CHAPITRE IV

Des polyèdres. . '

625. — On donne, en général, le nom de poljèd/e h tout corps terminé par des surfaces planes. La péométrie élémentaire considère particulièrement les polyèdres convexes, c’est-à-dire dont une )igne droite pe peut

Cl-ÜMJÎTRIK DANS L’jiSPACE. iïD

reuconlrer la surface eu plus de deux points, el qui , par conséquent, ne présentent aucun angle dièdre rentrant.

Les plans qui terminent un polyèdre se nomment ses faces-, les droites qui terminent les faces sont ses arêtes; les extrémités des arêtes sont ses sommets. Toute droite joignant deux sommets qui n’appartiennent pas à une même face, est wwq diagonale du polyèdre. Tout plan mené par trois sommets qui n’appartiennent pas à une même face , est un plan diagonal.

Si , par l’iin des sommets A ( fig. 524) d’un polyèdre, on mène des droites à tous les autres , on déterminera une série de pyramides, telles que A mnop, qui auront pour sommet commun le point A , et pour bases les différentes faces du polyèdre , à l’exception de celles qui aboutissent au point A; et l’ensemble de ces pyramides formera le polyèdre lui-mème.

Tout polyèdre peut donc se décomposer en pyramides. On pourrait leur donner pour sommet commun tout autre point que le point A , un point intérieur par exemple.

626. — Deux jmlyèdres égaux ont évidemment toqtes leurs faces égales chacune à chacune, et tous leurs angles dièdres égaux chacun à chacun. Il en résulte qu’ils peuvent se décomposer en un même nombre de pyramides égales chacune à ch?icune et semblablem(|nl disposées.

Réciproquement : Dcnxpolyèdi'es sont égaux lorsqu’ils peuvent se décomposer en un même nombre de pyramides égales chacune h chacune et semblable nient disposées. Car si l’on fait coïncider deux de ces pyramides égales, les pyramides voisines coïncideront par une face; et comme elles sont égales et semblablement disposées, elles coïncideront dans toute leur étendue. Il en sera de même de proclie en proche pour toutes les pyramides prises deux à deux , en sorte que les polyèdres eux-mêmes coïncideront.

627. — On nomme polyèdres semblables ceux qui pepvent se décomposer en un même uumbee de pyra-

{«() SKrOVDF. PVRTIE.

mides .semblahips chaninp à chanino et spniMaldement <lispos«-Ps. Ces pyramides sembla])les sont dites jnrumides homologues\ Les arêtes des pyramides homologues sorti des arêtes ou des diagonales homologues des polyèdres. Leurs faces homologues sont celles qui sont terminées par des arêtes homologues. Les extrémités des arêtes homologues sont les sommets homologues des polyèdres. > ' ' , -,

Théobéme. Deux polyèdres semblables ont leurs fa^ ■ ces homologues semblables chacune à chacune et leurs angles dièdres égaux chacun à chacun. Soient SAB, A B CD, CDE (fig. .^2.5) trois faces consécutives du premier polyèdre, e\sab,abcd, ede les trois faces homologues du second. Supposons les deux polyèdres décomposés en pyramides, ayant leurs sommets en S et en s. Tirons en conséquence les diagonales SD , SC, SE, .ve/, sc, se. Les pyramides homologues SABCD, sabcd étant sembla Wes par hypothèse, leurs bases ABCD et ab cd sont semblables , et les angles dièdres S C D A et seda sont égaux. Les pyramides homologues SC DE et sede étant semblables, leurs bases C D É et ede sont semblables, et les angles dièdres ED CS et er/c.vsont égaux. L’angle dièdre A CDE, qui est la somme des angles dièdres SCD A et EDCS, est donc égal à l’angle acdeqy\\ est la somme des angles dièdres eied es.

On démontrerait de la même manière la similitude des autres faces et l'égalité des autres angles dièdres.

