V. Deux triangles sphériques sont égaux

ques) quand ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun (493, Coroll.).

428 ' SECOlf DE PARTIT?.'

On pourra résoiuire, comme au numéro cité, ce problème : Etant donnés deux côtés d’un triangle sphérique et l'angle qu'ils comprennent, trouver le troisième côté et les deux autres angles.

VI. Deux triangles sphériques sont égaux (ou symétriques) quand ils ont un côté égal adjacent à deux an~ gles égaux chacun h chacun (494, Coroll,).

On pourra résoudre, comme au numéro cité, ce problème : Etant donnés un côté d'un triangle sphérique et les tleux angles adjacents , trouver le troisième angle et les deux autres côtés.

VII. Deux triangles sphériques sont égaux (ou symétriques ) quand ils ont leurs trois angles égaux chacun à chacun (495, Coroll.).

. On pourra résoudre, comme au numéro cité, ce pro blême : Etant donnés les trois angles d’un triangle spké rique , trouver ses côtés.

Remarque. Dans toutes les propositions relatives à la comparaison des triangles sphériques , il s’agit toujours de triangles tracés sur une même sphère ou sur des sphères de même rayon.

Applications. La considération des triangles sphériques trouve une application continuelle dans la Géodésie et dans l’Astronomie. Pour en donner un exemple, supposons que l’on propose ce problème:

Etant données les longitudes L et L' et les latitudes 1 et r de deux points M et M' du globe (fig. 48t), situés dans l'hémisphère nord et h l’est du méridien de Paris , trouver la plus courte distance de ces points sur la surjace terrestre.

La plus courte distance cherchée est l’arc de grand cercle MM' qui passe par ces deux points (572, Kem.). Soient PMwi et PM'w' les méridiens des deux points donnes, mm' l’arc de l’équateur compris entre ces méridiens, P le pôle et O le centre de la terre. L’arc cherché MM' et les portions PM et PM' des deux méridiens forment un triangle sphérique dans lequel on connaît : 1“ le côté PM, car on a PM = P/?i — Mw==90® — l; 2“ le côlé PM', car on ajde même PM' = Pw' — M'w'

D: : hi rîoo^lc’

CIÎOMKTRIE DANS l’eSPACE. 429

— 90' r i 3° l’anglti MPM , car l’axe OP clii globe étant

perpendiculaire au plan deréquatcur, et, par conséquent, aux rayons O/;/ et O m, l’angle de ces rayons, ou l’arc mm compris entre ses côtés, mesure l’angle dièdre des deux méridiens, c’est-à-dire l’angle MPM' du triangle sphérique. Or, cet arc est évidemment la différence entre les longitudes données L' et L. On connaît donc dans le triangle sphérique PMM' deux côtés et l’angle compris, et il s’agit de déterminer le troisième côté; c’est le problème du n“ 493.

La valeur du troisième côté s’obtiendra ainsi en degrés et fractions de degré, puisqu’après l’avoir déterminé graphiquement on pourra le mesurer au rapporteur. Mais il .sera facile d’en déduire la longueur de l’arc MM' en myriamètres, car si l’on nomme <1 l’expression de ce troisième côté en degrés et fractions de degré, et R le rayon de la terre, on aura :

MM' : 2irR \:d: 360", d’où * •

JOO

Si, par exemple, on a trouvé 15' ou 187.5', comme

on a R = 636“>y-,62 ; on en déduira, en réduisant les 860“ en minutes ,

1 X -55 X 636«"y-,62 X >8-5' xi3 X ïiSoo'

34'ny>-,3l.

Remarque. Nous avons supposé que les deux points donnés étaient situes tous deux dans l’hémisphère nord, et à l’est du méridien de Paris, auquel les longitudes sont supposées rapportées. Si l’un de ces points, le point ]\I par exemple, était situé dans l’hémisphère .sud, sa distance au pôle nord serait 90“ -j- /, au lieu de 90“ — l. Si l’un de ces points, le même point M par exemple, était situé à l’ouest du méridien de Paris, la distance en longitude des deux points donnés serait L' + L, au lieu d’être L' — L.

