CHAPITRE XV

‘ Notions de Gnoinoiiique.

580. — La Gnomonique est l’art de construire les cadrans solaires; cet art offre une des applications , sinon les plus utiles, du moins les plus intéressantes , de quelques-unes des notions précédentes.

On sait que sur un cadran solaire l’heure est indiquée par la position de l’ombre qu’y projette une ligne fixe nommée style. On donne à ce style , qui |>eut être considéré comme une ligne droite, une direction parallèle à l’axe de la terre; et l’étendue du globe terrestre, quoique immense par rapport à nous, étant négligeable par rapporta sa distance au soleil, puisque cette distance équivaut à plus de 12000 fois le diamètre de la terre, on peut, sans qu’il en résulte d’erreur sensible, admettre que le mouvement diurne apparent du soleil s’exécute autour du style , ou du moins autour de son prolongement.

Les droites menées à un instant donné, du soleil à tous les points du style, déterminejil un plan dont l’inlersection avec le plan du cadran est la direction de l’ombre pi'ojetée sur ce cadran par le style; les plans menés ainsi par le style et par le soleil aux différentes heures du jour sont ce que l’on nomme les plims horaires; et leurs intersections avec le plan du cadran forment les hsf/ies horaires, 'l’out le |)roblènie de rétablissement d’un

Dgilizsd by Googit

CliOMéTRIR DAIVS LRSPACE.

cadran solaire consisle donc 1“ à donner au st}le une direction parallèle à l’a\e de la terre; 2° à trouver les lignes horaires.

581. — Tonte parallèle à Taxe de la terre détermine av(‘c cet axe un plan , lecjuel n’est autre chose qu’un plan méi-idien, puisqu’il passe par l’axe de la terre. 11 suit de là que le style doit être dirigé dans le plan méridien qui passe par le point oii il doit être fixé.

La première chose à faire est donc de déterminer la direction de ce plan méridien. Or, tout plan méridien est un plan vertical ; car si par un de ses points on élève une verticale, elle pas.sei'a par le centre de la terre, et aura, par conséquent, deux de scs points dans ce plan méridien et y sera contenue tout entière; mais tout plan qui contient une verticale est un plan vertical; donc tout plan méridien est vertical. Pour déterminer la direction du plan méridien d'un lieu, il suffit donc de déterminer sa trace horizontale que l’on nomme une lign^ mrridicnne , ou simplement une incridienne.

On peut employer pour cela plusieurs moyens :

D’aliord, l’ombre tl’un fil à plomb sur un plan horizontal à l'instant de midi est évidemment une méridienne, puis{|ue le soleil est alors, ainsi que le fil à plomb, dan.s le plan méridien. Si l’on n’a aucun moyen de déterminer l’instant précis où il est midi, on peut y suppléer de la manière suivante : on trace sur un plan horizontal plusieurs circonférences concentriques ( fig. 491 ) au centre O' desquelles on élève une tige verticale; on observe avant midi le moment où l'extrémité de l’ombre de la tige vient passer sur l’une de ces circonférences, et l’on marque le point A où s'opère le passage; on observe après midi le moment oii l'extrémité de l’ombre de la tige vient pa.s.ser sur la même circonférence, et l’on marque le point A' f)ù le passage .s’opère ; on joint O A et O A', et la droite O M , qui divise en deux parties égales l’angle A O A', est la méridienne cherchée; car la marche du soleil peut être considérée comme symétri(|ue par rajjport au méridien.

On peut encore, pour déterminer la mé'ridienne, faire

by lîrioglc-

SECON^DE PARTIE.

usage de la boussole. On dispose rinslrument de manière cpie l’aiguille marque 22“ environ à l’esl; comme celte valeur est précisément celle de la déclinaison de 1 aiguille aimantée (ù Paris du moins), on est assuré que la ligne de loi de la boussole est dirigée suivant lu ligne nord et sud, c’est-à-dire suivant la méridienne.

Dans toiis^ les cas, lors{|u’on a déterminé une méridienne, si Ion a besoin de mener une seconde méridienne par un autre point, on peutse contenter de mener une parallèle ù la première, car, dans une étendue môme assez grande, les méridiennes sont sensiblement parallèles.

