SA :S« :: SH : S

d’où il suit que les hauteurs sont proportionnelles aux arêtes homologués.

III. Il suit encore de la similitude des faces homologues que les aires de ces faces sont entre elles comme les carrés de deux arêtes homologues quelconques, ou comme les carrés des hauteurs. Car on a , par exemple,

ASB : flSô ::"SÂ* C^a\

Mais on a aussi

SÂ’ ; : TC : ôl* : : SÏÏ’ : SÂ’.

Donc ^

ASB : aSô : : : :1^C* TTc :

ce qui cx])rinic la propriété énoncée.

Gliü.METRIE KAAS l’esPACE. 457

m""" 'f 'w>”>°losncs sont p.opoi--

miine les eiitie elles; car on peut écrire, par exemple, « aptes ce (jui précédé : ^

ASB : a^b : ; sSA* :

BSC: ^»Sc::SÂ’:

d où, à cause du rapport coiumuii :

ASB : aSh : . BSC : bSc.

59o. — Théorème. 7)e//.r tétraèdres sont semUnhles lorsqu ils ont une f m e semblable adjacente à trois anfrles * , chacun à chacun. Car soient ABC et

€ihc (ùg. 505) les deux faces semblables , les angles trièdres A et a seront égaux comme ayant une face égale adjacente a deux angles dièdres égaux chacun ît chacun ; Il en resuite légalité des deux angles dièdres nui ont pour arêtes S A et ,r./. On démontrerait de la même manière l’egalité des autres angles dièdres. Donc les deux lefraedres sont semblables.

590. — Théorème. Deux tétraèdres sont semblables orsqn ils ont un an^le dièdre ènal compris entre deii.-è faces semblables chacune à chacune et semblahlemeni disposées. Car soient ASB, ASC et asb, asc (fig. 50.5) les faces semblables chacune à chacune, semblablement disposées, et comprenant entre elles des angles dièdres égaux; les angles trièdres S et s seront égaux comme ayant un angle dièdre égal compris entre deux faces égalés chacune à chacune; il en résulte l’égalité des deux angles dièdres qui ont pour arêtes SB et sb. Les angles trièdres A et a seront aussi égaux, comme ayant im angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune a chacune; il en résulte l’égalité des deux angles diedres qui ont pour arêtes AB et a b. Les deux tétraèdres proposés ont donc une face semblable ASB adjacente à trois angles dièdres égaux chacun k chaéiin; donc ils sont semblables en vertu du Uiéorème precedent.

597. — Théorème. Deux tétraèdres sont semblables lorsqu Ils ont trois faces semblables chacune à chacune

458 SECO.NDE PARTIE.

et semblable ment disposées. Car soient A SB, ASC (fig. 505) trois laces cIc l’un, respectivementseiiiblabies aux trois faces a J' asc, bsc de l'autre , et sein> blablement disposées. l>es angles trièdres S et s seront égaux, comme ayant leurs trois .faces égales chacune à chacune et semblablçnlent placées ; il en résulte l’égalité des angles dièdres qui ont pour arêtes SA et sa. Les deux tétraèdres proposés ont donc un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblablement di.sposées; donc ils sont semblables en vertu du théorème précédent.

598. — ÏHÉOBÈMB. Si deux tétraèdres ont même hauteur, et leurs bases sur un même plan, les sections faites par un même plan parallèle au plan des hases seront entre elles comme ces bases. Soient SABC et OMNP (fig. 506) deux tétraèdres de même hauteur, dont les bases ABC et MNP sont supposées sur un même plan. Soient abc tlninp les sections faites par un même plan parallèle au plan des bases. Des sommets S et O abaissons sur les deux plans parallèles les perpendiculaires SH et OL, qui rencontreront le plan supérieur en h et en l. Par supposition, on aura SH = OL ; on aura d’ailleurs AH = /L, puisque deux plans parallèles sont partout également distants, il en résultera:

SH— AH = OL — /L, ouSA = OL.

Les tétraèdres SaAc et S A BC étant semblables (603),' on aura (594, Rem. III) ^

«6c: ABC ::*SÂ* : SH*.

Les tétraèdres Omnp et OMNP étant semblables aussi , on aura de même :

mnp : MN’P : : O/* : OL*.

Mais puisque SA et O Z sont égaux, ainsi que SH et OL , les deux proportions précédentes ont un rapport commun; les deux autres rapports sont donc en proportion, et l’on a

abc‘. ABC : '. mnp : MNP, o\xabc:mnp ; : ABC: MNP,

Gl'OM^TRIE DANS L*ESPACE. 459

CoROMAiBE. Si les bases ABC et MNP étaient équivalentes, les sections abc et mnp le seraient aussi.

599. — Si (lu tétraèdre S ABC (fig. 506) on retranche le tétraèdre ?>ahc, on aura ce qu’on appelle un tétmèdre tronque A.^ilabc.

Lorsqu’on connaît la hauteur A H d’un tétraèdre tronqué , il est souvent utile de déterminer la hauteur S H (lu tétraèdre dont il fait partie. Pour cela , on a la proportion (594, Rem. II) ■ ' *

SH : SA : : A B : rtô,

d’où l’on tire SH : SH — SA : : AB : AB — «A, nubien SH: AH:; AB: AB — ab.

Les trois derniers termes de celte proportion étant connus , on en déduira le premier.

Application. Supposons, par exemple, que AH ait 2'",5, que a b ait 3'“ et A B 4"*,5, on aura

SH : 2“,5 : ; 4">,5 : 4“,5 — 3“, ou SH : 2®,5 : : 4, 5 : 1 , 5 ,

d'où

• Remarque. Quant à la hauteur A H du tétraèdre tronqué , elle peut s’obtenir soit au moyen de deux plans horizontaux susceptibles de s’écarter ou de se rapprocher à volonté, comme nous l’avons indiqué déjà (fig. 501) , soit par un procédé graphique semblable à celui que nous avons employé pour déterminer la hauteur du tétraèdre. Car la hauteur du tétraèdre tronqué ABC abc (fig. .506), c’est-à-dire la distance des plans parallèles ABC et abc y est la même que la hauteur d’un tétraèdre qui aurait pour base ABC et pour sommet le point b; on n’aura' donc qu’à joindre A A et C b, et à opérer ensuite ' comme il a été dit au n» 588.

600. — Parmi les différentes espèces de tétraèdres que l’on peut avoir à considérer, il y en a une qui mérite «ne attention particulière, c’est celle des tétraèdres dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux. 11 résulte, de l’égalité de toutes les arêtes, l’égalité de tous les angles jdaiis, et, par eonséquenl aussi , l’égalité

de tous les angles dièdi*es. C’est en raison de<^e$ égalités que les tétraèdres dont nous parlons ont reçu le nom de tétm^dves réguliers.

Tous les tétraèdres réguliers sont semblables entro eux; c’est une conséquence du théorème du n® BOT, et de ce que tous les triangles équilatéraux sont semblables. 11 en résulte que deux tétraèdres réguliers sont égaux loi*squ'ils opt une arête égale; car alors la similitude des faces se change en égalité.

La mesure directe et le çalpul trigonométriqiie ont fait voir que la valeur de l’angle dièdre dans les tétraèdres réguliers est de 70* 81' 48", 6.

Applications. On trouve dans la nature des uorpa dont la forme est celle d’un tétraèdre régulier : tels sont certains cristaux de zinc sulfuré, c’est-à-dire de zipc combiné au soufre; tels sont aussi les cristaux de cuivre gris.