CHAPITRE I

* Des tétraèdres. '

688. — Il faut au moins quatre plans pour limiter en tous sens une portion de l'espace ; car si , avec trois j plans, on forme un angle trièdre, l’espace compris entre ses trois faces restera illimité dans le sens opposé au sommet; et pour le limiter dans ce sens, il faudra cou* per les trois faces par un quatrième plan. Le corps que l’on obtient ainsi a reçu le nom de tétraèdre (fig. 500). Les quatre plans qui forment un tétraèdre s’appellent ses faces ; ces quatre faces sont des triangles.

Un tétraèdre présente autant d’angles trièdres qu’il a de faces, c’est-à-dire quatre. Les angles dièdres formés par ces faces sont au nombre de six; il y a, par conséquent, six arêtes dans un tétraèdre. Le nombre total des angles plans dont se compasent les faces est de douze.

' Si l’on suppose que l’une des faces d’un tétraèdre S A B C (fig. 500) , la face ABC par exemple , soit posée sur II n plan horizontal, cette face sera ce que l’on nomme la base du tétraèdre, et le sommet S de l’angle trièdre opposé à cette base sera le sommet du tétraèdre.

11 n’est pas nécessaire néanmoins qu’une face soit horizontale pour pouvoir être considérée comme base, il suffit de concevoir qu’elle puisse le devenir. Ainsi, l’on

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pourrait regarder la face SAB comme la base du tétraèdre SABC; le point C serait aloi*s son sommet.

On nomme hauteur d’un tétraèdre la distance entre son sommet et sa base, c’est-à-dire la longueur de la perpendiculaire abaissée du sommet sur cette base.

Cette hauteur est souvent indispensable à connaître. Pour l’obtenir directement, on peut employer un moyen analogue à celui que nous avons indiqué (579) pour mesurer le diamètre d’une sphère. Imaginons deux plans horizontaux (fig. 501 ) susceptibles de s’écarter ou de se rapprocher l’un de l’autre à volonté, et supposons qu’on puisse lire leur écart sur une tige verticale divisée. On posera le tétraèdre par sa base sur le plan horizontal inférieur; on rapprochera ensuite le plan supérieur jusqu’à ce qu’il vienne toucher le sommet du tétraèdre, et la distance des deux plans horizontaux sera alors égale à la hauteur cherchée.

Ce moyen cesse d’être praticable quand la hauteur du tétraèdre excède une certaine limite; mais on peut alors l’obtenir par uneconstruction graphique. Soient en effet SABC(fig.502) un tétraèdre, SH la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base, c’est-à-dire la hauteur cherchée. Du pied H de cette perpendiculaire abaissons sur AB et sur BC les perpendiculaires H I et HR, et joignons SI et SK. Ces droites, en vertu du théorème du n° 41 3, seront aussi respectivement perpendiculaires à A B et à B C. Imaginons que les triangles ASB, BSC, ISHse rabattent sur le plan A B C , en tournant respectivement autour des droites AB , BCet 1 H ; la droite SI viendra se rabattre sur le prolongement de I H , et la droites K sur le prolongement de HR. Quant à la droite SH, elle se rabattra suivant une perpendiculaire à I H, et il sera facile de se procurer ce rabattement.

Pour cela, construisons sur un plan quelconque un triangle abc égal à la base ABC du tétraèdre donné. Construisons de même les triangles «S'é et ^»SV respectivement égaux aux faces A S B et BSC de ce tétraèdre. Des points S' et S’ abaissons sur les droites a b et bc les perpendiculaires S'^' et S'/ qui se rencontrent en un

Dii;-:- ^

'i.’SO SFCONOE PARTIE.

it. î.es trianglos l’cri angles B SIel SV ayant l’iiypo- Ihémise t'“galc et un angle aign (?ga1, savoir ;S'«/^ = S AB; puisque les triangles À SB et «S'Z> sont égaux, il en résulte qu’on a SV= S I et i/ = B T. On démontrerait de même qu’on a hk — B K.

f.es angles ihl; et IBK étant égaux par suite de l’égalité des triangles abc et ABC, si l’on faisait coïncider ces deux angles, le point I tomberait en i, et le point K en / ; la perpendiculaire IH suivrait la direction de la perpendiculaire /A , et la perpendiculaire KH suivrait celle de la perpendiculaire h h ; par consécpient, l’intersection H des deux perpendiculaires IH et KH coïnciderait avec l’intersection h des deux perpendiculaires ih et kh', il résulte de là que ih est égal à IH.

