CHAPITRE III

Des prismes.

608. — On désigne sous le non) de prisme un corps dont deux faces sont des polygones égaux et parallèles,, et dont toutes les autres faces sont des parallélogrammes, en nombre égal à celui des côtés de chacun de ces polygones. La figure 511 représente un prisme ; les polygones ABCDE,FGHIK égaux et parallèles sont ses bases; on réserve le nom ùo faces pour les parallélogrammes ABGF, BCHG, CDIH,DEKI, EAFK.

Toutes les arêtes AF, BG, CH, Dl, EK, qui joignent les deux bases , sont égales et parallèles; car deux de ces arêtes consécutives sont toujours des côtés opposés d’un même parallélogramme.

La hauteur d'un prisme est la distance mutuelle de ses bases ; elle peut s’obtenir au moyeu des deux plans parallèles mobiles représentés sur la figure 501 , ou par une construction graphique, en observant qu’elle est égale à la hauteur du tétraèdre qui aurait pour base le triangle ABC, et pour sommet le point G. On n’aurait donc qu’à tirer A G et G C , et à opérer comme il a été dit au n° 588.

Les prismes se subdivisent d’après la nature de leur base; ils sont triangulaires, quadrangulaires, pentagonaux, etc. , suivant que leur base est un triangle, un quadrilatère , un pentagone , etc.

Tout plan mené par deux arêtes latérales qui ne font point partie d’une même face est ce qu’on nomme nnplan diagonal. Les plans diagonaux menés par une même arête AF, partagent le prisme total en autant de prismes triangulaires que la base a de côtés moins deux. Tous ces prismes triangulaires ABCFGH, ACDFHI, ADÈFIK ont même hauteur, puisque deux plans parallèles sont partout également distants.

Dans la Géométrie élémentaire, on s’occupe particu-

i()8 SECONDE PARTIE.

lièremoiit des prismes convexes, c’esl-à-dire dont les bases sonl. des polygones convexes.

(j09. — Tiiêouéme. Deux prismes sont égaux lorsqu' ils ont une base et une face égales chacune à chacune, semble ment flisposées, et comprenant un angle dièdre égal. Soient ABCDEFGHIKet ABC' DE' F' G' HT R' (ou pour abréger A I et A' F) (fig. 512) deux prismes dans lesquels on suppose la basé A'B'C'D'E' égale à la base ABCDE, la face A'B'G'F' égale à la face AB G F, semblablement disposées, et comprenant entre elles des angles dièdres égaux F'A'B'C et FABC; je dis que ces prismes sont égaux.

En effet , imaginons que l'on fasse coïncider la base \'B'C'D'E' avec son égale ABCDE, à cause de l’égalité des angles dièdres ci-dessus désignés, la face A'B G' F' .SC trouvera dans le plan de la face A B G F. L’angle A' B G' étant égal à l’angle AB G, l’aréte B' G' prendra la direction de BG, et comme ces arêtes sont égales, le point G' tombera en G. Par une raison semblable, le point F' tombera en F.

Les faces B'C'H'G' et B CH G âyant trois points communs, B, G , C, seront dans un même plan; la droite C'H', parallèle à B' G', coïncidera donc avec CH, parallèle h BG; de même, la droite G' H', parallèle à B'C coïncidera avec GH, parallèleà BC. Par conséquent, le j)oint H' tombera en H.

En répétant le même raisonnement pour les faces suivantes H' CD' F et HCDI , on prouverait que le point F tombera en F; et ainsi de suite. Les deux prismes proposésauront donc tous leurs sommets communs, et coïncideront dans toute leur étendue ; donc ces prismes sont égaux.

CoROi.LAinE. Un prisme est déterminé lorsqu’on connaît une de ses bases, une de scs faces , la manière dont elles sont assemblées , et l’angle dièdre qu’elles forment. Car si ABCDE est cette base et A B GF cette face, on connaîtra dans l'angle trièdre B deux faces A B G , ABC et l’angle dièdre compris F A BC; on jmiirra donc déterminer la troisrcme face G BC et l’angle dièdre O B C D.

