Théorème. Chaque point de la bissectrice OC

d’un ahgle A O B (fig. 39) est également distant des càtés de cet angle. Soit C un point quelconque de cette bissectrice; abaissons de ce point les perpendiculaires CA et CB sur les côtés de l’angle A O B. Ces perpendiculaires mesureront la distance du point C aux côtés de l’angle AO B. Pour prouver qu’elles sont égales, plions la figuré le long d,e O C ; l’angle B G C étant égal à l’angle C ü A , la ligne O B viendra se rabaltre'’sur la ligne O A ; et le point C n’aura pas changé de place. Il faudra donc que les perpendiculaires C B et GA coïncident , car autrement il y aurait du point C deux perpendiculaires abaissées sur une même droite , ce qui est impossible. Doue CB*±:GA. "

GKOM^TRIF. PLANE. 51

Remarque. Cet te démonstration prouve en uit-ine temps ,queOB^=^OA.

77. — Théorème, Tout point C (fig. 39) situé hors de lu bissectrice d’un angle A 0 K , est inégalement distant des côtés de cet angle. Abaissons du point C les pei’pendiculaîi*es CA et CK sur les côtés de l’angle donné, et joignons 0 C. Cette droite partagera l’angle A O K en deu.x parties inégales par hypothèse. Soit AOC la plus petite.

Faisons au point O un angle COB égal à l’angle AOC, et abai.s.sons CB perpendiculaire sur O B. La droite CO sera la bissectrice de l’angle AO B, et l’on aura CA=CB, en vertu du théorème précédent. La droite OB, rencontrera la perpendiculaire CK en un certain point I, et CI sera une oblicpie par rapport à la perpendiculaire CB; on aura donc CB<CI, et à plus forte raison C B < CK. Or au lieu de CB on peut écrire CA; on a donc C A < C K,

78. — Du rapprochement des deux théorèmes qui précèdent résultent ces deux propositions réciproques :

Tout point également distant des côtés d'un angle appartient a la bissectrice de cet angle. Car s’il était situé au dehors de cette bissectrice, il serait inégalement distant des côtés de l’angle.

Tout point inégalement distant des côtés d’un angle est situé hors de ta bissectrice de cet angle. Qac%’\\ était Situé sur cette bis.sectrice, il serait également di.stant des côtés de l’anglé.

Ainsi là bissectrice d’un angle est le lieu géométrique de tous les points du plan qui sont également distants des deux côtés de cet angle.

79. — Théorème. Lorsqqe deux droites indéfinies A B e/ CD (fig. 40) se coupent, 1® les bissectrices des angles adjacents sont perpendiculaires entre elles , 2“ les bissectrices des angles opposés par le sommet sont en ligne droite. Cat .soient OH, 01, OK, OL ces bissectrices. l®OnaAOC-f-COB=2 angles droits; or C 0 H est là moitié de A 0 C , et C O l la moitié de C 0 B ; donc C 0 H -l-COI, c’est-à-direH 01 , est la moitié deAOC-hCOB, c’est-à-dire la moitié de 2 angles droits, ou un angle

droit. Donc OH et 01 sont perpendiculaires entre elles. On démontrerait de même que les angles I O K , K O L et LO H sont droits. 2“ Les angles HO I et I OK étant droits, leur somme équivaut à deux angles droits; et comme ils ont même sommet et un cAté commun 01, leurs côtés extérieurs OH et O K sont en ligne droite (57). On démontrerait de même que O I et OL sont en ligne droite.