567. — Si l’on voulait, par quatre points donnés, non situes dans un même plan, faire passer une surface

sphérique, tout se réduirait îi en déterminer le centre. .Pour cela , on chercherait le centre du cercle qui passe par trois des points donnés, et par ce centre on élèverait une perpendiculaire au plan de ces trois points; cette perpendiculaire passerait évidemment par le centre de la sphère demandée (554 , Coroll. ,1). On se procurei*ait de la même manière une seconde droite passant par ce centre; l’intersection de ces deux droites déterminerait le point cherché. On applique avec avantage la méthode des projections à la solution de ce problème ; nous ne nous y arrêterons pas.

668. — TnÉORÊME. Tout plan MN (fig. perpendiculaire à l’extrémité d’un rayon OA d’une sphère ^ est tan^nth cette sphère. Car si l’on joint le centre O de lasphèreàun point quelconque B du plan, autre que le point A, l’oblique OB sera plus longue que la perpendiculaire O A ; le point B est donc situé hors de la sphère. Et comme ce point B est quelconque, il en résulte que le plan ne peut avoir que le point A commun avec la surface sphérique, et lui est, par conséquent, tangeiit en ce point.

569. — Théobéme. Tout plan MN (Og. 482), tangent en A à une surface sphérique, est perpendiculaire au rayon O A qui aboutit au point de tangence. Car tous les points de ce plan tangent , à l’exception du point de tangence A , sont situés hors de la sphère. La droite OA est donc , la plus courte distance du pointO à ce plan; cette droite est donc la perpendiculaire abaissée du point O sur ce plan. ,

Remarque. Lorsque deux plans tangents h une même sphère sont parallèles, les points de contact sont les extrémités d’un même diamètre ; car le diamètre mené perpendiculairement à l’un de ces plans est nécessairement perpendiculaire à l’autre, et ses extrémités sont les points de tangence, d’après le théorème qui précède.

Il suit de là que ce diamètre est précisément égal à la distance des deux plans tangents.

Appmcations. 1. La remarque qui précède fournit un moyen de mesurer le diamèti’e d’une sphère donnée. Pour

Dicitizf by "

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. 431

cela, on dispose deux plans verticaux parallèles sur un mcMue plan horizontal , de manière à pouvoir faire varier et mesurer leur distance. On interpose entre ces plans la sphère dont il s’agit; on rapproche les plans jusqu'à ce qu'ils soient tangents tous deux; et leur distance, mesurée par la perpendiculaire commune h leurs traces horizontales , est la longueur du diamètre cherché. On j)ourrait employer, à cet effet, l’appareil représenté iig. 469, ou un appareil analogue.

II. L’horizon sensible pour chaque point de la surface du globe est le plan langent à cette surface, mené par le point (|ue l’on considère. Chaque lieu du globe a donc son horizon particulier. La verticale de chaque lieu étant perpendiculaire à l’horizon n’est autre que la normale de ce lieu , c’est-à-dire la droite menée par ce point perpendiculairement au plan tangent: chaque lieu a donc aussi sa normale ou sa verticale particulière. Si la terre était parfaitement sphérique, toutes ces normal(^6 iraient concourir au centre du globe.

570. — L’intersection d’une surface sphérique et d’une surface cylindrique est, en général, une courbe à double courbure. Cette intersection se compose de deux courbes distinctes lorsqu’il y a pénétration , c’est-à-dire quand toutes les génératrices de la surface cylindrique rencontrent la sphère. Elle se compose d’une seule courbe quand ily arrachement, c’est-à-dire quand une partie seulement de ces génératrices rencontre la sphère. Quand il y a pénétration et que l’axe de la surface cylindrique passe par le centre de la sphère, l’intersection se compose de deux circonférences égales à la directrice de la surface cylindrJque.

Pour obtenir l’intersection en question, la méthode générale consiste à couper les deux surfaces par une série de plans parallèles à l’axe de la surface cylindrique, et à déterminer les points où les génératrices contenues dans chacun de ces plans rencontrent la circonférence suivant laquelle ce plan coupe la sphère.

Ai’PMCatiox. Les architectes ont à construire l’intersection d’une surface cylindriqucavec une surface sphé-

p ^ ■ 7ù.i by Googl

432 SKCONDE PARTIE.

Pique, lorsqu'ils veulent pratiquer une fenêtce cintrée sur un dôme, ou lorsqu’une voûte en berceau doit déboucher dans une voûte sphérique.

