IM

564. — Lemme. .S'/ deux arcs de grand cercle A B C D .(fig. 478), dont l'un passe par le milieu C de V autre, sont perpendiculaires entre eux, tout point M pris sur le premier est à égale distance des extrémités de V autre. Vow le prouver , soit 0 le centre de la sphère; tirons OC et la corde A B ; celle-ci sera divisée en 1 en deux pai lies égales par le rayon OC, et lui sera perpendiculaire. Par le point M et par la corde AB, faisons passer un plan, qui coupera le plan de l’arc CD, suivant une droite IM; joignons AM et BM. Les plans des arcs AB et CD étant perpendiculaires entre eux , la droite A I , menée dans l’un de ces plans perpendiculairement à l’intersection commune OC, est perpendiculaire à l’autre plan (443), et par suite à la droite IM menée par .son pied dans • ce plan. Le point M , situé sur la droite IM perpendiculaire sur le milieu de AB, est donc à égale distance d^ extrémités A et B de la droite (72); ce quil fallait démontrer.

565. — Problème. Par trois joints donnes sur une sphère , faire passer une circonférence. Tout se i*éduit à trouver le pôle de cette circonférence. Soient A, B, C (fia. 479) les trois points donnés. Par les points A et B, faites passer un arc de grand cercle (562) ; par les points B et C , faites de même passer un arc de grand cercle. Par le milieu I de l’arc AB, faites passer un arc de grand cercle I m dont le plan soit perpendiculaire au plan de l’arc AB (563); par le milieu H de l’arc BC, faites passer de même un arc de grand cercle Hn, dont le plan soit perpendiculaire au plan de l’arc B C. Le point P ou ces deux arcs se rencontreront sera le pôle cherche ; car , en vertu du lemme précédent, ce point sera à égalé distance des deux points A et B et des deux points B et C , c’est à-dire à^gale distance des trois points donnes.

Remarque. Les grands cercles dont les arcs l«i etHw font partie se coupent en deux points qui tous deux sont les pôles de la circonférence demandée.