chapitre il
Des pyramides.
601. — Si l’on coupe par un même plap toptps les arêtes d’un angle polyèdre , la section sera un polygone, et les faces de l’angle polyèdre, limitées à ce plan, seront des triangles. L’espace terminé par ce polygone et par ces triangles est ce qu’on nopimp une pyramide.
Le polygone dont nous venons de parler so pomme la base de la pyramide; les triangles sont ses faces, et le sommet de l’apgle polyèdre est le sommet de la pyramide. ^
On ne considère, dans la Géométrie élémentaire , que les pyramides convexes, c’est-à-dire dont la base est un polygone convexe.
Les pyramides se subdivisent d’après le pombre dea côtés du polygope qpi leur sert de base. Le télraèd|%, qui n’est autre chose qu’une pyramide dont la base est un triangle , prepd le nom de pyramide triangulaire. Une pyramide est quadrangulaire base est un
GhOMlÔfRIE DANS l’ ESP ACE. AGI
q^a(^rila(^^e; elle est j?cr/tnffo/mle , hexagonale , etc. ^ si sa base est un pentagone, un hexagone, etc.
On désigne une pyramide par la lettre placée à son sommet, suivie des lettres qui servent à désigner sa base. On dit ainsi la pyramide SAB G DE (fig. .507).
Si, par le sommet S d’une pyramide SAB CD E et par les diagonales AC, AD de sa base, on mène des plans, ces plans prennent le nom de plans diagonaux. De même que les diagonales AC, AD partagent le polygone ABCDE en triangles ABC, A CD, A DE, ainsi les plans diagonaux ASC, ASD partagent la pyramide en tétraèdres S ABC, SACD, SADE, qui ont pour sommet commun le sommet de la pyramide, et pour bases les triangles ABC, ACD,ADE.
Tous ces tétraèdes ont même hauteur; cette hauteur est la longueur de la perpendiculaire abaissée du point S sur le plan ABCDE. Cette perpendiculaire est ce qu’on nomme la hauteur àc la pyramide. Pour l’obtenir, on voit qu’il suffit de déterminer celle du tétraèdre S ABC, par exempte, en employant l’un des procédés que nous avons fait connaître (588).
fi02. — Tiiéoréme. Deux pyramides sont égales lorsqu’elles ont meme hase et deux faces contiguës égales chacune à chacune et semblablement disposées. Soient, en effet, S ABCDE et S'A' B' C'D'E' (fig. 507) deux pyramides, qui ont des bases égales ABCDE , A'B'C'D'E' , et les faces contiguës A SB, B SC, respectivement égales aux faces contiguës A' S B', B'S'C', disposées d’ailleurs semblablement; je dis que ces pyramides sont égales.
Menons en effet les plans diagonaux ASC et A S C. Les triangles ABC et A'B'C seront égaux , par suite de l’égalité des polygones ABCDE et A'B'C'D'E'. Les tétraèdres SABC et S'A'B'C' auront donc trois faces égales chacune à chacune et semblablement disposées; ces tétraèdres seront done égaux (589). Imaginons que l’on fasse coïncider les polygones ABCD E et A'B'C'D' E', les triangles A B C et A'B'C coïncideront; les tétraèdres SABC et S' .A' IEC coïncideront donc aussi, puisqu’ils sont égaux. Les deux pyramides auront donc tous leurs
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sommets communs , et coïncideront djuis (UPM étendue. Donc ces pj'ramides sont égalent i j
( 03. — On donne le nom de pyramidç^ spjphUibîes a celles qui peuvent se déponiposer en un Htêntiè nombre de tétraèdres semblables, et semblablement 4^posés, Cette définition conduit aux deux îbéorèrn®? suivants. - TiiÉORÊMp. Deux pjrainitles semblables opt leurs faces homologues et leurs buses semblub^St Soient SABCDE êl sahede (fig. 508) deux pyramides sen|^ blables. Menons dans cbacuue les diagonaux
ASC, ASD et asc, asd. D’après la pâture de? pyrafpides proposées, les tétraèç!|’es S4BC Pt sàfsc seront semblables*, il en sera de même des létr^èdre;s S A CD et sacd, ainsi que des tptraèdres SADE et jfod(î. Çes di-î verses similitudes entraînent celle des faces A SBel B SC et eSD et csd, DSÉ et ES^ et es a. Elles entraînent aussj celle des trianglçs A^C et abc y ACD eXped, A DE et açle. Il en résulte <}u<î les poljgones ABCDE et abc de sont décomposablea en up même nombre de triangles semblables et sepiM^blement disposés, c’est-à-dire que ces polygones 8ont sertlblables.