Corollaire I. Deux polyèdres semblables ont leurs arêtes homologues proportionnelles. Car de la similitude des faces homologues ci-dessus désignées résultent les proportions (603) d.mio i

SA : s a : : X'B : ab ; AB : a b : : CD': Vcf; C Die d\: DB {et C,

d’où cette suite de rapports égaux : ; i vontu m

ki . -t) ^ é'Jixnt

S A : s a :: AB : ab : : C D : cd : :DZ : de :: etc..,,..

Corollaire II. Cette proportionnalité s’étend aux diagonales homologues. Car, s’il s’agit , par exemple, de»

r.ÉO'iVfhTRIF. Ï)ANS t/fSPACF. ISI

tiiagon'ales SE et similitude des pyramides SCHE et xcde donne la proportion '

'SE:fe:;CD:c//,

et la suite de rapports égaux ci-dessus écrite devient

SA:^a::AB :«6;:CD:cc?::SE:j<?:: etc.

CoBOLLAiRE III. Lex faces homologues de deux polyèdres semblables sont entre elles comme les carrés de deux arêtes ou de deux diagonales homologues quelconques. Car, s’il s’agit des faces ABC D et ahcd par exemple, la similitude des pyramides SAB CD et sahed donne la proportion (60S)

ABCD: a6câ(::AB’ \ a b^ ,

et, en ayant égard h la suite de rapports égaux déjà écrite , il vient :

ABCD : a b c d :: Ab' : a b' :: CD' : cd* : : SE’ : je’ : : etc.

828. — TnÉORËME. Deux pplyèdres qui ont leurs faces homologues semblables chacune a chacune, semblablement disposées et leurs angles dièdres égaux chacun h chacun , sont semblables. Supposons les deux polyèdres décomposés en pyramides, ayant pour sommets les points homologues S et s { fig. 52.'> ) et pour bases les faces de ces deux polyèdres qui n’aboutissent pas à ces deux points. Supposons, en outre, que ces pyramides elles-mêmes soient décomposées en tétraèdres ayant pour sf)mmets ces mêmes points S et s. Soient S A B , A B C D , C DE trois faces consécutives du premier polyèdre , respectivement semblables aux faces abcd, cr/cdu second. Tirons les diagonales SC, SD, SE,jc, sd, se, et joignons de pins AC et «c.

’ T.cs deux faces .\BCD et ahcd étant sembla’bles, il en est de même des triangles ABC et a h c. Les deux tétraèdres S ABC et sabr. sont donc semblables , comme ayant un angle dièdre égal, par supposition , savoir : CBAS=^c//nrj compris entre deux faces semblables fhacune à chacune et Kemblahlement disposées '' 5i>8 ).

-iSi SECÜKDP PAUTIE.

On en conclut la similitude des faces homologues A S C et asc, et l’égalité des angles diètlres SA CB et sacl). Les angles dièdres SACD et sacd, qui sont supplémentaires des précédents, sont donc aussi égaux. O’ailleurs, les triangles ADC cladc sont semblables; les deux tétraèdres SAC D et sacd pnt donc un angle dièdre égal, compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées; ces tétraèdres sont donc semblables.

De là résulte la similitude des faces homologues DSC eX.de s, ainsi que l’égalité des angles dièdres S DCA et sdca. Les angles dièdres EDCA et er/ca étant égaux par supposition, si l’on en retranche les précédents, les re.stes SCDE ct.vciZc seront égaux. D’ailleurs, les triangles DCE et ^/cesont semblablesfil en serait encore de même si ces triangles, au lieu d’être, eux-mêmes des faces homologues des deux polyèdres , faisaient simplement partie de deux faces homologues); les deux tétraèdres SCDE et sede ont donc un angle dièdre égal, compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées; ces tétraèdres sont donc semblables.

