CHAPITRE XIV

Des surfaces de révolution.'

De la sphère.

552. — Quoique le mot de sphère ne soit rigoureusement applicable qu’à un corps terminé par une surface sphérique, on donne néanmoins ce nom à la surface sphérique elle-même, comme on donne le nom de cercle à la circonférence de cercle. Le sens du discours indique toujours suffisamment qu’il n’est question que de la surface de la sphère.

Nous avons dit qu’uné surface sphérique est’engendrée par une demi-circonférence qui tourne autour de son diamètre. Dans ce mouvement, le centre delà demi-circonférence génératrice demeure immobile, et tous les points de cette génératrice, dans quelque position qu’on la considère, sont à égale distance de ce centre. Il en résulte que tous les points tF une surjacc .sphérique sont à égale distance (F un même point intérieur ; ce point se nomme le centre de la surface sphérique.

On donne le nom de rayon à toute droite qui joint le centre à un point quelconque de la surface; d’après ce que nous venons de dire, tous les rayons sont égaux.

On donne le nom de diamètre à toute droite qui passe par le centre et se termine de part et d’autre à la surface; il en résulte que chaque diamètre se compose de deux rayons, et que, par conséquent, tous les diamètres sont égau.T.

5î3. — TnÉOBÉME. Tout diamètre d’une sphère peut

G]éO&IKTRlE DANS L ESPACE. 415

tUre pris pour son axe de révolution. Soit , en effet, AB (fig. 470) un diamètre quelconque. Par ce diamètre, faisons passer un plan; il couj)era la surface sphérique suivant une ligne courbe A MB (pii aura tous ses points à égaledistance du milieuOdu diamètre, puisque ce milieu est le (Mîntre de la sphère. Cette courbe sera donc une circonférence de cercle ayant AB pour diamètre. Par la ligne AB, faisons passer un second plan quelconque ;il coupera la surface sphérique suivant une ligue courbe A!NB, qui aura tous ses points à égale distance du point O, centivî de la sphère; ce sera donc aussi une circonférence ayant AB pou r diamètre.Ët comme le plan A B est quelconque, on voit qiui la surface sphéricpie peut être considérée comme engendrée par la rotation de la demi-circonférence AMR autour de son diamètre AB.

554. — TiiËoiiÉME. Toute section de la surface sphérique par un plan est une circonférence de cercle. Soit, en effet, ABD (fig. 471) la section d’une surface sphérique par un plan : du centre O de la sphère, abaissons sur le plan delà section la perpendiculaire OC; prenons sur la courbe de section deux points quelconques A et B, et joignons CA ,CB, O A, OB. Les triangles CA O etCBO, rectangles en C, puisque OC est perpendiculaire sur le plan des droites ACelB(', ont en outre le côté OC commun, et les hypolhénnses OA et O B égales comme rayons d’une môme sphère; ces deux triangles sont donc égaux, et l’on a AC = BC. Et comme les points A et B sont des points (|uetconqnes de la section ABD, il s’ensuit que cette section a tous .ses points à égale distance du pointe, et est, par conséquent, une circonférence de cercle dont le point C est le centre.

ConoM.AinE I. Le rayon AC de la circonférence ABD, étant perpendiculaire sur OC, est moindre que l’oblique AO, c’est-à-dire moindre (jue le rayon de la sphère. Le rayon A C ne devient égal au rayon de la sphère que lorsque le plan coupant passe par le centre O, parce qu’alors les droites AC et A O st* confondent.

Dans ce cas, la section porte le nom de^/wW cercle; mais .si le plan coupant ne passe point par le centre de la

4i6 SECONDE PARTIE.

sphère, la section , ayant un rayon moindre, est ceqn’on nomme un petit cercle.

La démonstration précédente faitvoir que la perpendiculaire abaisséedu centre de la sphère sur le plan d'un petit cercle , passe par le centre de ce petit cercle.

ConoLLAiRE II. On peut remarquer qu’un petit cercle est d’autant plus petit qu’il est plus éloigné du centrede la sphère ; car la perpendiculaire OC, qui mesure la distance de ce centre au plan du petit cercle A BD', est liée au rayon A C de ce cercle par la relation

ÔC*-f-AC'*=ÂC)',

puisque le triangle A OC est rectangle en C. Et comme A O est une quantité constante , il faut, pour que cette relation puisse toujours subsister, que AC diminue quand OC augmente , et vice versa.