571 . — Si par tous les points de l’équateur d’unesjAière on mène des parallèles à l’axe , chacune d’elles est tangente à un méridien , et toutes ces parallèles forment, une surface cylindrique qui a l’équateur pour directrice, et qui est tangente à la sphère. . ^

Comme tous les grands cercles peuvent être pris indiffér^nunent pour l’équateur, chacun d’eux peut déterminer une surface cylindrique égale à la première. Il en résulte que, lorsqu’une surface cylindrique est tangente à une sphère, la première de ces surfaces peut tourner comme on voudra autour de son axe, et la seconde autour de son centre , sans que le contact cesse d’avoir lien.

APPX.1CATION8. 1. C’est d’après ce principe que l’on emploie dans les arts, et notammment dans l’artillerie, des calibres cylindriques pour vérifier le diamètre des sphères.^

II. Les rayons solaii'es qui viennent raser une surface sphérique forment une surface cylindrique tangente à la sphère; car ces rayons peuvent être considérés' comme parallèles, à cause de l’éloignement du soleil. La ligne de séparation entre l’ombre projetée par la sphère sur une autre surface quelconque et la partie éclairée est donc l’intersection de cette dernière sûrface avec une surface cylindrique.

Ainsi , le contour de l’ombre qu’une boule sphérique éclairée par le soleil projette sur un plan, est l’intersection d’une surface cylindrique et d’un plan , c’est-àdire une ellipse, dans le cas le plus général.

L’ombre qu’une pareille boule projette sur une nuiraille cylindrique ou conique fournirait l’exemple de l’intersection de deux surfaces cylindriques, ou d’une surface cylindrique et d’Une surface conique.

Si cette ombre était projetée sur une sphère j on aurait un exemple de l’intersection d’une surface cylindrique et d’une surface sphérique.

GKOMIiTRIE DAKS l’eSPACE. 433

!II. Deux de ces exemples d’intersection se i-encon- Irent dans le tracé de Vombrc d'une niche ((ig. 483). On sait que les niches destinées à recevoir desstatiies présentent une portion de surface cylindrique tangente à une portion de sphère. L’intersection de cette dernière avec Je plan du mur dans lequel la niche est pratiquée est une demi-circonférence. L’inclinaison des rayons solaires peut être telle que l’ombre de cette demi-circonlérence se projette, en partie, sur la surface cylindrique et, en partie, sur la .sphère. Mais la surface cylindrique ormce par les rayons solaires qui viennent raser cette demi-circonférencc est une surface cylindrique oblique.

L intersection d’une surface conique avec une sphere est généralement une courbe à double courbure. Celte intersection se compose de deux courbes distinctes lorsqu il y a pénétration, c’est-à-dire quand toutes les génératrices de la surface cylindrique rencontrent la sphère. Mais ici la courbe d’entrée diffère de la courbe de sortie, circon.stance qui n’a pas lieu dans l’intcrsectiou d’une surface cylindrique avec une autre surface cylindrique ou avec une sphère. Quand l’axe de la surface conique pa.sse par le centre de la sphère, intersection se comjiose de deux circonférences inégales, situées dans des plans perpendiculaires à l’axe de la surface conique.

Pour obtenir l’intersection en question, la méthode generale consiste à couper les deux surfaces par une série de plans perpendiculaires à l’axe de la surface conique, ou bien pas.sant par cet axe, et à chercher les points où les deux intersections se rencontrent.

Applications. I. Les architectes ont quelquefois à pratiquer des ouvertures à voûtes coniques dans un dôme; mais ordinairement l’axe de la surface conique va pas.scr par le centre de la sphère, en sorte que l’intersection est une circonférence de cercle.

II. La perspective offre aussi une application de l’intersection qui nous occupe. Lorsque le plan du tableau est remplacé par une surface sphérique, comme cela arrive lorsqu il s’agit de peindre une coupole, la per-

Diç, " cr; by GiïOgle

434 Sl'CONDK PAR UK.

spcclive du coulour d’un objet supposé placé au delà de colle coupole est riiilersection de la surl'ace spliérujue avec la surface conique que foriueid les rayons visuels menés de l’œil du spectateur aux différents points de ce contour.