Élevons au point h une perpendiculaire à ih. Du point i comme centre , avec /S' pour rayon , décrirons un arc de cercle qui viendra couper en S" cette perpendiculaire, et joignons / S". Les triangles /S A et I S H seront égaux; car ils sont tous deux rectangles, et ont riiypothénuseégaleS '/=SV=»SI, et un côté égal /A = I H. Il en résidte qu’on a S' A = SH, c’est-à-dire que S"A est la hauteur demandée.

llemarque I. Q^ielle que soit la grandeur du tétraèdre projMisé, on pourra toujours exécuter sur le papier une construction analogue, à l’aide d’une échelle de réduction , au millimètre par mètre, ou au centimètre par mètre , etc.

liemarque H. INous avons supposé sur la figure que le pied H de la perpendiculaire SH tombait en dedans du triangle ABC, il pourrait tomber en dehors; mais cette circonstance n’empêcherait point d’appliquer les constructions précédentes.

589. — Théorème. Deux tètraèch'ex sont é^ux quand ils ont trois faces égales chacune h chacune et semblablement disposées. Soient les deux tétraèdres SABC, S'A'B'C (fig. 503), dans lesquels nous supposerons trois faces égales chacune à chacune et sembablement disposées, .savoir : SA B = .S'A'B , S B C = S'B'C', et S A C = .S' A'C'; je dis que ces télraèdj'cs sont égaux. Car il en résulte

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d’abord que les triangles A li C et A'B'C' ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun , et sont, par conséquent , égaux. Par suite, les angles trièdres des deux tétraèdres sont égaxix chacun à chacun , comme ayant leurs trois faces égales chacune à chacune; et, par conséquent, leurs angles dièdres sont égaux chacun à chacun. Les deux tétraèdres ont donc toutes leurs parties égales chacune à chacune et semblablement dis|Xîsées; ces tétraèdres sont donc égaux.

C0UOLI.AIRE. Un tétraèdre est déterminé lorsque l’on connaît trois de ses faces et l’ordre dans lequel elles sont assemblées; car on en déduit immédiatement la quatrième face, puisque ses côtés sont connus; et les angles dièdres peuvent s’obtenir par la constniclion indiquée au 11° 402.

Application. Cette manière de déterminer un tétraèdre par ses faces s’emploie lorsque l’on veut construire un tétraèdre creux en carton , en fer-blanc, en tôle, etc. 11 .sullit de tailler les faces et la ba.se, de manière qu’elles soient égales aux triangles donnés, et de les assembler ensuite dans l'ordre indiqué.

ôOO. — TiiKonËviE. Deux tétraèdres sont égaux lors~ qu'ils ont un angle dièdre égaly compris enti-e deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées. Soient S ABC et S' A'B'C (fig. 503) deux tétraèdres dans lesquels on suppose les angles dièdres BASC, et B'ASC égaux, et les faces ABS, A C S respectivement égales aux faces A'B'S' et A C'S', et semblablement disposées; je dis que ces tétraèdres sont égaux. Car si l’on fait coïncider les faces égales ACS et A'C'S', les faces ABS et ABS' seront dans un même plan, puisque les angles dièdres B ASC et B'ASC' sont égaux. Les angles plans ASB et A'S B' étant égaux , la ligne S B' suivra la direction de SB; par une rai.son semblable, la ligneA'B' suivra la direction de AB. Par con.séquent, le point B' tombera en B , et les deux tétraèdres auront leur quatre .sommets communs et coïncideront dans toute leur étendue; donc ces tétraèdres sont égaux.