Application. La surface interne d’une coupe ou d’un bol ordinaire est une surface sphérique; il est facile

’ d’observer que si l’on y verse un liquide quelconque, sa surface supérieure sera toujours terminée par une circonférence de cercle, quelle que soit rinclinaison que prenne le vase.

. 5.55. — Tuéoréme. Deux grands cercles se coupent

mutuellement en deux parties égales. Car l’intersection des plans de ces grands cercles est une droite qui passe

• par le centre de la sphère, puisque ce centre est contenu dans ces deux plans. Celte intersection est donc un diamètre commun , et dès lors elle divise en deux parties égales chacun des deux cercles auxquels elle appartient.

55C. — Théorème. Tout grand cercle divise la surface sphérique en deu,r parties égales. Soit, en effet , M IS' P Q (tig. 470) la circonférence d’un grand cercle : renversons la |)ortion de surface sphérique AMNPQ, de manière qu’elle vienne prendre une position analogue à celle de la portion lî M ^1 P Q, et que ces deux portionscoïncident

• suivant la circonférence M N P Q. Je dis qu’alors les deux ])ortions de surface sphérique coïncideront dans toute

GI-OMKTRIE DANS l’kSPACT. 417

leur éleiuUie ; car, clans ce renversement, les distances des différents points de la portion de surface AMJN’PQ au point O n’auront pas varié; par conséciucnt, s’il y avait des points de l'une des deux portions de surface qui se trouvassent en dehors ou en dedans de l’autre portion, il y aurait des points inégalement distants du centre, ce qui est contraire à la propriété fondamentale des surfaces sphériques.

Remarque. Les deux moitiés de surface sphérique, séparées par une circonférence de grand cercle, portent le nom (ï hémisphères.

567. — Lorsqu’un diamètre AB (fig. 472) est pris pour l’axe de révolution d’une surface sphérique, le plan mené perpendiculairement à cet axe par le centre O de la sphère coupe cette surface suivant une circonférence de grand cercle MPvPQ, à laquelle on donne le nom ù'équateur. Les extréndtés A et U de l’axe prennent le nom de pôles. Les cercles détermines par des plans parallèles à l’cquatcur se nonmient des cercles parallèles , ou simplement des parallèles ; tels .sont les cercles mnpq, ni n P q, etc. Les cercles déterminés par des plans qui passent par l’axe de la sphère se nomment des cercles méridiens , ou simplement des méridiens, tels sont les cercles AMB,A]NB,APB, etc.

Toutes ces dénominations sont empruntées à la Géographie.

Le globe que nous habitons peut être considéré comme sensiblement sphérique; les aspérités que produisent sur sa surface les montagnes les jdus élevées sont, pour ainsi dire, inappréciables par rapport à la grandeur de son rayon, puisque peu d’entre elles dépassent en hauteur la millième partie de ce rayon. La droite autour de laquelle s’exécute le mouvement de rotation diurne qui produit le jour et la nuit se nomme Vaxe de la terre; les extrémités de cet axe sont les pôles ; le plan mené par le centre de la terre perpendiculairement à son axe est le plan de Véqua/eur: lor.sque le soleil est dans ce plan , la durée de la nuit est égale à celle du jour dans toutes les parties du globe. ^

418 f SKCOIN’DR PARTIR.

On divise la circonférence de réquatcur en dcgi*és, uii mîtes et secondes. Par tous les points de division , et par l’axe de la terre, on suppose menés des plans qui coupent la surface sphérique suivant les cercles méri-^ diens. (]cs cercles sont ainsi nommés |iarce que , quand le soleil se trouve dans le plan de l’on d’eux , il est midi ou minuit par tous les lieux du globe par lesquels passe ce cercle.

