celles-ci sont dans un plan parallèle au plan vertical de projection.

Si l’on développe la surface conique sur le plan vertical dont la trace horizontale est AB, et qu’on projette ensuite ce développement sur le plan vertical de projection, il s’y projettera en vraie grandeur, puisque ces jilans sont parallèles. Le développement de la circonférence AaBsera donc un arc A'H , ayant S pourcenlre, et dont la longueur est à la circonférence entière qui a pour rayon SA', comme O' A' est à SA'.

Partageons la circonférence A«B en un certain nombre de parties égales, à partir du point A; partageons l’arc A'II en un même nombre de parties égales à partir du point A'.

l’ar un des points de division de la circonférence A «B, menons le rayon Oa; ce sera la projection horizontale d’une génératrice. Menons tia' perpendiculaire à la ligne de terre, et joignons S«'; ce sera la projection verticale de celte même génératrice. T.e point f‘ où elle rencontre la trace verticale du jdan coupant, .sera la projection verticale du point où cette génératrice rencontre ce plan. Appelons F ce point.

Dans le développement de la surface conique, ce point F sera resté à la même distance du sommet. Si l’on joint par conséquent le point S avec le point de division d qui correspond au point de division a, la-droite Sw' exprimant la position que prendra dans ce développement la génératrice que nous considérons , il suffira , pour avoir la position du point F sur ce développement, Ue prendre sur ^d, à partir du point S , une longueur

410 SF(Î01VDP PARTIF.

t‘gale à la dislance du point F au sommet de la surface conique.

Pour obtenir cette distance, imaginons par le point F un plan horizontal; sa trace verticale sera/’c parallèle à XY. Ce plan, étant perpendiculaire à l’axe de la surface conique, coupera cette surface suivant une circonférence de cercle dont tous les points seront également distants du sommet. La distance du point F au sommet est donc la même que celle de ce sommet au point où la génératrice qui a pour projections SA' et OA rencontre le plan horizontal dont la trace verticale est f'c. Or, cette génératrice se projetant en vraie grandeur sur le plan vertical de projection , la distance que nous cherchons n’est autre que Sc.

D’après cela , du point S comme centre , avec un rayon égal à Sr, décrivons un arc de cercle qui coupera Sa' en F'. Ce point sera l’un de ceux qui appartiennent au développement cherché. Tous les autres points de ce développement s’obtiendront de la même manière, et l’on n’aura plus qu’à les lier par une courbe.

Remarque. Quoique les raisonnements précédents puissent paraître compliqués, il est bon de remarquer que les opérations auxquelles ils conduisent sont trèssimples. ^

Corollaire. Si le plan coupant était perpendiculaire à l’axe de la surface, nous avons vu que le développement de l’intersection serait alors im arc de cercle ayant le point S pour centre.

A PPLICAT10N8. Les ferblantiers , les poêliers , les chaudronniers, les cartonniers ont à eonstruire de pareils ■ développemeuts, lorsqu’ils veulent découper une surface plane de manière qu’en la contournant en surface coniqueelle présente, à l’une de ses extrémités, la courbe d’intersection de cette surface avec un plan incliné d’un certain angle sur son axe.

I.es marchandes de modes ont souvent à résoudre des problèmes du même genre pour tailler le fond des chapeaux de femmes; mais elles n’ont besoin que d’une

CÉOMÉTniE DANS l’espace. 4 I I

approximation qu’un peu d’adresse suffit pour leur faire obtenir.

• Des surfaces gauches.

5.50. — Nous ne parlerons ici que d’une seule espèce de surface gauche, fréquemment employée dans les arts. Elle appartient à la classe des cowo^/e-f , c’est-àdire des surfaces engendrées par le mouvement d’une droite qui se meut parallèlement à un même plan, en rencontrant toujours une droite et une courbe fixes.

Imaginons qu’une droite AO (fig. 466), d’abord posée sur le plan horizontal de projection parallèlement à la ligne de terre, s’élève parallèlement au plan horizontal , en rencontrant toujours la verticale qui a pour projections O et //O', et de manière que sa projection horizontale fasse avec OA des angles proportionnels à sa hauteur au-dessus du plan horizontal , cette droite engendrera le conoïde dont nous voulons parler.

Telle est la surface que forme le dessous des escaliers tournants; telle est aussi celle que présente la vis à filets carrés (fig. 467).

551. — Décrivons du point O (fig. 466) comme centre une circonférence ACDlî, et imaginons une surface cylindrique à génératrices verticales, dont cette circonférence soit la trace horizontale. L’intersection de cette surface cylindrique avec le conoïde dont nous venons de parler sera une courbe à double courbure, à laquelle on a donné le nom d’Ac7/rc. Cette courbe jouit d’une propriété remarquable.

Soient OC et OD les projections horizontales de la génératrice du conoïde dans deux de ses positions quelconques, et soient E(7 et FD' les projections verticales correspondantes. D’après la génération du conoïde, on aura :

CO A : DOA :: EA : Yh, ou areCk : arcDk :: E/i : Y h.