En continuant ainsi, on démontrerait de proche en proche la similitude de tous les tétraèdres qui font partie des deux polyèdres. Or lés pyramides composées d’un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et semblablement disposés, comme le sont évidemment ceux qui nous occupent, sont des pyramides semblables. Les deux polyèdres proposés .sont donc composés d’un môme nombre de pyramides semblables chacune à chacune et semblablement disposées, c’est-àdire que ces polyèdres sont semblables.

Applications. On. a journellement, dans les arts, à exécuter' en grand des polyèdres dont le modèle est donné en petit; il suffit pour y parvenir d’établir l’égalité des plans et des angles dièdres et de conserver la proportion des arêtes, en faisant usage d’une échelle d'augpientation déterminée d’avance , à raison d’un mètre par centimètre par exemple.

On emploierait une échelle de réduction s’il s’agissait de copier eu petit un polyèdre exécuté en grand.

Ces sortes de questions se présentent fréquemment dans les constructions et particulièrement dans rétablissement des mapbines.

jwlyèdres symétriques. , : . • .;m»

629. — Pour que deux tétraèdres soient égaux, il ne suffit pas., ainsi que nous l’avons vu, qu’lisaient leurs faces égales chacune à chacune, jl faut encore que ces faces soient as.semblées dans le même ordre; car deux tétraèdres qui ont leurs faces égales chacune à chacune^ mais assemblées dans un ordre inverse, ne peuvent coïncider, .... > M

Cette observation donne lieu à démontrer le théorème suivant ; • • , ■ » (

TiiéorEme. — Les quatre faces d'un tétraèdre ne peu* vent être assemblées que de deux manières différentes^ ]\omraons en effet A, B, C, D, ces quatre faces. Quand elles seront assemblées, il y aura toujours un anglé . trièdre formé par les trois faces A , B, C, et il est évi^ dent que l’on ne peut assembler, parmi les angles de ces trois faces , que ceux qui sont opposés aux côtés destinés à former la quatrième face, D. Appelonsa, ô, c les trois angles à assembler, et, pour nous rendre compte des différentes manières dont cet assemblage peut s’opérer, imaginons, lorsque l’angle trièdre sera formé , que l’un des trois angles .soit placé en face de nous, l’un des deux autres sera situé à notre droite , le troisième à notre gauche. Nonunons successivement celui qui est à gauche, celui qui est en face.de nous, et celui qui est à droite. Il ne pourra se présenter que les six combinai^ sons suivantes : . •>.. . i * ' . v; . '-i*

abc ) bca ,eah, OVL acb ycha,hac] >

Alals on voit sur-le-champ que les trois premières n’èii forment qu’ime seule j car, dans la seconde, si au lieu de nou.s placer en face' 'de l’angle c noqs nqu,s placions

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sFroviiE pvnTiE

♦*n face de l’an^çle b, nous aurions à notre droite l’angle <•, et, par conséciuent , à notre gam-he l’angle a, ce qui redonnerait la combinaison abc. De même, si dans la troisième combinaison, au lieu de nous placer en face de l’angle a y nous nous placions en face de l’angle h, nous aurions l’angle a à noire gauche, et, par conséquent, l’angle c à notre droite, ce qui redonnerait encore la combinaison abc. On ferait voir de même que les trois dernières conibinaisons acb, cba, bac, n’en forment qu’une seule, qui est précisément inverse de la précédente; car, en nous plaçant en face de l’angle b, par exemple, c’est l’angle c qui sera à notre gauche, et l’angle rt à notre droite.

Tl n’y a donc que deux manières différentes d’as.sembler les trois angles a,b ,c,ç\, par conséquent, les trois faces A , B , C; et comme, une fois ces trois faces assemblées, la quatrième face D est déterminée de position, il en résulte qu’il n’y a que deux manières distinctes d’assembler les quatre faces d’un tétraèdre.