Corollaire I. Deux pyramides semblables et s abc de ont leurs arêtes homologues proportionnelles ; car on a, par exemple, en vertu dé la swiUtnde de !eu|’.^ face.a homologues et de leurs bases ^ les prftT portions
SA:#»;zAB:aiîSD:jd;:CD;çd;ABi«^nCD:c‘/| et, à cause des rapports communs, il vient
SA:f«::SD:.y</î:ABt^^’*CDîcif, j^|C, CQROf.Lxinp II. Cette proportionnalité s’étend hauteurs des deux pyramides; car ces hauteurs étant prëctsémuut celles des tétraèdres dont elles se enmpo*^ sent, on aura , eu nommant H et h ces hauteurs S A : A 0 . : H : A, et par conséquent .
fi A ; «rt : : SD : sd : ; AB : «Z» : : C D : ; ; H : A, etc.
Corollaire 111. Des faces homologues, ou Ips hases
CÉOMIÎTRUÎ D\KS l’j-SPACK. 463
des deux pyramides, sont entre elles cppune Jes oorm de deux arôles homologues quelcouquefj , ou comme les carrés des hauteurs. Car la similitude des tétraèdres S A BC et J aie- donne :
SAB : s ah :: SA* : ,
ou •' : : SD’ : : : CD’ : ctf , etc.; , ■ •
on obtiendrait la même proportionnalité pour les autres faces.
Les bases étant des polygones semblables , on a aussi ; ABCDE : abede : :'AB* : «4* : : SA*’: sa^ : m* : A*, etc.
604. — Th$or||mb. Si dc^x pyramides ont leui's bases semblables y et deux faces contiguës homologues sembla^ blés chacune a chacune, ces pyramides sont sçmblabtes. Soient SABCDE eXsabede ((jg. 508) deux pyramides qui ont leurs bases ABCDE eX abede semblables, ainsi que les deux faces contiguës homologues ASB , BSC et asby bsc; je dis qqe ces pyramides sont semblables. En effet, si l’on mène les plans diagonaux ASC, ASD et ascy asdy les deux polygones semblables ABCDE et a seront décomposés parles lignes AC, AD, et«r, ad,ay\ un même nombre de triangles semblables cba-? cuii à chacun et semblablement disposés.
Les tétraèdres S ABC et sabc auront donc trois faces semblables chacune à chacune et semblablement dispo^ sées, savoir; ASB et asby BSC et bsc, ABC et abc , ces tétraèdres seront donc semblables (597). lien résulte que les angles dièdres SACBet^ac^ sont égaux, ainsi que leurs suppléments S AC D et j «<•</.
Les tétraèdres SACDet^acc/onldonc un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à cb^eune , savoir : les faces ASC otasc par suite de la .similitude des tétraèdresS ABC, sabc, etles faoesACD et acd par suite de la simililude des polygones ABCDE et apede. Ces tétraèdres sont donc semblables.
On démontrerait de la même manière que tous les tétraèdresdont se composent lesdeux pyramides sont semn
blahles tleux à deux, et d’ailleurs semblablement disposés. Ces pyramides sont donc semblables.
G05, — Tuéouëme. Si dans une pyramide SAB C DE (fig. 509) on mène un plan abcde parallèle h la base , la pyramide ^/eSabcde ainsi formée est semblable h la pyramide totale. En effet, la droite ab est parallèle à AB, puisque ces droites sont les intersections de deux pians parallèles ABCDE, abcde par un troisième plan ASB; de môme est parallèle à BC, cd parallèle à CD, et ainsi de suite. Les angles « ic et ABC sont donc égaux, comme ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens ; il en est de même des angles bedeX B C D , et ainsi de suite.
Par suite des mêmes parallélismes, les triangles a^b et b^c sont respectivement semblables aux triangles ASB et B S C. ; on a donc :
ah : AB : : : SB, et Siî» : SB ; : : BC;
d’oii , à cause du rapport commun ,