t'oKoi.LAinr. T^n tétraèdre est déterminé (piaml on

connaît deux de ses faces, l’angle dièdre qu’elles forment, et la manière dont elles sont assemblées. Car si ABS et ACS sont les deux faces données , on connaîtra deux faces de l’angle trièdre S et l’angle dièdre compris ; on pourra donc en conclure la troisième face par la consti'uction du n" 493. Pareillement, on connaîtra deux faces de l’angle trièdre A, et l’angle dièdre compris, on pourra donc en conclure la troisième face. Dans chacun des triangles B S Cet BAC, on connaîtra alors deux côtés et l’angle compris; ces triangles seront donc déterminés. Connaissant toutes les faces du tétraèdre , on en déduira ses angles dièdi'es par la construction du n° 493.

Appucatio:v. Lorsqu’on a à construire un tétraèdre plein, en bois, en pierre, en métal, on peut employer ce mode de détermination. On donne au bloc une face plane, sur laquelle on trace un triangle égal à l’une des faces connue^ , AS B par exemple. Suivant l’aréte AS on fait passer un pian qui fasse avec le plan ASB un angle dièdre égal à l’angle dièdre donné. Dans ce plan on trace un triangle égal à la seconde face connue ASC et disposé de la manière indiquée. Cela fait , on mène un plan par les trois points B, S, C et un autre plan par les trois points A , B , C , et le tétraèdre est construit.

591. — Tréorëme. Deux tétraèdres sont égaux lorsqu’ils ont une face égale, adjacente à trois an^s dièdres.égaux chacun a chacun et semblablement disposés. Soient S ABC et S' ABC' (fig. 503) deux tétraèdres dans lesquels on suppose les faces ABC et ABC égales, ainsi que les angles dièdres adjacents à ces faces; je dis que ces tétraèdres sont égaux. Car si l’on fait coïncider les faces égales ABC et A'BC', la face A'SB'sera dans le plan de la face ASB, et le point S' tombera sur un point de ce plan. Pareillement^ la face A'S C' sera dans le plan de la face ASC, et le point S' tombera sur un point de ce plan. De même encore, la face B'S'C sera dans le plan de la face BSC , et le point S tombera sur un point de ce plan. Le point S' devant tomber ainsi sur les trois plans A S B, ASC et BSC ne pourra se trouver qu’à leur point

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de rencontre B. Ainsi les deux tétraèdres auront leurs quatre sommets communs et coïncideront dans toute leur étendue; ces tétraèdres sont donc égaux.

Cunoi.LAiHS. Un tétraèdre est déterminé quand on connaît l’une de ses faces, ainsi que les angles dièdres qu’elle forme avec les trois autres. Car si ABC est la face donnée , on connaîtra, dans chacun des angles trièdres A, B , C, une face et les deux angles dièdres adjacents; on pourra donc en déduire le troisième angle dièdre et les deux autres faces (494). Dans chacun des triangles AS B , ASC, B SC, on connaîtra alors un côté et les deux angles adjacents; ces triangles seront donc déterminés; et tout .sera connu dans le tétraèdre.

Application. Ce mode de détermination pourrait être employé pour construire un tétraèdre plein. Pour cela, on donnerait au bloc sur lequel on aurait à opérer une face plane où l’on tracerait un triangle égal à la face connue du tétraèdre. Par les trois côtés de ce triangle, on ferait passer des plans qui fissent avec celui de ce triangle des angles dièdres égaux aux angles dièdres donnés; l’intersection de ces trois plans déterminerait le quatrième sommet du tétraèdre.