630. TiiÉonÉME. Si deux tetraedrex qui ont leurs . faces égales chacune à chacune , mais inversement dis- I

posées y sont placés de manière que deux des faces égales I

coïncident, la face commune, prolongée s' il est nécessaire, *

coupe en deux parties égales la droite qui joint les som- ^

mets opposés, et elle lui est perpendiculaire . Soient , en ’

effet, SABCet S ABC(fig. 526) deux tétraèdres qui rem- '

plissent les conditions de l’énoncx*. Soit 1 le milieu de la • I

droite S'S qui joint les sommets oppos<^ à la base commune ; menons Al , B I et CI. T.es arêtes AS etA.S' étant '

égales, la droite Al a deux de ses points à égale distance '

des extrémités de SS'; donc elle est perpendiculaire sur SS' (76). On en peut dire autant des droites BI et Cl. '

Ces trois droites sont donc dans un même plan perpendiculaire à SS'; or ce plan contient les trois points ABC, il n’est donc autre chose que le plan de la face commune ABC.

Remarque I. Les deux tétraèdres SABC et .S'ABC sont dits symétriques par rapf'ort au plan A BC, et l’on donne généralement la qualification de symétriques aux

GtOlUKTRTF. DANS l’eSPACF. 485

l<îlraèdres qui ont leurs faces égales chacune à chacune et invei*sement disposées, à cause de la propriété dont ils jouissent de pouvoir être placés symétric(uement par rapport à un même plan.

Remarque W. Le théorème du n“ G29 prouve qu’///i tétraèdre n’a qu’un seul symétrique.

C31. — Nous a^ons vu qu’un polyèdre peut toujours être décomposé en pyramides , et qu’une pyramide peut toujoui’s être décomposée en tétraèdres; d’où il suit qu’un polyèdre quelcîonque peut toujours être décomposé en tétraèdi’es.

TiiÉonftME. — Si de tous les sommets d’ un polyèdre, supposé décomposé en tétraèdres , on abaisse des perpendiculaires sur un meme plan , et qu’on les prolonge au délit de ce plan de quantités égales à elles-mêmes , les extrémités de ces perpendiculaires seront les sommets il’ un nouveau polyèdre, qui pourra être décomposé en un même nombre de tétraèdres symétriques de ceux du premier, et inversement disposés. Soit S (fig. 527) le sommet commun de tous les tétraèdres qui composent te polyèdre proposé ; A , B , C , 1) , etc., différents sommets du même polyèdre; soient S', A , B’, C, D', etc., les points correspondants du second polyèdre déterminés comme l’indique l’énoncé; soient enfin M et N les milieux des droites SS' et A'A, c’est-à-dire les pieds de ces perpendiculaires dans le plan sur lequel elles sont abaissées, et que nous désignerons par P.

Les droites SS' et AA' étant perpendiculaires ’à un même plan P sont parallèles entre elles, et, par conséquent, situées dans un même plan; de plus, elles sont perpendiculaires à la droite M N qui joint leurs pieds dans le plan P. Les trapèzes A SM N et A S iMN .sont donc ég..ux, comme ayant trois côtés égaux chacun à chacun , savoir M N commun , M S = iM S' et N A = N A', comprenant entre eux des angles égaux puisqu’ils sont droits (221). Le quatrième côté A S est donc égal au quatrième côté A'S‘. On prouverait de même que l’on a S'B'--SB, S'C' = SC, A'B' = AB, lî r/=BC. Il en résulte (juelesdeux tét)’.u'*<lres S \ RO etS'A'JVO' ont !eui-s

^iSO SKGOJVÜi: P VfîTlE.

faces égales chacmie àchacuaefcomme ayant leurs trois côlés égaux chacun à chacun); mais il est facile tle voir qu’elles sont inversement disposées; ces deux tétraèdres sont donc symétriques l’iin de l’autre.

On démontrerait de la même manière queles tétraèdres S ACD et S'A'C D' sont symétriques, et ainsi de suite. Les deux polyèdres se composent donc d’un même nombre de tétraèdres symétriques ; on reconnaît d'ailleurs sans peine que ces tétraèdres sont disposés invei’sement.