CÉOiUlirKlE JJAiSS l’espace,

B(‘‘ire1!'i'r du paialiélogrmm...-

Son G BC, o„ pourra cousu uiro

ce I a, alielogramnic. Dans 1 aogio trièdre Cou couoailra

G BC D • ‘Ô, ® ® " ''“"'S'' ‘“*‘*, 0 couCs

HCD^i’ Pn l"?'"™, «létc niiner la troisième face ChSci d f 0*!,''“ Gounaissant les côtés

oHsHcn GDI H, et l'angle corn-

PI1.S HC D , on pourra construire ce parallélograniine.

to,lS"l '"“r «.ccessivemèùi

toutes les parties du prisme proposé.

carton, en ferlant, etc., un prisme creux dont on connaîtrait la

base «ne face et l’angle dièdre compris , on pôiTrraU

«plo>er le mode de détermination précédent! Après a^o,r construit tous les parallélogi-ammes séparénim

II. Pour coustruireavec les mômes données un prisme P t in, en bois, en pierre , ou en métal , on donnerait au

SlinBCD'’K''r • *»

uounee A B C D t. Suivant le côté AB , on mènerait nu plan qui fit avec la base un angle dièdre égal à l’angle

domlë’t'B GF >e porulllog,'!",!'

donne ABGt. Suivant BG et BC, on ferait passer un

plan, sur lequel on achèverait de tracer le parallèle-

gramme BCHG.SuivantHC et CD, on ferait pasw

un plan, sur lequel on achèverait de tracer le parallélogrammeÇDIH. En continuant ainsi, on dé^rint rait toutes les laces latérales; il ne resterait plus qu’à Idiie passer un plan par les points F, G, l/; ce plan conüendrait les points I, K, et déterminerait, par son

FG HI^K ^^ase supérieure

T -^f>nt égaux lorsqu' iLs

ont une base et deux faces contiguës égales chacune iicha-

i f r V BCDK , la face A'B'G'F' égale

. la lace ABG l , et la face B C'Il G' égale à la face B C li G Les angles tricdres B’ et B ont leurs trois faces égales

i70 ShCONUK 1>ARTIÏ‘.

chacune à c^iacnnc et semblablement clisjWsées; ils sont (Inné é}»aii\. Par suite, l’an^ld dièdre F'ÀT>'('/ est égal a l'angle dièdre F ABC. Les deux prisnirs rentrent donc dans le cas du thcm’èmc précèdent, et sont, par conséquent , égaux.

611. — TmionÉME. .S/ l'on coupe un prisme qnelcompte pur un plan jHirallcle aux bases , la section est un polY"onc êml a chacune de ces bases. En cllet, soit A I Vlbr. 513) un prisme, LMx^PB. la section laite j)ar un plan parallèle aux bases. Les lignes LM et AB sont parallèles , puisqu’elles sont les intersections de deux plans parallèles par un troisième AB G F. U en résulte, que la figure ABmL estun parallélogramme, et qucLM— Ail. Par une raison semblable, ÎNIK est égal et parallèle a B C ; IS P est égal et parallèle à CD; et ainsi de suite. Les angles LM IS et ABC sont égaux, comme ayant leurs cotes iiarallçles et dirigés dans le même sens ; il en est de même des angles MISP et BCb ; et ainsi de suite. Les polygones ABC DE et L MIS P B ont donc leurs cotes égaux et leurs angles égaux chacun à chacun , et disposés d’ailleurs dans le même ordre; ces polygones sont donc égaux.

612. — l.orsque les arêtes latérales d’un prisme sont iierpendiculaires aux bases, ce prisme prend le nom de prisme droit. Toutes ses faces sont alors des rectangles, et chacune de scs arêtes latérales mesure la distance des deux bases, c’est-à-dire la hauteur du prisme. De plus, chaque face contenant deux perpendiculaires aux bases est elle-même perpendiculaire sur ces bases.

11 résulte, de ces notions et du théorème du n° 620, qne V/ewÆ’ prismes droits sâtit égaux lorsqu ils ont meme base et meme hauteur. Car alors leurs faces rectangulaires sont égales deux h deux , comme ayant même base et même hauteur.

Un prisme droit est déterminé quand sa base et sa hauteur sont connues. Pour le construire, il suffit d’élever , suivant les côtés de sa base , des plans perpendiculaires à cotte base , de donner aux arêtes latérales une

GjiOMl':TRTE DAlÿS l’eSPACE. 471

lotigtU'Ut’ (^gale à la hauteur du prîîime, et de mener un plan par les extrémités de oes avétes.

Si la base d’un prisme droit est un polygone régulier, ce prisme j)rend lui -meme le nom Ae prisme réf^uUer (lig. 514). Toutes ses faces sont alors des rectangles égaux. La droite 0 V, qui joint les centres des deux bases, SC nnmjlîc Vn.re d'n prisme régulier.

Lorsque l’en coupe un prisme quelconque par un plan incliné à la base, on obtient ce que Pou nomme \\t\ prisme trovqué 51.5). La section diffère, en général, de la base, et les faces latérales sont (en général) des trapèzes.

613. — Appi.tcatioxs. I. La toiture des maisons ordinaires, en faisant abstract ion delà saillie des mansardes, lucarnes, etc., présenté la forme d’un prisme triangulaire droit dont les bases sont verticales. Quelquefois ce prishie est trontpié.

