TuÉonÉME. Par un point O ^ prix sur une droite

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AB (fig. 26)- o« ne peut éie\»er qu'une seule perpendicu^ luire à cettê firoite. En effet, du point 0 Comme centre, avec un rayon quelconque, décrivons une demi-circoniérence A Dfi. Une droite O D, élevée au point O perpendiculairement à A B , formera avec elle deux angles adjacents égaux A O D , B O D. Par suite les arcs A D et B D seront égaux , et le point D sera le milieu de la demicii*conférence A D B. Or il n’y a qu’un seul point D qui puisse être le milieu de la demi ‘circonférence AD B; donc on ne peut par le point O élever qu’une Seule perpendiculaire à A B. ' ‘

€6. —Théorème. Par un point O (fig. 35), pris hors d'une droite AB, on ne peut abaisser qu’une seule perpendiculaire sur cette droite. En effet,. Soient, s'il est possible, OC et OD deux perpendiculaires à AB. Faisons tourner la figure CO D autour de A B, comme charnière, jusqu’à ce qu’elle vienne se rabattre en CO'D. L’angle O' D C sera évidemment égal à l’angle O D C ; or celui-ci est droit par supposition, puisque OD est perpendiculaire à A B; l'angle O' DC est donc droit aussi. Les deux angles O D C et O' D C , qui ont même sommet D , un côté commun D C , et dont la somme équivaut à deux angles droits , ont donc leurs côtés extérieurs O D et O' D en ligne droite (57). Et comme on en peut dire autant de OC et de O' C , il y aurait du point O au point O’ deux lignes droites O D O' et O C O' , ce qui est impossible. D’un point pris hors d’une droite , on ne peut donc abaisser sur cetlè droite qu’une seule perpendiculaire.

Remarque. Si O C est cette perpendiculaire , toute autre droite O D menée par le point O sera ce que l’on nomme une oblique à la ligne AB.'

67. — Théorème. Si par un point O (fig. 86) , extérieur A une droite A B , o/l lui mène une perpendiculaire O C er une oblique O I) , /o perpendiculaire sera plus courte que l'oblique. Car si l’on répète le mouvement indiqué dans la démonstration du théorème précédent, on voit que O' D est égal à O D, et que O C est égal à OC; de plus O CO' est une ligne droite puisque les angles OCD et O' C D sont égaux et que le premier est droiL Or k ligne

Gl’OMl-TRIE PLANK.

droite étant le plus court chemin d’un point à un autre, il en résulte que O 0' est plus court que 0 D plus DO'.

Donc OC, qui est la moitié de 0 0', est plus court que O D , qui est la moitié de O D -i- D O'.

Remarque. Il suit de là que la perpendiculaire abaissée d’un point sur une droite, est le plus court chemin de ce point à cetté droite. Et de même que le plus court chemin d*un point à un autre mesure la véritable distancé de ces points, de même le plus court chemin d’un point à une droite mesure la véritable distance de ce point à cette droite.

Si l’on veut savoir, par exemple, de combien un point remarquable dans la campagne est distant d’une grandè route, il faut abaisser de ce point une perpendiculaire sur la direction du bord de cette route, et mesurer là longueur de cette perpendiculaire.

C0ROLI.AIRE. Réciproquement : Si une droite O C tstià. plus courte de celles que ton peut' Uténer d’un point 0 A une droite A B , cètte ligne O C est perpendiculaire A A B.

Car si elle ne l’était pas, soit OD la perpendiculairé *. d’après le théorème précédent O D Serait plus cmirt què OC, ce qui est contraii’e à la supposition.

Remarque. Le point C oii la perpendiculaire OC ren* contre la droite A B se nomme le pied de cette perpendiculaire; le point D est pareillement le pied de l’obli-» que O D.

68. — Théorémb. Si par un point O (figi 36) extérieur* à une droite X Y , o» mène deux obliques OA, O B , telles que le pied de la perpendiculaire 0 C soit également distant du pied de chaque oblique, ces obliques seront égales. Car si l’on fait tourner la figure OA C autour de OC, comme charnière, l’angle O CA étant droit ainsi que l’angle O C B , ta droite C A viendra s’appliquer sur C B ; et comme, par hypothèse, C A égale C B , le point A tombera en B ; en sorte que les droites O A et O B auront les mêmes extrémités, et coïncideront. Par conséquent; ces deux droites sont égales.

69. — Lemme. Si et un même côté et une droite AB (fig. 37) , on mène du point A nu point B deux lignes bri*

GotSgîc

sées A D B A C B [ayant chcicune deux côtés) , celte de ces dçux lignes qui enveloppe C autre est la plus longue. En effet , si l’on prolonge A D jusqu’à la rencontre de C B au point 1 , on aura DB<DI-f-IB, ou, en ajoutant do part et d’autre A D ,

AD+DB<AD-f-DI + IBouAD-|-DB<AI-|-lB(l);

mais on a aussi AI^AC-f-CI,ou, en ajoutant de part et d’autre,lB,

AI-f-IB<AC-i-Cl4-IBou AI-hIB<AC + CB(2)/

En comparant les deux relations (1) et (2), on voit qu’on a à, plus forte raison AD4-DB<AC-hCB.