573. — Si, par un point pris sur le prolongement de raxe d’une surface sphérique, on mène des tangentes, à tous les méridiens, ces tangentes auront évidemment même longueur, les points de contact seront également distants de l’axe,* et formeront la circonférence d’un petit cercle, dont le plan sera perpendiculaire à cet axe. Les tangentes elles-mêmes formeront une surface conique droite , qui sera tangente à la sphère.

ArpucxTioxs. Les rayons partis d’un point lumineux qui viennent raser une sphère forment une surface conique droite. La séparation entre l’ombre que projette celle sphère sur une surface quclconcpie et la partie éclairée est l’interscelion de cette dernière surface avec la surface conique en question.

Ainsi le contour de l’ombre, qu’une boule sphérique éclairée par une bougie projette sur un plan, est l’intersection d’une surface conique et d’un plan, c’est-à-dire un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant la position du plan. ,

L’ombre qu’une pareille boule projette sur une surface, cylindrique ou conique fournirait l’exemple de l’intersection d’une surface cylindrique et d’une surface conique, ou bien de deux surfaces coniques. Si cette ombre était projetée .sur une sphère, on aurait un exemple de 1’inter.section d’une surface conique et d’une surface sphérique.

574. — Théorème. Deux surfaces sphériques ne peuvent se couper que suivant une circonférenee dont le plan est perpendiculaire a la ligne des centres. Car soient O et C (fig. 484) leurs centres, lU et M' deux points communs aux deux surfaces. Tirons les rayons OM, CM, O’il', CM'; joignons OC, abai.ssons sur OC la perpendici’.l.airc ?ifP, et joignons IM'P. Les triangles OMC et O.M'C ont leurs trois cotés égaux chacun à chacun ; ils

GliOMÉTRIIi DANS l’f.SPACE. 435

sont donc égaux, et il en résulte que l’angle M OC est égal à l’angle MOC. Les triangles O MP et OM'P ont, parconséquent, un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun; ils sont donc égaux, et l’angle ÜPM' est droit comme l'angle O PM.

Il suit de là que les points M et M' appartiennent au plan mené par le point P perpendiculairement à OC; et comme ces points sont deux points quelconques communs aux deux sphères , il en résulte que tous les points communs sont dans le plan dont nous parlons, et forment , par conséquent , l’intersection de ce plan avec la sphère, c’est-à-dire une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à la ligne des centres OC.

ConoixAinE I. Lorsque deux surfaces sphériques ont un point M commun hors de la ligne des centres, elles se coupent; car si l’on fait tourner le triangle OMC autour de 0(’, dans toutes les positions de ce triangle, le point M appartiendra aux deux sphères.

CoROixAiRE II. Lorsque deux surfaces sphériques sont tangentes l’une à l’autre , le point de contact est situé sur la ligne des centres; car s’il était situé an dehors, les deux surfaces se couperaient.

CoRoix.AiRE III. En examinant les diverses posilions relatives que peuvent avoir deux sphères, on reconnaît que les conditions énoncées aux numéros 104 à 108 s’appliquent aux sphères comme aux cercles.

Application. Dans une pile de boulets, d’obus ou de bombes, toutes les surfaces sphériques de ces projectiles sont tangentes entre elles; on connaît, par conséipient , les distances mutuelles de leurs centres lorsque leurs rayons sont connus.

De quelques autres surjaccs de révolution.

575. — Dans une surface de révolution quelconque, on donne encore le nom de pôles aux extrémités de l’axe, quand toutefois cet axe rencontre la surface. On nomme sections méridiennes celles qui sont faites par

des plans passant par Taxe; ces plans eux<-mèmes t se uomineiit plans méridiens. D’après le mode de génération des surfaces de révolution , toutes lès sections méridiennes sont des génératrices. On donne le nom de parallèles aux cercles qu’on obtient en coupant la surface par des plans perpendiculaires à son axe.