II. I.es j)ierres (|ui forment l’angle d’un mur, que cel angle soit d’ailhîurs aigu ou obtus , sont aussi des prismes droits.

piédroits qui forment le jambage d’une porte ou d’une croisée sont encore des prismes droits; indis leur base n’est pas toujours un polygone convexe: dans les portes évasées, par exemple; la base des piédroits offre un angle rentrant (fig. 516).

III. Les prismes droits se rencontrent dans un grand nombre de détails de charpente :'par exemple , les arbalétriers A et Vvntrait B d'une ferme de toiture (fig. 376) sont des prismes droits dont les bases sont verticales, et dont les arêtes latérales sont placées horizontalement.

'IV. Certains salons dits octogones présentent la forme d’un prisme octogonal régulier. .

Celte forme est celle que l’on donne le plus souvent à l’équerre d’arpenteur (fig. 34).

V. finfin , l’on trouve dans la nature même des exemples de prismes di*oits et de prismes réguliers. Les alvéoles que construisent les abeilles sont des prismes hexagonaux réguliers. U émeraude ^ le spath d’Islande se présentent souvent sous cette forme (fig. 514). La

SECONDE PA-HTIE.

tourmaline otlre parfois un prisme droit , dont la base est un polygone de 9 côtés (fig. 517).

Des parallélépipèdes.

614. — Lorsqu’un prisme a pour base un parallélogramme, il prend le nom de parallélépipède. Ses six faces sont aloi's des parallélogrammes.

Les faces opposées , telles que AEHD et BFGC (fig. 518) , sont des parallélogrammes égaux. Car AE est égal et parallèle à B F, puisque ce .sont des côtés opposés d’un même parallélogramme ABFE ; de même AD est égal et parallèle à BC, puisque ce sont des côtés opposés d’un même parallélogramme ABCD; de plus, les angles D A E et C B F sont égaux , comme ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens; par conséquent, les parallélogrammes AEHD et BFGC sont égaux.

On voit, eu outre , que ct^s faces sont parallèles , puisque lesdroites AE et AD contenues dans l’iine .sont respectivement parallèles aux droites B F et BC. contemies dans l’autre (447). Ou démontrerait de même que les faces ABFEetDCGU sont égales et parallèles. ,

Deux faces opposées quelconques d’un parallélépidède peuvent donc être prises pour ses bases ; sa hauteur est alors la distance mutuelle de ces faces.

Appcicatio.v. 11 existe plusieurs espèces minérales dont les cristaux ont la iôrme d’un parallélépipède : telle est la substance connue .sous le nom d’rtx/«/Vc; tel est encore le sulfate de cuivre.

. 615. — On nomme sommets qppdsés d’un parallélépipède ceux qui ne font point partie d’une même face ; tels sont les sommets A et G .

On nomme angles trièdres opposés ceux dont les sommets sont opposés; tels .sont les angles trièdres ABDE et GH F C. Si l’on compare ces deux angles trièdres, on y oit qu’i Is ont les faces D A B et H G F égales, comme étant lou les deux égales à D C B; de même ils ont les faces DA E cl CG F égales’, comme étant toutes deux égales à DH E ;

GtOanÎTRTE DANS t/fsPACF.

<^nfin, ils ont les faces RAE et HGC égales, coninie étant toutes deux égales à BEE. D’ailleurs, il est facile de reconnaître que ces faces sont disposées dans un ordre inverse ; car si l’on suppose un spectateur placé dans l’angle trièdre ABDE, les pieds posés sur la face DAB et le dos appuyé à l’arête AE , il aura à sa droite la face EAB. Mais si le même observateur est supposé placé dans l’angle trièdre GH F(], les pieds posés sous la face H G F égale à DA B , et le dos appuyé à l’arêle G C, la face HGC égale à E A B se trouvera à sa gauche et non à sa droite. Ces deux angles trièdres ont donc leurs faces égales chacune à chacune et disposées en ordre inverse, c est -à -dire que dans un parallélépipède les angles trièdres opposés sont symétriques.

616* — On nomme diagonales d’un parallélépipède les droites qui joignent deux sommets opposés; telles sont les droites AG -et DF (fig. 519). Ces droites se coupent mutuellement en deux parties égales; car DA et GF étant tous deux égaux et parallèles à CB, sont égaux et parallèles entre eux ; et si l’on joignait A F et D G , la figure AFGD serait un parallélogramme ; par conséquent , les droites AG et DF, qui seraient les diagonales de ce parallélogramme, se coupent mutuellement en deux parties égales.

On prouverait de la même manière que deux quelconques des diagonales d’un parallélépipède .se coupent mutuellement en deux parties égales , en sorte que le point 0 est le milieu de chacune de ces diagonales.