.,.,70. — Théorëüib. Si par un point O (lig. 38) on mène à une droite X Y deux obliques quelconques OA et O B , celle dont le pied s’écarte le moins du pied de la perpendiculaire O Ç.., est la plus courte. En effet, faisons tourner la figure autour de A B comme charnière , jusqu’à ce que le point O vienne se rabattre en O'; on aura évidemment O'B =0 B et 0' A ==0 A. Or d’après le lemme précédent on a O B -f- 0' B < O A -h O' A ; donc 0 B , qui est la moitié de 0 B -f- 0 B , est plus court que O A , qui est la moitié de O A -f- O' A .

S’il s’agissait des obliques O A et O B' situées de part et d’autre de la perpendiculaire, soit C B' moindre que C A : en prenant C B = C B' et joignant O B , on aurait # O B = 0 B' , en vertu du théorème du n® 68 ; mais en vertu de la démonstration précédente on a OBC^OA; donc on aussi O B' < 0 A.

' Ainsi le théorème est général. ,

' 71. — Du rapprochement des deux théorèmes précédents résultent ces deux propositions réciproques: O

Si- par un point extérieur à une droite f on lui mène deux obliques égales , le pied de la perpendiculaire sera également distant du pied de chaque oblique. Car s’il en était inégalement distant, en vertu du théorème précédent les obliques seraient inégales.' o .?•

' Si par un point extérieur h une droite, on lui mène deux obliques inégales, le pied de la plus courte sem

GKOMÉTniF. PLANE. 49

moins distant du pied de la perpendiculaire que ne le sera le pied de la plus longue. Car s’ils en étaient également distants les deux obliques seraient égales (68); et si le pied de celle que nous supposons la plus courte était le plus éloigné du pied de la perpendiculaire, cetteoblique serait la plus longue (70) , ce qui est également contraire à la supposition.

72. — Théorème. Chaque point de la perpendiculaire G O (fig. 36) , élevée sur le milieu d’une droite A B , est egalement distant des extrémités de cette droite. Car soit Ü un de ces points, joignons OA et O B, ces droites .seront deux obliques égales puisque le pied de la perpendiculaire est également distant du pied de chacune de ces obliques. Donc le point O est à égale distance des extrémités A et B <le la droite k B.

73. — Théorème. Tout point K (fig. 36) , pris hors de la perpendiculaire C O élevée, sur le milieu iF une d/vitc A B , est inégalement distant des extrémités de cette droite. Car si l'on joint K A et K B, l’une de ces droites coupera la perpendiculaire. D’après la position du point K dans la figure, c’est la droite K A qui coupe Cü en un j)oint O. Joignons OB; nous aurons KB<^KO-l-OB, mais O B est égal à OA , en vertu du théorème précédent ; on peut donc écrire KB<KO + OA, ou 1^ B K A. Ainsi le point K est inégalement distant des extrémités de la droite AB.

74. — Du rapprochement des deux théorèmes qui précèdent, résultent ces deux propositions réciproques:

Tout point également distant des extrémités il’ une droite, appartient à la perjiendiculaire élevée sur le milieu de cette droite. Car s’il était situé au dehors de cette perpendiculaire, il serait inégalement distant des extrémités de la droite.

Tout point inégalement distant des extrémités d'une droite , est situé hors de la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette droite. Car .s’il était situé sur cetle perpendiculaire, il serait également distant des extrémités de la droite.

Ainsi la perpendiculaire élevée sur le milieu d’une

50 phemiî:rf. partie.

droite est le lieu f^èotnêtrique de tous les points du plan qui sont également éloignés des deux extrémités decetté droite. *

' Application. On se sert de ces deux pfopositions réciproques pour vérifier les perpendiculaires. Supposons, par exemple, que l’on veuille vérifier si CO (fig. 36) est perpendiculaire à X Y; on prendra sur X Y, de part et d’autre du point C des longueurs égales CA et CB; et l’on marquera sur la droite CO un point O quelconque!

51 les distances O A et O B sont égales , le point O appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB;

' donc CO est cette perpendiculaii*e. Si les distances O A et O B sont inégales, le point O est situé hors de la perpendiculaire élevée au point C ; donc OC n’est pas perpendiculaire à X Y.

75. — Théorème. Si une droite X T (fig. 88) a deux de ses points A et B, à égale distance des extrémités d'une droite 00', la première droite est perpendiculaire sur le milieu de la seconde. En effet , le point A étant également distant des extrémités de la droite 0 0' , appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu de O 0'. On en peut dire autant du point B. Or deux points suffisent pour déterminer une droite : la droite AB, ou , ce qui revient au même, la droite XY,est donc èlle-raêmè cette perpendiculaire élevée sur le milieu de O O'.