Tout plan tangent à une surface de révolution doit contenir la tangente au parallèle qui passe par le point de contact , et l’on ferait voir facilement que cette tangente est perpendiculaire au méridien du point de contact. Le plan tangent lui-méme est donc perpendiculaire à ce méridien (444); d’ailleurs, il doit contenir la taii-^ gente à la section méridienne menée par le point de contact. Pour obtenir le plan tangent à une surface de révolution en un point donné sur cette surface , il faut donc mener un méridièn par le point donné, mener par ce point une tangente à la section méridienne, et mener enfin par cette tangente un plan perpendiculaire au méridien.

576. — Parmi les surfaces de révolution , on doit remarquer celle qui a pour génératrice une ellipse , et que l’on nomme ellipsoïde de rcvolnlion. On obtient deux surfaces différentes, suivant qu’elle est engendrée par la rotation de l’ellipse autour de son grand axe (fig. 485) y ou autour de son petit axe (fig. 486). Dans l’un ou l’autre cas, la section faite perpendiculairement h l’axe, à égale distance des deux pôles , porte encore le nom d’c^«ateur. - > • *

Application. La surface engendrée par la révolution d’une ellipse autour de son petit axe (fig. 486) mérite surtout d’être remarquée , parce que la surface du globe terrestre peut lui être assimilée. Seulement V aplatisse'ment du globe est peu considérable , c’est-à-dire que le petit axe de l’ellip.se génératrice diffère peu du grand. Le rayon du pôle , c’est-à-dire le demi petit axe de l’ellip.se génératrice a environ 63.56824™, et le rayon de l’équateur, c’est-à-dire le demi grand axe de cette ellipse, a environ •6376984'«, en sorte que la différence ou l'aplatissement' est de 20660*“, ou un peu plus de

Dr-

GKOMÉTRIF. DANS l’eSPACE. 437

vingt myriamèti’ps et demi, c’est-à-dire environ nn 308* du ra}on de l’équateur.

577. — Les surfaces annulaires y c’est-à-dire qui sont engendrées par la révolution d’une circonférence de cercle autour d’un axe qui ne la coupe pas (fig. 487) , trouvent aussi leur application. Telle est la surface des anneaux dont sont garnies les murailles des quais et des ports, et qui servent à amarrer les embarcations. I.a gorge d’une poulie (fig. 488) offre une portion de surface annulaire qui tourne sa convexité vers l’axe de la poulie. Le tore (fig. 489), sorte de moulure qui unit une colonne à son piédestal, offre, au contraire, une portion de surface annulaire qui tourne sa concavité vers l’axe de la colonne. Enfin la voûte d’une galerie circulaire est ordinairement une surface annulaire, ou, du moins, la partie supérieure d’une pareille surface supposée coupée par son équateur.

578. — La surface que l’on donne aux colonnes mérite aussi d’être remarquée. Celte surface, qui est une surface de révolution, n’est cylindrique que jusqu’au tiers de la hauteur de la colonne, à partir du bas ; au delà de ce tiers, les cercles parallèles vont en diminuant jusqu’à la partie supéi’ieure de la colonne , où le rayon du dernier parallèle diffère d’un sixième de celui de la base. Riais ce décroissement ne se fait pas d’une manière uniforme; en sorte que la section méridienne n’est pas une ligne droite. Voici comment les architectes tracent cette section méridienne.

Soient BD (fig. 490) l’axe de la colonne; AB le rayon du parallèle mené au tiers de la hauteur; CD le rayon du dernier parallèle, lequel est d’un sixième moindre que A B. Du point B comme centre, avec A B pourrayon, on décrit un quart de circonférence; par le point C on mène à BD une parallèle CI, qui coupe en I cette circonférence. On divise l’arc AI et la droite BD chacun en six parties égales, l’une à partir du point A, l’autre à partir du point B. Par tous les points de division de l’arc on mène des parallèles à BD, et partons les points de division de BD on mène des parallèles à

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AB. Les points où se rencontrent les droites menthes par les points de division du même rang appartiennent à la courbe cliercliée, que l’on trace ensuite à la main en unissant les points ainsi déterminés.

579. — Toutes les surfaces de révolution peuvent être produites à l'aide du tour, en guidant la pointe de l’outil de manière qu’il décrive une des sections méridiennes, c’est-à-dire une génératrice. C’est ainsi que se façonnent la plupart des vases en poterie, et une foule d’objets d’utilité ou de luxe, en bois, en ivoire, en métal , etc.