592. Théorème. Deux tétraèdres sont égaux lorsfjtCils ont une arete égale et tous leurs angles dièdres égaux chacun a chacun et semblablement situés. Soient S ABC etS'A'B'C (fig. 503) deux tétraèdres dans lesquels on suppose les arêtes SA et S'A' égales, ainsi que tous les angles dièdres semblablement .situés ; je dis que ces tétraèdres sont égaux. En effet, les angles trièdres S et S' ont leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement situés ; ils sont donc égaux (495 , Coroll.), et ont, par conséquent , leurs faces égales; ainsi les angles A SB, A'S'B' sont égaux, ainsi que les angles ASC et A'S'C'. Par une raison semblable, les angles SAB et S'A'B' sont égaux, ainsi que les angles SAC et S'A'C'. Il en ré.sulte que les triangles AS B et A' S B' ont un côté égal SA = S'A' adjacent à des angles égaux chacun à chacun, et sont conséquemment égaux. Il en est de même des triangles ASC et .V'S'C'. Les deux tétraèdres

'454 ShCO.\l)K l»Al!'UE.

üjjI doue un angle dièdre égal li A SC= B A S(* compris entre deux faees égales ehacuue à chacune el seniblableluent disposées; eu vertu du théorème du n® 5U0 , ces deux tétraèdres sont donc égaux.

CoROLLAinE. Un tétraèdre est déterminé quand on connaît Tune de ses arêtes et tous ses angles dièdres, ainsi que l’ordre dans lequel ils sont disposés. Car ses angles dièdres étant connus, il sera facile d’en déduire ses angles plans (4î)o); et si SA est rarélc donnée, on eonnaitra,danschaeun des deux triangles A SB et ASC, un côté et les deux angles adjacents ; ces triangles seront donc déterminés. Par suite, dans chacun des triangles B SC et B A C, on connaîtra deux côtés et l’angle compris. Ces triangles seront donc déterminés à leur tour, et tout sera connu dans le tétraèdre.

Ari’LiCATioN. Pour con.struire un tétraèdre plein ^ dont on ne connaîtrait ainsi qu’une arête et les angles dièdres, il faudrait commencer par déterminer les angles plans. Les deux faces qui .se coupent suivant l'arête donnée seraient alors déterminées, et la construction rentrerait dans celle qui a été indiquée au n° 590.

Remarque. Lorsque deux tétraèdres sont égaux , il est évident que leurs hauteurs sont égales. Car si l’on fait coïncider ces tétraèdres, les sommets coïncidant ainsi que les bases, les perpendiculaires abaissées du sommet commun sur la base commune se confondront.

593. — Lorsque l’on ne donne que les angles dièdres d’un tétraèdre, cc tétraèdre cesse d’être déterminé. Car si, après avoir pris arbitrairement l'une de ses arêtes, SA par exenqjle (fig. 504), et achevé le tétraèdre SABC, comme il vient d’être dit dans le numéro précédent, on mène des plans parallèles à l’une des faces, à la face AB G par exemple, les nouveaux tét raèdres S « c-, S abc, etc., que l’on obtiendra, auront leurs angles dièdres égaux à ceux du tétraèdre S .ABC. En effet, si l’on compare les tétiaèdres SABC et S«ôc par exemple, on voit que les angles dièdres c7>«S et CB.\ S, formés par la ret»contre des |)lans par.dlèles ahe cl ABC avec un troisième plan A S B , sont égaux comme correspondants (454); il en est

GlioMÉTJUlt, DA2VS j/KSl»ACt:.

de même des angles a S et VCilS, ainsi que dos angles heaS el lîC VS. Quant aux trois autres angles dièdres, ils sont communs aux deux tétraèdres. Ces deux tétraèdres remplissent donc les conditions du problème, et il en est de même du tétraèdre Sàb'c , cl de tous les autres.

IMaisces divers tétraèdres ont entre eux une relation remarquable: c’est que leurs faces sont .semblables chacune à chacune et semblablement disposées. Prenons pour exemple les deux tétraèdres SABC et Srtir. Les droites A B et «6 sont parallèles entre elles, comme étant les intei’sections de deux plans parallèles ABC et nbc par un troisième A SB (448). Par conséquent, les triangles A S B et S 6 sont semblables. 11 en est de même des triangles B SC et b^c, ainsi que des triangles ASC et rt Sr. Les angles B A C et bac ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens sont égaux; il en est <Ie même des angles A BC et fl/!>c;les triangles ABC et abc sont donc équiangles et, par conséquent, semblables.