Il rt^ulte, de ce que nous venons de dire, que

,Di=

deux pnrallél^pipètles rectanglex sont égaux, quand Iw» trois arêtes qui aboutissent à un même sommet sont égales chacune h cliacune dans ces deux parallélépipèdes , ou , ce qui l’eviçnt au même , quand ils ont mdme base et mdnie hauteur.

Appmcatiox. On forme qtielquefois les parallélépipèdes rectangles par le moulage, c’est-h-dire par coïncidence avec des parallélépipèdes déjà existants. C*esl ainsi que s’obtiennent les briques de savon, et les briques à bâtir.

022. — Tiiéobéme. Dans tout parallélépipède rer tan g! e A G (fig. 022) , le carré cT une diagonale équivaut à la .somme des carrés des trois arêtes qui aboutis.sent à un même .sommet. Prenons pour exemple la diagonale H B , et tirons EB. L’arête EH étant perpendiculaire au plan ABFE est perpendiculaire à EB mené par son pied dans ce plan. Le triangleHEB est donc rectangle en E, et l’on a :

HB’=ËH’ +iTB’.

Mais E B étant rhypothénuse du triangle rectangle E AB, on a :

par conséquent , • i.-

ÎÏB’ = ¥11* H- ËÂ’ + AB* , ou, en remplaçant EH par son égale AD,

ÂË* =ÂD* + ÂË* 4- ÂB*.

Conoi.LAiRE I. Cette proposition fournit le moyen de calculer la diagonale d’un parallélépipède rectangle , quand on connaît la longueur des trois arêtes qui aboutissent à un même sommet. Supposons, par exemple, qu’on ait trouvé A D=2“', AE = 6'", A B —9'", on aura :

d’oii U B = t/l21'" ' ^ 1

CoROi.r.Ainc II. Ce théorème prouve en même temps

GlïOMlh'RIE DANS l’eSPACF. 47t

qnéléii'qüalre diagonales d’un parallélépipMè'rïictangle ' sont égales , ce qui peut servir à le vérifier.

■ 623. — Lorsque dans un parallélépipède rectangle les trois arêtes qui aboutissent à un même sommet sont égales, ses six faces .sont des carrés égaux, et ce parallélépipède prend le nom de cube (fig. 323).

‘ Un cube est déterminé quând on connaît la longueur d’une de ses arêtes ; car , d’après ce que nous venons de dire, toutes ses arêtes sont égales.

Deux cubes sont égaux lorsqu’ils ont même arête; car ils ont alors toutes leuini faces égales chacune à chacune.

Un cube est un rhomboèdre , où les losanges sont des carrés ; il sert de limite entre les rhomboèdres aigus et les rhomboèdres obtus.

Il suit du théorème du n° 632 que le carré de la diagonale d’un cube est le triple du carré de son arête.

Applications. Les colonnes de certains monuments reposent quelquefois sur des piédestaux sans moulure, qui ne sont autre chose que des ciîbes. Les boites à thé ont le plus souvent cette forme. C’est aussi celle des 'dés à jouer.

' Certains cristaux, enfin, ont la forme cubique : tels sont les cristaux de galène (combinaison naturelle de plomb et de soufre), et les cristaux de sel ordinaire, qu’on obtient en laissant reposer et évaporer lentement l’eau saturée de ce sel. ■

624. — Les trois arêtes , qui aboutis.sent à un même .sommet dans un parallélépipède rectangle, mesurent l’étendue de ce parallélépipède dans ses trois sens principaux. Ces trois sens principaux de son étendue sont ce que l’on nomme ses trois dimensions. On les désigne aussi sous les noms de longueur, largeur et hauteur. Quelquefois on remplace ces deux dernières dénominations par celles A' épaisseur et de profondeur. On dit , par exemple, la longueur, la largeur et la hauteur d’un appartement;

• la Torpeur, la largeur et l’épaisseur d’une planche; la longueur, la hauteur et l’épaisseur d’un mur; la lon-> gueur, la largeur et la profondeur d’un fossé, etc.

L’étendue d’un parallélépipède reclaugleest uniforme dans le sens de chacune de scs trois dimensions , pqrce qu’elle est limitée, dans ce sens, par deu\ plans parallèles , tous deux, perpendiculaires à Ta^’èle qqi piesurq cette dimension. Cette disposition particulière au parallélépipède reclaugle n’existe plus popr les autres corps; et néanmoins on se sert encore du m()t (lihiensions pour désigner les trois sens principaux ^de leur étendue, bien que la plupart de ces corps n aient, u proprement parler, ni longueur, ui largeur, ni li«^uteur, positivement assignables.

On applique également le xwo\. dimensionx a deux sqns principaux dans lesquels on envisage 1 étendue des surfaces , longueur et largeur, bien que ces dénominations ne soient rigoureusement applicables qu aux ^infaces planes et seulement aux parallélogrammes rectangles, dont l’étendue est uniforme dans ces deux sens

principaux. , . • i

tüfin, ou se sert du mot dimension pour désigner le sens dans lequel on envisage l’étendue d’unç ligué en général, quoique ce mot ne puisse s’appliquer rigoureusement qu’aux lignes droites.

On dit ainsi qu’un corps a trois dimensions; qu'une surface a deux dimensions ; qu’une ligne n g qu ppe dimension.

Nous ne prétendons pas réformer c^s expressions consacrées par l’usage; mais il nous .semble d autant plus convenable d’en éviter l'abus, que les surlaces ' courbes et même les ligues courbes, quand el|es sont à double courbure, exigent, à la lois, la considération de ce qu’on nomme les trois dimensions.