Pour indiquer sous quel méridien se trouve un lieu du globe, il snffit donc d'indiquer par quel point dedi« vision de l’équateur passe ce méridien. Le point de départ de ces divisions correspond , suivant les géographes français , au méridien qui passe par l’Observatoire de Paris, et suivant les géographes anglais,' à celui qui passe par l’Observatoire de Greenwich; on prend souvent aussi pour point de départ un méridien qui passe par rile-de-Fer, l’une des Canaries. Quel que soit le point de départ que l’on adopte, on indique le méridien d’un lieu en énonçant le nombre de degrés et fractions de degré, comptés sur l’équateur, qui sont compris entre ce méridien et celui qui sert de point de départ. Ces degrés ont reçu le nom dé degrés de longitude.

Dire, par exemple, que le cap de Bonne-Espérance est situé à 16° 9' 45' de longitude est de Paris, c’est dire que la distance entre le méridien de Paris et celui du cap, comptée sur l’équateur, en allant de l’ouest à l’est, est de 16® 9' 45*.

Chaque méridien est divisé en deux parties égales par l’axe de la terre , puisque cet axe est un diamètre de ce méridien ; ce même méridien est aussi coupé en deux parties égales par l’équateur, puisque ce sont deux grands cercles (.555). D’ailleurs, le diamètre commun de ces deux grands cercles étant dans le plan de l’équateur, l’axe de la terre lui est perpendiculaire ; or, deux diamètres perpendiculaires partagent une circonférence en quatre parties égales. Il suit de là que chaque méridien est divisé en quatre parties égales par les pôles et par l’équateur. Chaque méridien .se divise en 360®; la distance du pôle à l’équateur, comptée sur un méridien

GEOMi&TRlE DAKS l’ ESPACE. 4 11)

quelconque, est donc de 90®. Par tous les points de division, ou suppose menés des plans parallèles au plan de l’équateur; ces plans coupent la surface sphérique suivant des petits cercles auxquels on donne le nom de cercles parallèles , ou simplement ]>arallèles ;\>onv tous les lieux situés sur un même parallèle, la marche annuelle du soleil est la même.

Pour indiquer sous quel parîillèle se trouve un lieudii globe, il suffit d’énoncer le nombre de degrés et fractions de degré, comptés sur un méridien , qui sont compris entre l’équateur et ce parallèle. Ces degrés ont reçu le nom de degrés de latitude.

Dii*e, par exemple, que la latitude de Paris est de 48® 50' 14’ nord, c’est dire que la distance entre l’équateur et le parallèle de Paris, comptée sur le méridien , en allant de l’équateur vers le pôle nord est de 48° 50' 14 .

On voit qu’un lieu du globe est parfaitement déterminé quand on connaît sa longitude, sa latitude et le sens dans lequel chacune d’elles est comptée ; car dès lors on connaît le méridien et le parallèle sous lesquels ce lieu est situé : ces deux circonférences se coupent en deux points; mais le sens suivant lequel sont comptées sa longitude et sa latitude ne laisse aucune incertitude dans le choix de celui qu’il convient d’adopter.

Quelques-uns des cercles parallèles à l’équateur ont reçu des noms particuliers. Ceux qui sont situés à 23® 28' environ de l’équateur, au nord et au sud , se nomment les tropiques; ces cercles sont ceux que le soleil , dans son mouvement apparent annuel, ne dépasse jamais, et dans le plan desquels il parait se mouvoir à l’époque des solstices. Le tropique nord se nomme le tropique du Cancer , et le tropique sud , tropique du Capricorne.

Les cercles parallèles situés, au contraire, à 23°28' de chaque pôle se nomment les cercles polaiivs; pour les lieux du globe situt?ssous ces cercles, il y a 24 heures de jour h l’époque de l'un des solstices , et 24 heures de nuit à l’autre. Kntre les cercles polaires et les pôles, l’inégalité des jours et des nuits est encore plus considérable ; et aux pôles il y a 6 mois de jour et 6 mois de

4î20 SECONDE PARTIE.

nuit. Le cercle polaire voisin du pôle nord se nomme cercle polaire arctique , et celui qui est voisin du pôle sud se nomme cercle polaire antarctique.