Supposons que l’on développe la surface cylindrique -sur le plan vertical de projection. Soient A' C' et A' D“ des longueurs égales aux arcs AC et AD; élevons aux

))oints C' et D" les perpendiculaires Ce et D"/ respecti-' veillent égales à E /i et à F 4. Les points e et f ainsi délerniinés appartiendront au développement de l’hélice. Or, d’après la proportion ci-dessus, on aura :

A'C' : A'D‘ :: Ce : D*/,

d’où il résulte que les trois points A', e et f sont en ■ligne droite. Ainsi, en développant la surface cylindrique sur un plan, l’hélice devient une ligne droite.

Réciproquement, si l’on trace une ligne droite sur • un plan, et que l’on enroule ce plan sur une surface •cylindrique, la droite ainsi enroulée devient une hélice , c’est-à-dire l’intersection de la surface cylindrique avec un conoïde.

L’hélice est la courbe que forme lé bord d’un filet de vis; c’est aussi celle que produit la surface inférieure d’un escalier tournant par sa rencontre avec la cage cylindrique de l’escalier. L’appui de la rampe dans un . pareil escalier forme également une hélice.

L’axe de la surface cylindrique sur laquelle l’hélice est tracée se nomme aussi l’axe de l’hélice.

Remarque. Le bord du filet dans la vis à filet triangulaire (fig. 468), est encore une hélice; mais cette vis n’offre pas le conoïde dont nous avons parlé ci-dessus. Celui qu’on y remarque est engendré par une droite assujettie à s’appuyer sur une hélice et sur son axe, en faisant avec cet axe vin angle constant qui diffère de l’angle droit.

Applications. I. Dans l’une et l’aulfe vis, la distance entre deux filets consécutifs, comptée sur une parallèle à l'axe, est ce qu’on nomme le pas de la vis. On sait que la vis est destinée à pénétrer dans une pièce nommée écrou , qui offre en creux la fonne que la vis présente en saillie. Quelquefois l’écrou est fixe, et la vis y pénètre j)ar un mouvement combiné de rotation autour de son axe et de translation dans le sens de cet axe. Dans d’antres cas, c’est la vis qui est fixe, et l’écrou se meut par rapport à elle, comme nous venons de l’indiquer.

GiéoMiéTniE DANS l’espace. 413

La vis est ordinairement employée pour exercer des pressions; mais elle sert aussi à d’aulres usages, dans les instruments de précision. Klle sert notamment à apprécier de très- petites distances, ou à diviser les droites en parties très-petites.

On conçoit en effet que, d’après la nature même de sa génératrice, la vis avance ou recule, dans le sens de son axe, de distances proportionnelles à la quantité angulaire dont elle tourne. Au moyen d’un cercle <lont le plan est perpendiculaire à l’axe, et dont le rayon est suffisamment grand , on peut mesurer ces quantités angulaires avec une grande précision. Or, le cercle fait un tour complet quand la vis avance ou recule d’une longueur égale à son pas; si donc on peut apprécier sur le limbe du cercle les demi-degrés seulement, il en résulte qu’on pourra apprécier, dans le sens de l’axe, des distances équivalentes à la moitié d’un 300®, c’est-à-dire à un 720® du pas de la vis.

C’est d’après ce principe qu’est construit l’appareil représenté ixir la figure 4G9. Pour mesurer, à l'aide de cet appareil , l’épaisseur d’un corps, on le place entre la traverse fixe lîH et la traverse mobile AA, et l’on amène l’extrémité de la vis en contact avec A A ; on enlève ensuite le corj)s, et l’on fait glisser la traverse AA jusqu’à ce qu’elle s’applique contre BB; on amène alors une seconde fois l’extrémité de la vis en contact avec A A ; la quantité dont elle a marché, mesurée à l’aide du plateau circulaire, exprime l’épaisseur cherchée.

II. On connaît aussi la vis- d' An-himètle , employée |K)ur l’épuisement des eaux : elle .se compose d’un conoïde enveloppé d’une surface cylindrique. On plonge cette vis dans l’eau par l’une de ses extrémités, en l’inclinant d’un petit angle à l’hori/on; lorsqu’on la fait tourner autour de son axe , l’eau monte le long du conoïde, et s’échappe j)ar l’extrémité supérieure de la vis.

IFI. Outre la vis, et l’escalier tournant, qui rendent très-fréquent l’usage de l’hélice, celte courbe s’emploie encore dans beaucoup d’autres circonstances. Les brins dont se compose un cordage sont tordus en hélice; le

Diqitized by Gi =ogU

fil de métal dont on recouvre les cordes en boyau , en soie ou en cuivre, pour produire les cordes graves de la basse, du violon, de la guitare, du piano, etc.,

est enroulé en hélice autour de ces cordes , etc.