582. — -Il s’agit maintenant dedéterminer l’angle que le style doit faire avec la méridienne. Soient P.AP' (fig. 492) le méridien du lieu; A, le point du globe où l’on .se trouve; AV, la verticale; AH, la ligne méridienne; AS, la direction du style parallèle à l’axe PP du globe ;enfin, OE I intersection du méridien P A P' avec l’équateur. Il est facile de voirqueles anglesS A Met AOE sontégaux, comme ayant^ leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun, savoir : AH perpendiculaire à AV, comme étant Tune horizontale, l’autre verticale, et AS perpendiculaire àOE, comme étant parallèle à PP, qui est perpendiculaire à l’équateur et, par conséquent, à la droite OE, menée par son pied dans ce plan. Or, l’angle AOE , ou plutôt l’arc AE , qui exprime la distance, comptée sur l’équateur, entre l’équateur et le point A , est ce qu’on appelle la latitude de ce point. L’angle S A H , que doit faire le style avec la méridienne , est donc égal à la latitude du lieu.

583. — Si le plan du cadran doit être horizontal, rien déplus facile, d’après ce qui précède, que de donner au style la direction convenable. On trace une méridienne; on fait passer par cette méridienne un plan vertical , et <1ans ce plan on mène une droite qui fasse avec la méridienne un angle égal à la latitude du lieu. Cette droite indique la direction du style.

Supposon.s maintenant que le plan du cadran soit vertical. Soit X Y (fig. 49.3) la ligne de terre, c’est-à-dire

' GKOMIÉTRIE DANS l’ ESPACE. 441

l’intersection du plan de l'horizon avec le plan vertical du mur sur lequel le cadran doit être établi. Soit OS le style : du point O, dans le plan du mur, abaissons OH perpendiculaire sur la ligne de terre, c’est-à-dire verticale. Soit HM la méridienne : du point S, abaissons SA perpendiculaire sur OH, et SB perpendiculaire sur le plan du mur. La droite SA sera horizontale, puisqu’elle est perpendiculaire «à la verticale O H ; la droite SB sera aussi horizontale, puisqu’elle est perpendiculaire au plan dumur,quiestverlical.Le plan des droites SA et SB est donc horizontal , et sa trace sur le plan du mur sera une droite AB, parallèle à la ligne de terre. Les droites OS et II M étant toutes deux dans le plan du méridien ,1a droite A S est aussi dans ce plan, puisqu’elle y a deux points ; d’ailleurs , la verticale OH est perpendiculaire à la méridienne HM, qui est horizontale : les droites A Set H M, situées dans un même plan et perpendiculairesà une même droite, sont donc parallèles entre elles, lien résulte d’abord que l’angle OS A exprime l’inclinaison du style par rapport à la méridienne, et est, par conséquent, égal à la latitude du lieu, lien résulteensuile que les angles B A S et Y H M ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens, et sont, par conséquent, égaux; c’est-à-dire que l’angle BAS est égal à l’angle que fait la méridienne avec l’horizontale menée au pied du mur, angle que l’on nomme V azimut de ce mur, et que l’on peut mesurer directement.

Dans le triangle rectangle OA S, on connaît l’hypo- IhénuseOS, qui est la longueur du style, et l’angle aigu OSA et, par conséquent, son complément AO S; on peut donc déterminer le côté AS. Dans le triangle BAS, qui est rectangle en B, puisque SB est perpendiculaire sur le plan du mur, on connaîtra alors l’hypothénuse A Set l’angle aigu B AS; on pourra donc aussi construire ce triangle. De là la construction suivante :

Au point O (fig. 494), sur le mur même, faites l’angle S'OH égal au complément de la latitude du lieu ; prenez OS' égal à la longueur du style; du point S'abaissez sur O H la perpendiculaire SB. Au point A, faites l’au-

442 > SECOÏBE PARTIE.

gle BAS" ëgfll à l’azimut du mur; prenei: AS'‘^Aÿ, et du point 6" abaissez S"fi perpendiculaire sur AB. Ima» ginez maintenant qUe tes deux triangles OAS' et ABS" soient relevés de manière à ce que les côtés égaux AS' et AS" coïncident» le côté OS' aura la direction qu’il faut donner au style.