Les astronomes, considérant la voûte céleste comme une surface sphérique , la divisent aussi par des cercles méridiens et par des cercles parallèles. Les étoiles paraissent faire en 24 heures une révolution, d’orient en occident , autour d’une droite fictive qu’on appelle Yaxc du monde. Les points où cet axe perce la voûte céleste sont les pôle.s du ciel. Le plan , perpendiculaire à l’axe qui coupe la sphère céleste en deux hémisphères égaux , se nomme Yéquateur céleste. Les plans qui passent par l’axe du monde coupent la sphère céleste suivant des cercles méridiens ; et ceux qui sont perpendiculaires à cet axe la coupent suivant des cercles parallèles .

La distance, comptée sur l’équateur, entre le méridien d’une étoile et le méridien qui passe par un certain point de l’équateur nommé équinoxe du printemps , est ce que l’on nomme Y ascension droite de cette étoile. La distance, comptée sur* le méridien, entre l’équateur et le parallèle de cette même étoile , est ce qu’on nomme sa déclinaison. On voit que la position d’une étoile dans le ciel est déterminée par son ascension droite et sa déclinaison, comme celle d’un point du globe est déterminée par sa longitude et sa latitude. Les astronomes réservent ces deux dernières dénominations pour les distances des étoiles rapportées, non plus à l’équateur, mais à Y écliptique ^ c’est-à-dire au cercle, suivant lequel la sphère céleste est coupée par le plan de Y orbite de la terre prolongé , ou , en d’autres termes, par le prolongement du plan dans lequel le centre de la terre exécute sa révolution annuelle.

558. — Lorsque les architectes ont à construire une .surface sphérique, telle que le dôme d’un monument, l’équateur de cette surface, lequel est alors horizontal , est déterminé d’avance. Sur l’un des diamètres de l’équateur ils élèvent, en charpente, un demi-cercle vertical semblable à celui de la figure 447 ; ce demi-cercle est un méridien; ils élèvent de la même manière une

GJiO.'WÉTniK DANS L*FSPACK, série <raulres méridiens verticaux, dont le nombre «lepend de l’étendue de la sphère; tous ces méridiens viennent se croiser suivant un môme rayon vertical lis reunissent alors les circonférences de ces méridiens par des poutrelles horizontales, courbées en arc de cercle, dont la réunion forme une série de cercles parallèles à réqualeur. Les méridiens et les parallèles sont assez multipliés pour que les espaces quadrangulaires formes par l’intersection de ces cercles puissent être sans erreur sensible considérés comme plans. C’est sur ce système de charpente que vient s’établir la maçonnerie , dont la surface inférieure est alors sensiblement sphérique.

La surface extérieure du dôme est rendue sphérique de la même manière. Quelquefois, le dôme se réduit à line toiture soutenue par une construction en fer - celleci est également composée de cercles méridiens et parallèles. *

Enfin , c est d après les mêmes principes que l’on construit la voûte sphérique de certains berceaux en treillage, dont on décore les jardins.

On obtient, a l’aide du tour, les surfaces sphériques de petit rayon ; pour cela , tandis que la pièce qu’on veut rendre sphenque tourne autour d’un axe constant, on fait mouvoir la pointe de l’outil, suivant une demi-circonference dont cet axe est le diamètre. C’est ainsi oue s obtiennent les billes de billard, les boules en cuivre qui servent d’ornement aux grilles et aux rampes d’escalier, etc.

659. — Théouéme. Deux surfaces sphériques de mdme rayon sont égales. En effet, si l’on fait coïncider leurs centres, aucun point de l’une des deux .surfaces ne pourra tomber en dehors ou en dedans de l’autre ; car il y aurait alors des points inégalement distants du

centre , ce qui est contraire à la nature des deux surfaces.

Remarque. Pourvu que les centres coïncident, la coïncidence des deux surfaces aura lieu, quelle que soit la maniéré dont on les fasse tourner autour de ce centre.

Applications. I. C’est en vertu de l’égalité par coïncidence qu’on emploie- le moulage pour produire les surfaces sphériques; les boulets employés dans l’arlille-, rie s’obtiennent de celte manière.