GSlJ. — Théorème. Deux polyèdres dècomposahles en un meme nombre de tétraèdres symétriques inversement disposés peuvent toujours être placés de manière que les droites qui joignent les sommets homologues soient divisées en deux parties égojes par un même plan perpendiculaire a toutes CCS droites. Appelons S et S' les deux polyèdres proposés. De tous les sommets du polyèdre S abaissons des perpendiculaires sur un plan quelconque P; prolongeons-les de quantités égales à ellesmêmes; nous obtiendrons un nouveau polyèdre S'. Les polyèdres S et S’ seront composés d’qn même nombre de tétraèdres symétriques inversement disposés (6.31 ). INIais les polyèdres S et S' sont aussi, par supposition, composés d’un même nombre de tétraèdres symétriques inversement disposés. D’ailleurs, un tétraèdre n’a qu’un seul symétrique. Les polyèdres S' et S' sont donc composés d’un même nombre de tétraèdres égaux chacun ît chacun, et semblablement disposés; ces polyèdres sont donc égaux.

Il suit de là que l’on peut faire coïncider le polyèdre S’ avec le polyèdre S" ; et, dans cette position du polyèdre S' i)ar rapport au polyèdre S , le plan P divisera eu deux parties égales toutes les droites qui joignent leurs sommets homologues , et sera perpendiculaire à ces droites.

Remarque I. Les deux polyèdres S et S' ainsi placés sont dits symétriques par rapport au plan P, et l’on consei’ve la qualification de symétriques aux polyèdres composés d’un môme nombre de tétraèdres symétriques inversement disposés , lors même qu’ils ne sont point placés symétriquement par rapport à un plan, à cause

-'.oocilc

GKOM1ÎTH1E DANS l’eSPACE. ^87

de Iq propi'iélû dont ils jouissenl de pouvoir être placés de celle manière.

Dans le premier cas, ils n’offrent qu’une symétrie de forme; dans le second, il y a à la fois symétrie de forme et symétrie de position.

Remarque II. Le théorème précédent prouve qu’//« paljèdrç ne peut avoir quun seul symétrique .

633. — Lorsque deux polyèdres sont placés symétriquement j>ar rapporta un même plan, ce plan est ce fpi’on nomme un plan de symétrie. Il arrive souvent qu’un plan divise un polyèdre en deux parties symétriques par rapporta ce plan; ce plan est encore dans ce cas un plan de symétrie.

11 y a des jiolyèdres qui peuvent être divisés ainsi de plusieurs manières en deux parties symétriques ; ces polyèdres ont alors plusieurs ])lans de symétrie.

Dans une i)yramide l’égulière, tous les plans menés par l’axe et par les rayons, ou les apothèmes de la base, .sont des plans de symétrie.

Un prisme droit a au moins un plan de symétrie; c’est celui qui divise en deux parties égales toutes ses arêtes latérales.

Si ce prisme est régulier, tous les plans menés par l’axe, et par les rayons ou les apothèmes de la base sont encore des plans de symétrie.

Dans le rhomboèdre, tous les plans menés par l’axe et par rune des arêtes qui aboutissent à ses extrémités sont des plans de symétrie.

Dans le parallélépipède rectangle, il y a trois plans de symétrie, qui divisent chacun en deux parties égales quatre arêtes parallèles.

Si la hase est un carré, les plans diagonaux menés suivant les diagonales de cette l)ase sont aussi des plans de symétrie. ,

Dans le cube, ily a, par conséquent, neuf plans de sy> métrie.

634. — Il peut aussi se trouver dans un polyèdre des nlans qui le divisent en deux parties symétriques de l'orme seulement cl non de position. C’est te qui a lieu

dans le parallélt^pipède : tout plan diagonal le divise en deux prismes triangulaires, cpii ont liuUes leurs parties égales charune à chacune, mais disposées dans un ordre inverse, et sont, par conséquent, symétriques.