Chacun des triangles OAS' et ABS" peut être cob4 struit au moyen de trois lattes; on les fixera sans peine sur le mur, dans la position que nous venons d’indiquer et que représente la figure 493; on n’aura plus alom qu’à sceller le style dans le mur, de façon que sa direc>r tion coïncide avec celle de l’hypotbénuse OS. i Dans le cas particulier où le plan du cadran serait parallèle à l’équateur, il suffirait que le style fût perpen» diculaire au cadran. ,

584. — Voyons màinlenant comment on peut déter-» miner les lignes horaires.

' Imaginons d'abord, pour plus de simplicité , que le plan du cadran soit parallèle à l’équateur : le style, étant perpendiculaire au cadran , les plans horaires qui passent par le style seront eux-niémes perpendiculaires à ce cadran, et leurs traces sur le cadrai) , c'est-à-dire le.s lignes horaires, ferontentre elles des angles qui serviront de mesure aux angles dièdres fornaés par les plans ho» raires.

Or, la marche diurne apparente du soleil étant uni» forme, les angles dièdres formés par les plans horaires eonsécutifs sont égaux entreeux; il en est donc de même des angles formés par les -lignes horaires conséoutivea ; et chacun de ces angles est la 34* partie d^ 4 angles droits.

Tout se réduit donc à ti'ouver l’une des lignes horaires; la ligne de midi, par exemple. Pour cela^ soient O (fig. 495) le pied du style, et AB une horizontale menée par le point O dans le plan du cadran : le plan méridien qui passe par le point O, étant perpendiculaire au cadran puisqu’il l’est à l’équateur qui lui est parallèle, et étant aussi perpendiculaire au plan horizontal qu’on mènerait suivant A H, puisqu’il est vertical, est [lerpen»

GKOMKTRÎF. DANS LFSPACK. A\^

tlinil.TÎiv à rinterseetion Ali de ce plan liorizontal avec le cadran. La droite AK, étant perpendicidaire an méridien, est perpendiculaire à son inttrseclion avec le cadran, puisque celte intersection passe nécessairement ]>ar le point O, qui est le pied de AB dans le méridien.

Si donc, par le point O, on mène ()M. perpendiculaire à A B, cette droite OM sera rinterseetion du plau du cadran avec le méridien , c’est-à-dire la ligne hoéaire qui correspond à midi.

Du point O comme centre, avec OM pour rayon, décrivons une circonférence; prenons, à partir du point M , à droite et à gauche de OM, une suite d’arcs égaux à la 24® partie de cette circonférence, et menons des rayons à tous les points de division : ces rayons sei’onl les lignes horaires, 1. es rayons OA,OB correspondront à 6 heures du matin et à 6 heures du soir, et tous les rayons placésa U -dessous du diamètre A B correspondront aux heures intermédiaires.

Suivant l’époque de l’année et la latitude du lieu, il pourra arriver que le soleil projette l’omhre du style sur le cadran avant fi heures du matin et après 6 heures du soir; on aura besoin alors de quelques-unes des lignes horaires placées au-dessus du diamètre AB. 11 pourra arriver, au contraire, que l'on n'ait d’omhre qu’après fi heures dn malin , et qu’elle cesse avant fi heures du soir; dans ce cas, quelques-unes des lignes horaires placées au-de.ssous de A B seront inutiles.

.'>85. — Supposons maintenant que le plan du cadran soit horizontal. Soient P (fig. 496) le pied du style, et PO la méridienne. Faisons l’angle O PS égal à la latitude du lieu; prenons PS égala la longueur du style, et menons SM perpendiculaire à PS. Si l’on redres.se verticalement par la pensée le triangle PSAI, il se confondra avec le . méridien, et la droite PS aura la position du sty le. Imaginons, par le point S ainsi redres.sé, un plan perpendiculaire au style, il sera parallèle à l’équateur et perpendiculaire au méridien, par conséquent; d'ailleurs, le plan horizontal est aussi perpendiculaire au méridien; la trace horizontale XA du plan dont nous par-