II. C’est sur le principe énoncé dans la remarque cidessus qu’est fondé le genou à coquilles (lig. 473) , au moyen duquel la planchette, le graphomètre et plusieurs autres instruments s’articulent avec leur rapport. L’instrument est fixé à une lige perpendiculaire à son. plan, laquelle tige est terminée elle-même par une sphère. Le support est armé, à sa partie supérieure, de deux coquilles hémisphériques de même rayon que la sphère qui termine la tige. On sépare ces coquilles ; on introduit entre elles la sphère dont nous parons; on resserre ensuite les coquilles à l’aide d’une vis de pression. Les deux surfaces sphériques coïncident alors , quelle que soit la direction que prenne la tige ; ce qui permet de doimer au plan de l’instrument toutes les positions désirables.

600. — Théorème. Les lignes courbes que Von trace sur une sphère , au moyen d’un compas y sont des circonférences de cercle. (On emploie pour cet usage un compas à branches recourbées (fig. 474), que l’on nomme dans les arts compas d’épaisseur, et que l’on pourrait appeler compas sphérique.)

Soit A BD (fig. 471) la courbe décrite sur une sphère, par l’une des pointes d’un compas dont l’autre pointe est demeurée en P. Soit O le centre de la sphère. Joignons PA, PB, OA, O B. Les droites AP et BP sont égales, puisque la distance rectiligne des pointes du compas n’a pas varié; d’ailleurs, O A et O B sont égaux comme rayons. Les triangles PAO, PBOont donc leurs trois côtés égaux chacun à chacun , et sont égaux. Il en rcsulle que l’angle AO P est égal à l'angle B OP.

Dans le triangle PAO, abaissons du point A sur O P la perpendiculaire AC , et joignons CB. Les triangles AO C et BOC ont un angle égal AOC = BOC, un côté commun.OC, et un côté égal AO = OB; ces triangles sont ■ donc égaux. 11 s’ensuit que BC est perpendiculaire sur

Di.

GKOMÉTRIE DANS l’eSPACF.. 423

O P. Le plan des droites AC et CB est donc perpendiculaire lui- même sur OP; et comme le point B est un point quelconque de la courbe A BD, il en résulte que tous les points de cette courbe sont (lans le plan mené par le point C perpendiculairement à OP. Celte courbe est donc l’inlerseclion de ce plan avec la surface sphérique; donc c’est une circonférence de cercle qui a son centre au point C (554).

CunOLi.AiRE I. Réciprof|uement : Toute circonférence KWa, tracée sur une sphère peut être supposée décrite par la pointe mobile d'un compas , dont la pointe immobile serait placée h l’extrémité P du rayon O P perpendiculaire au plan AB D. Car le point P, étant situé sur la perpendiculaire élevée au plan du cercle AB D par son centre C (554, Coroll. I), esta égale distance de tous les points de sa circonférence (408, Ilem.).

Corollaire II. Tous les cercles parallèles MNPQ, m npq, m'n'p>q’, etc. (fig.472) pourraient être décrits à l’aide d’un compas dont la pointe immobile serait placée au point A ou au point B, extrémités du diamètre A B perpeudiculaii'e aux plans de ces cercles. Et comme les points A et B sont des pôles, par rapport au grand cercle MNPQ considéré comme équateur, on dit aussi qu’ils sont les pôles des parallèles mnpq, in'n'p'q', etc. ; et l’on nomme pôles d’un petit cercle les extrémités du diamètre perpendiculaire à son plan.

On dit , dans ce sens , que le cercle mnpq, par exemple , peut être décrit du point A comme pôle.

Corollaire III. L’équateur MNPQ peut être décrit des points A ou B conmie pôles, avec une ouverture de compas égale à la distance rectiligne AM, c’est-à- <lire à la corde du quadrans de grand cercle A /«‘wM. Et réciproquement, tout cercle MNPQ, décrit d’un point A comme pôle , avec une ouverture de compas égale à la corde du quadrans d’un grand cercle de la sphère , est nu grand cercle de cette sphère. Car si l’on joint un point M de ce cercle au centre O de la sphère , et qu’on fasse passer par le point M un méridien AM B, l’arc AwM, sous-tendu par la droite AM t^ale à la

'424 SKCONDE PARTIE.

corde d’un quadrans de grand cercle, est un quadrans du méridien A MB; l’angle MO A est donc droit. Le point M étant un point quelconque de la circonférence MNPQ, il suit de là que tous les points de cette circonférence sont dans le plan mené par le point 0 per- .pendiculairement à A O , et que , par conséquent, cette .circonférence est celle d’un grand cercle.

