En général

Théorème. Deux tétraèdrex qui ont leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et senthlahlement situés ont leurs faces semblables chacune h chacune. Soient , en effet, SABC et s abc (fig. 505) deux tétraèdres qui ont leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement situés; les angles trièdres S et .v, ayant leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement situés, sont égaux (49-3, Coroll.), et ont, par consequenf; leurs angles plans égaux. On en peut dire autant des angles trièdres A et a, ainsi que des angles trièdres B et b. Il en résulte que 4cs deux triangles A SB et a s b sont éfpiianglcs et , par conséquent , semblables. On démontrerait de même la similitude des autres faces des deux tétraèdres.

Remarques. I. Deux tétraèdres qui ont ainsi leurs angles dièdres égaux chacun à chacun, et par suite leurs faces semblables, sont ce que l'on apjjelle des tétraèdres

setuhUddes.

Les faces .semblablement situées sont les faces Iwmo-

456 ^irCOiNDE PARTIE.

logues les côtés homologues tle ces faces sont les arêtes homologues des deux tétraèdres.

On voit, d’après ce qui précède, que deux tétraèdres semblables ont leurs arêtes homologues proportion nelles, et qu’on a , par exemple , S A : j a : : B C : ô c. Car la similitude des triangles A SB et a.) ô donne la proportion

SA: ::SB:.ift,

et celle des triangles BSCet bsc donne SB: jô : : BC :ôc, d’où l’on tire, à cause du rapport commun, . . . . . SA; j«::BC: ôr.

II. Cette proportionnalité s’étend aux hauteurs des deux tétraèdres. En effet, les angles trièdres S et # étant égaux , faisons-les coïncider comme l’indique la ligure 504. La droite a ô sera parallèle à AB, puisque les angles correspondants S a ô et S A B sont égaux ; de même, la droite 6 c sera parallèle à BC. Par conséquent, le plan abc, qui contient les droites âô et bc, sera parallèle au plan A BC qui contient les droites A B et BC (447). Si du point S on abaisse une perpendiculaire sur l’un de ces plans, elle sera donc aussi perpendiculaire à l’auti*e. Soient S A et SH les hauteurs des deux tétraèdres, me.sUrées sur cette perpendiculaire; on aura, à cause du parallélisme des plans aôc- et ABC (453, Coroll. II),