617. — Tout plan diagonal , tel que AE G C (fig. 518) partage un parallélépipède en deux prismes triangulaires ABCEFG etACDEGH. On reconnaît facilement que ces deux prismes ont leurs faces égales chacune à chacune ; mais comme elles sont disposées dans un ordre inverse , ces prismes ne pourraient être superposés. Pfous reviendrons sur ce sujet, en traitant de la symétrie des corps.

618. — Lorsque les six faces d’un parallélépipède sont des losanges, les cristallographes lui donnent le nom

rhomboèdre . Ils en distinguent deux espèces ; le pre-

474 SpœNDE PARTIE*

mier est le rhomboèdre aifru (Og. 520), dans lequel deux angles Irièdres opposés A et B soûl formés par la réunion des angles aigus de trois des losanges; tous les autres angles trièdres sont formés de deux aiigles obtus et d’un angle aigu. Le second est le rbQinbpèdre ohtui (lig. 521), dans lequel deux angles Irièdres opposés A et B sont formés par la réunion des angles obtus de trois des losanges ( la perspective fait paraître aigus deux d’entre eux dans la figure); tous les autres angles Iriedres sont formés de deux angles aigus et d’un angle obtus.

Dans l’un et l’autre rhomboèdre , les six faces se trouvant disposées d’une manière analogue par rapport à la droite qui joint les sommets A et B , celte droite prend le nom d’^xe du cristal,

Applications. Le rhomboèdre est une des formes naturelles du spath cT Islande y du corindon , Awjer oligiste.

019. — Un paralléfépipède peut être droit comme tout autre prisme ; ses faces latérales sont alors des rectangles; les bases seules sont des parallélogrammes obli-

Lorsque la base d’un parallé^éiiipède droit est un rectani^e, toutes ses faces étant alors rectangulaires , il prend le nom de parallélépipède rectangle.

Dans un parallélépii>ède reptanglè (bg- 5?2), |ous les angles dièdres sont droits. Pour démoptinn-, par é-vemple, que l’angle dièdre ABF G est droit, on remarquera que les angles ABF etFBC étant droits, puisque les faces ABFE et FBCG sont des rectangles, 1 angle A BC mesure l’inclinaison mutuelle de ces deux faces; or cet angle ABC est droit, puisque AB CD est un rectangle ; donc l’angle dièdre AB P G est droit.

Chaque arête est perpendiculaire aux deux faces apX” quelles elle aboutit. Ainsi EH e.sl perpendiculaire aux faces ABFE et DCGU; car Eli est perpendiculaire aux deux droites AE et EF cpii. passent par son pied dans le plan ABFE, et aux deux droites UD etHG qui passent par .son pied dans le plan DCG IL

Q20. — Un jiarallélépipède rectangle est détermine

Gl'OWÉTIllE.PANS l’eSPACF. 175

quand pn connaît les trois arêtes AK, AD, AE, qui aboutissent à un môme sommet A. ('<ar, avec Iïîs deux premières, on peut construire le rectangle AB CD, et par suite son égal E FG II ; avec les arêtes A B et A E, on peut de même construire le rectangle ABFE et sou égal DCGH; enfin, avec les arêtes AD et A E, on peut construire le rectangle A D H E et son égal B G G F. Il ne restera plus , pour construire le parallélépipède rectangle, qu’à assembler dans l’ordre convenable ses six faces rectangulaires.

Applications. I. C’est ainsi que sc construisent les caisses et les boîtes dites cances , en carton , en bois, en feuilles métalliques, etc.

II. Pour former un parallélépipède rectangle plein, en bois, en pierre ou 'en métal , quand on connaît ses trois arêtes AB , AD, AE , on donne au bloc une face plane sur laquelle on trace la base rectangulaire ABCD. Par les côtés de ce rectangle, on fait passer des plans perpendiculaires à la base; ces plans se coupent suivant des arêtes perpendiculaires elles-mêmes à cette base. On prend sur ces pei*|>endiculaires des longueurs égales à l’arête connue AE, et par les extrémités E, F, G ^ on fait passer un plan; ce plan contient aussi l’extrémité H, et détermine, par son intersection avec les faces latérales, la base .supérieure EFG H. '

C’est ainsi que se taillent les pierres qui forment les axsises d’un niur. C’est par le même procédé que l’on équarrit les bois de construction, c’est-à-diré qu’ôn donne aux arbres abattus dans les forêts la forme de parallélépipèdes rectangles.

Ili. Enfin, c’est d’après les mêmes principes que l’on donne à nos appartements cette forme de parallélépi- |)ède rectangle. Après avoir déterminé sur un plan horizontal le rectangle qui doit lui servir de base, on élève des murs verticaux aux quatre côtés de ce rectangle; on termine ces murs à la même hauteur, et l’on fait passer par leurs arêtes supérieures un nouveau plan horizontal.