.561. — Problème. Trouver par une construction gra- -phique le rayon d’une sphère donnée. Tracez, d’un pôle P (fig. 471) pris arbitrairement sur la sphère donnée, un petit cercle ABD. Marquez sur la circonférence de ce cercle trois points à volonté. Au moyen du compas sphérique , prenez les distances rectilignes mutuelles de ces trois points. Avec ces trois distances construisez un triangle sur un plan , et circonscrivez un cercle à ce triangle. La circonférence de ce cercle sera égale à la circonférence ABD. ,

Soit abd (fig. 476) cette circonférence. Menez un diamètre ad et une droite XY perpendiculaire sur lemi-

• lieu c de ce diamètre. Du point a comme centre , avec

• ' l’ouverture de compas AP, qui a servi à décrire la cir-

conférence ABD du pôle P, décrivez un arc qui coupera XY en un point p. Le triangle acp sera égal au triangle ACP; car ces triangles sont rectangles, et ont . l’hypothénnse égale et un côté égal AC = a c, comme rayons de cercles égaux. Il en résulte que l’angle apc -est égal à l’angle APC. Sur le milieu i de ap élevez la perpendiculaire io qui coupera cX en o; la dislanceoa < sera le rayon cherché. Car on aura op= o«(72); et les • deux triangles AOP t\.aop seront égaux comme étant tous deux isocèles, ayant les bases AP et ap égales et . leurs angles égaux, puisque l’angle est égal à l’angle APC, d’où résulte l’égalité des deux angles à la base (182, Rem. 1). Par conséquent, le côté oa est égal au côté OA, c’est-à-dire au rayon cherché.

662. — Problème. Par deux points donnés A eZ B (fig. 476) sur une sphère , faire passer un arc de grand cercle. Soit O le centre de la sphère. On peut toujours supposer qu’on ait délermim* le rayon de celte

GKOMÉTniF'DANS l’eSPACI-. ^*25

sphère , et par suite la corde du quadmns (riin grand cercle.

Cela posé, du point A comme pôle, avec une ouverture de compas égale h cette corde du cpiadrans, décrivez l’arc de grand cercle P Du point B comme pôle, décrivez de même l’arc de grand cercle P« qui coupera le premier en un point P. Imaginons qu’on ait tiré les rayons OA, O B et OP. Le plan du grand cercle wP est perpendiculaire au rayon OA qui aboutit à son pôle (5G0, Coroll. III). De même le plan du grand cercle wP est perpendiculaire au rayon O B. Ces deux plans sont donc perpendiculaires au plan des rayons OA et O B (444, Coroll. I); leur intersection OP est donc elle-même perpendiculaire à ce plan (445). Il en résulte que le point P est le pôle du grand cercle qui passe par les points A et B. Ainsi le grand cercle décrit du point P comme pôle (avec une ouverture de compas égale à la corde du quadrans) passera par les points A et B.

Remarque. L’arc de grand cercle AB est , sur la surface sphérique, le plus court chemin pour aller du point A au point B; car le plan de cet arc divise la sphère eu deux hémisplières égaux , et s’il existait au-dessus du plan AOB un chemin plus court que AB, on trouverait un chemin pareil au-dessous de ce plan. Il y aurait donc deux plus courts chemins, ce qui est absurde.

.563. — Puom.ÉME. Par un point I (lig. 477) pris sur un arc.' de grand cercle A B ^Jaire passer un second arc de grand cercle , dont le plan soit perpendiculaire au plan du premier. Soit O le centre de la sphère. Prolongez , s’il est nécessaire, l’arc donné, au moyen de la construction indiquée dans le numéro précédent. Du point I comme i>ôle, avec une ouverture de compas égale à la corde du quadrans , décrivez un petit arc qui coupe AB prolongé en un certain point P. Du point P comme pôle décrivez l’arc IM; ce sera l’arc du grajid cercle demandé.

En effet, si l’on mène le rayon OP, ce rayon sera perpendiculaire au plan de l’arc du grand cercle IM (5GQ, Coroll. III). Le plan de l’arc AB qui passe par ce

4‘2G seconde partie.

rayon sera donc aussi perpendiculaire au plan de l’arc