Quand le parallélépipède est droit, les deux prismes triangulaires le deviennent aussi, et la symétrie se change en égalité; on reconnail sans peine, en effet, que ces prismes sont alors superposahles.

C35. — Lorsqu’un polyèdre a deux plans de symétrie,

, l’intersection de ces deux plans est un axe de symétrie.

Une pyramide régulière a un axe de symétrie qui est ^ l’axe même de la pyramide.

' Un prisme régulier a pour axes de symétrie d'abord

son axe propre, ensuite les intersections de tous les ])lans de symétrie qui passent par cet axe, avec le plan de .symétrie perpendiculaire atix arêtes latérales. Un [ prisme hexagonal régulier, par exemple, a sept axes de symétrie.

^ Le rhomboèdre n’en a qu’un, qui est son axe propre.

I.e parallélépipède rectangle en a trois : ce sont les droites qui joignent les centres des faces opposées , c’està-dire qui joignent les intersections des diagonales de ces faces.

Dans le cube, les diagonales sont , en outre , des axes de symétrie, puisque le cube est aussi un rhomboèdre; de • plus , les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées sont encore des axes de symétrie, ce qui porte leur nombre total à trei/c.

i 636. — Applications. La .symétrie de forme et de po-

sition s’observe dans une foule de produits des arts; elle s’observe aussi dans la nature.

11 y a symétrie de forme et de pasilion entre les ailes d’un édifice régulièrement bâti , entre les deux parties latérales d’un navire , d’une voiture, d’un pont, etc.; la plupart des constructions offrent au moins uri plan de symétrie. I.a même .symétrie se remarque dans la plupart des meubles et des ustensiles de toute espèce. Il y a symétrie parfaite de forme et de position appa-

Dl. ■ >I(

GÉoMEïKiE DANS l’i:spaci:. 489

rentes oiilre uii objet quelconque et son ima^e dans un miroir plan.

Il y a symétrie de forme et de position entre les deux )>arties latérales du corps chez presque tous les animaux. Les végétaux présentent aussi des exemples de symétrie extrêmement remarquables: il est peu de fleurs qui n’offrent au moins un plan de symétrie; un grand nombre d'entre elles ont un axe de symétrie.

Des polyèdres réguliers.

637. — Un polyèdré est régulier quand il a toutes ses laces égales, tous ses angles dièdres égaux, tous ses angles plans égaux , toutes ses arêtes et toutes ses faces égalés. Ces conditions exigent que les faces du polyèdre soient des polygones réguliers égaux , ce qui limite surle-champ le nombre des polyèdres réguliers possibles. Kn effet , il tant au moins trois angles plans pour former un angle poly èdre, et la somme de ces angles doit être moindre que quatre angles droits (4Ü8). Des he.xagones réguliers ne sauraient donc servir à former un polyèdre régulier; car l’angle de l’hexagone vaut^ d’angle droit; trois de ces angles l'eunis formeraient donc quatre angles droits. A plus lorte raison ne saurait-on employer des polygones réguliers d’un plus grand nombre de côtes; il ne reste des lors dedisj)onibles que des triangles équilatéraux , des carrés et des pentagones réguliers.

I. tormons d abord un angle triedre avec trois triangles équilatéraux ; les côtés de ces triangles, opposés au sommet de l'angle trièdre, formeront un quatrième triangle équilatéral , égal aux premiers; et nous aurons un tétraèdre régulier (fig. 528). Nous avons vu comment se construisent les tetraedres, pleins ou creux. Nous avons dit aussi que l’angle dièdre des tétraèdres réguliers est de 70® 3t' 43", 6.

II. Assemblons maintenant quatre triangles équilatéraux , de manière à en former les laces latérales d'une I>yramidc régulière à base qavvcc ahede (fig. 520); j.ijis

‘4î)b • ' ' SEGOjciiÉ ‘ pAfeni-; ' ' ’

continuons h assembler des triangles (•^iiilî'lt^vaiix avec les premiers; nous trouverons qu’il en f'aüï ajoiilôV quatre autres ; et le polyèdre régulier qui en résultera sera formé de huit triangles équilatérauV, égaux 'entre eux; on le nomme octaèdre régulier.