444 SFXONDE PARTIE.

Ions sera-donc rinlersection de deux plans perpendiculaires au méridien, et sera elle-même perpendiculaire à ce méridien et, par suite, à la méridienne PO|ainsi qu'à la droite iUS, qui passent par son pied M dans le méridien. De plus, la droite S ISf, perpendiculaire à P S, sera contenue dans le plan perpendiculaire à PS. Dans ce plan, qui e.st parallèle à l’équateur, comme nous l’avons dît, traçons un cadran solaire dont PS soit le style, le pied de ce style étant alors le point S; et, pour plus de commodité, rabattons ce plan surle plan horizontal, en le faisant tourner autour de XY comme charnière. La droite SM, étant perpendiculaire à XY, viendra se rabattre sur la méridienne PO, et le point S tombera en un point O, tel qu’on ait MS = MO.

Du point O comme centre, avec OM pour rayon, décrivons une circonférence; le rayon O M, étant dans le méridien, représente la ligne horaire de midi. Prenons, à partir du point M, une .série d’arcs égaux à la 24® partie de la circonférence, et menons des rayons à tous les points de division : ces rayons seront les lignes horaires du cadran parallèle à l’équateur, rabattues avec ce cadran sur le plan horizontal.

Prolongeons ces lignes horaires jusqu’à leur rencontre avec X Y ; les points 1,2, 3, 4, 5 appartiendront aux plans horaires et au plan horizontal. Mais le point P, qui est le pied du style sur le plan horizontal , appartient aussi* aux plans horaires et au planhonzontal. Les droites P 1, P2, P3, P4, P5 sont donc les traces horizontales des plans horaires , c’est-à-dire les lignes horaires du cadran horizontal.

On n’a plus qu’à répéter à la gauche de la méridienne les constructions opérées à sa droite. Ces constructions, pour plus de commodité, s’opèrent ordinairement sur le papier, au moyen d’une échelle de réduction, et l’on en rapporte les résultats sur le plan du cadran , en ayant égard à cette échelle.

Les lignes horaires extrêmes s'étendant à unedistance assez grande du point M, on remédie à cet inconvénient en prenant une longueur MC proportionnelle à la moi-

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. 445

tlé de la largeur du cadran , et élevant au point C une droite CD perpendiculaire à XY. Cette droite coupe les lignes horaires extrêmes en certains points a, b, ci l’on reporte les longueurs ca, c b sur le côté du cadran luimême, en les augmentant dans le rapport déterminé par l’échelle de réduction adoptée. On opère de même à la gauche de lu méridienne, ou plutôt on ne fait que copier de ce côté ce qui a été fait de l’autre , attendu que la méridienne divise le cadran en deux parties symétriques ((ig. 497).

Remarques. I. Le diamètre A B (fi g. 496) étant parallèle à XY, les lignes horaires du cadran parallèle à l’équateur qui correspondent à 6 heures du matin et à 6 heures du soir ne peuvent point rencontrer X Y ; et comme les lignes horaires correspondantes du cadran horizontal doivent être menées au point de concours de AB et de X Y, il en résulte qu’elles doivent être parallèles à X Y.

II. Les plans horaires qui sont à 12 heures d’intervalle l’un de l’autre sont évidemment surleprolongement l’un de l’autre; il en est donc de même des lignes horaires correspondantes : ainsi (fig. 497) la ligne horaire qui correspond à 5 heures du matin est sur le prolongement de celle qui correspond à 7 heures du soir, eivice versd.

586. — Supposons enfin que le plan du cadran soit vertical. Soient O (fig. 498) le pied du style; X Y l’horizontale qui forme le pied du mur sur lequel le cadran doit être établi ; O H une perpendiculaire abaissée du point O sur XY, c’est-à-dire une verticale; et H M la méridienne. Le plan du mur est supposé rabattu sur le plan horizontal ; les droites HO et HM sont les traces du plan méridien.

Au point H, élevons H O' perpendiculaire à HM; prenons HO' = HO; au point O', faisons l’angle HO P égal au complément de la latitude du lieu. Le point P ainsi déterminé sera le point où le style prolongé viendrait percer le plan horizontal; car il est facile de voir que le triangle O' HP n’est que le rabattement de celui que forment la verticale OH, la méridienne H P et le style prolongé; ce triangle est, en effet, rectangle en II,

SF.CONDR PARTIR.

iiO

puisque OU (liant une verticale est perpendiculaire à l’horizontale H M.

Cela posé, traçons un cadran horizontal , en prenant le point P pour le pied du stvle. Les lignes horaires prolongées viendront couper la droite. X Y en certains points 1, 2, 3, etc., qui appartiendront aux plans horaires et au plan du mur; mais le point 0 appartient aussi aux plans horaires, puisqu’il appartient au style, et il appartient d’ailleurs au plan du mur. Les droites 01,02,03, etc., sont donc les traces verticales des plans horaires, c’est-à-dire les lignes horaires du cadran vertical.

Les constructions précéder les s’opéreront sur le papier, pour plus de facilité, et l’on en reportera les résultats sur le plan du cadran, en les augmentant dans le rapport convenable. Pour remédier à l’élendue des lignes horaires, on emploiera le même moyen (jiie pour le cadran horizontal (voyez la fig. 499).

Remarques. I. Sur un cadran ^ertical, les lignes horaires ne sont point disposées syinétricpiement par rapport à la ligne de midi. Cela ne peut avoir lieu qup quand ce plan est perpendiculaire au méridien, c’est-àdire quand son azimut est de 90 °.

II. Si, par le point P (fig. 498), on.mène une droite p q, parallèle à X Y, ou voit que toutes les lignes horaires qui seront situées au-dessous depq ne pourront rencontrer XY. Or, ces lignes horaires étant deux à deux sur le prolongement l’une de l’autre, il ne peut y en avoir que 12 au-dessus de /.» ÿ. Ainsi , un cadran vertical ne peut marquer plus de 12 heures différentes , quellesque soient la latitude et l’époque de l’année.

En effet, ce plan vertical , passant par le centre du globe, coupe en deux parties égales le cercle que décrit le soleil dans .son mouv(;raent diurne apparent; cet astre ne peut donc être de plus de 12 hemvs en avant de ce plan vertical. Au bout de ce temps il passe en arrière, et le plairdu cadran .se trouve dans l’ombre.

Il est évident d’ailleurs que le cadran vertical peut

GïÎ0:\rÉTRIE DANS LESPACF. 447

«Hre éclairé moins de 12 heures; cela dépend du temps <|ue le soleil passe au-dessus de l’horizon.

587. — On remplace quelciuelois le st}le par une plaque disposée en avant du cadran et percée d’un trou cii‘culaire. Au milieu de l’ombre projetée par la plaque, ou aperçoit un point lumineux, qui, en passant sur les lignes horaires, indique l’heure correspondante. Cel appareil se nomme un gnomon.

Il est évident que le tracé des lignes horaires est toujours le même, puisque le trou circulaire dont nous parlons, et qu’on nomme le centre du gnomon, peut être considéré comme l’extrémité d’un style. Mais, au lieu d’avoir à déterminer la position du style, comme le gnomon se place arbitrairement, on a à déterminer le centre du cadran, ou, si l’on veut, le pied du style fictif dont le centre du gnonmn est l’extrémité.

C’est ordinairement pour les cadrans verticaux que l’on emploie les gnomons; voici comment on déterminera , dans ce cas, le centre du cadran.

Du centre du gnomon, abaissons une perpendiculaire sur le plan vertical du cadran, et mesurons cette perpendiculaire. Soit B (fig. 4Ü4) le pied de cette perpendiculaire. âlenons par ce point la verticale BS” et l’horizontale BS'. Prenons BS’ égal à la longueur de la j)erpendiculaire mesui’ée. Au point S" faisons l’angle B S’A égal au complément de razimut du mur. A partir du point A ainsi déterminé, prenons sur BS' une longueur AS' égale à A S'. Au point A élevons une verticale indefinie. Au point S' faisons un angle AS'O égal à la latitude du lieu. Le point O où la droite S'O rencontrera la verticale AO sera le pied du style fictif, ou le centre du cadran; car il est facile de voir que cette construction est l’inverse de celle que nous avons employée pour déterminer la direction du style au n° 583, et que les triangles ABS’ et O A S' (fig. 483) ainsi construits .sont les mêmes que ceux qui nous ont servi au numéro cité.

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