Pour avoir la valeur de son angle dièdre, il faut former un angle trièdre ^eqe avec deux angles de 6ü<».rtir, ,

6e, et un angle droit chc, et déterminer l’anglfe ulèdrc <•« 6e qui fait partie de cet angle trièdre. Nous a^ons appris à résoudre ce problème par une construction graphique (492). On trouve, par le calcul trigonométrique, que la valeur de cet angle dièdre est de 109<»28' 16', 4.

Au moyen de celte valeur, on pourra construire un octaèdre régulier plein, t^our cela, on donnera au bloc une face plane sur laquelle on tracera un triangle équilatéral; par chacun de ses côtés on fera passer un plan qui fasse avec le premier un angle dièdre égal à la valeur ci-dessus ; et sur ces nouveaux plans ou achèvera des triangles équilatéraux. Par les côtés de ces triangles on fera passer de nouveaux plans, inclinés sur eux de la môme manière, et sur lesquels on achèvera de nouveaux triangles équilatéraux; et ainsi de suite. ,

11 se présente dans le cours de celle construction plusieurs .simplifications qu’on apercevra sans peine, et dont on aura soin de profiler.

III. Assemblons maintenant cinq triangles équilalé-r raux, de manière à en former les laces latérales d uné pyramide régulière à base pentagonale ahedef (fig. 530); puis continuons h assembler de nouveaux triangles équilatéraux avec les premiers; nous trouverons qu’il eu faut ajouter quinze autres ; et le polyèdre qui en résultera sera formé dé vingt triangles équilatéraux égaux entre

eux. On le nomme /rovrtèr/rc

Pour avoir la valeur de son angle dièdre , il faut former un angle trièdre avec deux angles de 60°, aedy aej, et un angle de 108°, ^/c/ (l’angle du pentagone régulier qui sert de base à la iiyramide «6c</t^ , et déleriuir ner la valeur de l’angle dièdre daef qui fait partie dé

GKOAIÉTRIK DAÏfij l’fSPACI;. 4Î) I

cet angle lrièdre(492). Oïl trouve par le calcul (jue cette valeur est de 138" 10' S 7", 2.

A l’aîde de celte valeur, on pourra construire un icosaèdre régulier i)k‘iu, j)ar un procédé analogue à celui que nous avons indiqué pour Toctaèdre régulier.

IV. On ne peut assembler plus de cinq triangles équilatéraux pour former un angle polyèdre; car l’angle du triangle équilatéral étatit de 60", six angles pareils feront une somme de 360" ou quatre angles droits.

II faut donc maintenant employer des carrés; mais l’on ne peut en employer plus de trois pour former un angle polyèdre. Le polyèdre régulier que l’on obtient ainsi n’est autre que le cube, que nous connaissons déjà. On lui donne aussi le nom à'?ic.Taèdre régulier. La valeur de son angle dièdre est de 90".

V. Il reste à as.sembler des pentagones réguliers égaux. On ne peut évidemment en assembler plus de' trois pour former un angle jml^èdre. Si , après a voir formé un angle trièdre avec trois pentagones réguliers égaux, on continue à en as.sembler d’autres avec les premiers, on trouve qu’il faut en ajouter neuf; et le polyèdre qui en résulte est formé de dou/e pentagones réguliers égaux. On lui donne le nom de dodécaèdre régulier ( fig. 561 ).

Pour avoir la valeur de son angle dièdre, il faut former un angle trièdre avec trois angles de pentagone régulier, c’est-à-dire avec trois angles de 108", et déterminer l’un des angles dièdres que comprennent entre eux les faces de cet angle trièdre. Le calcul donne pour la valeur de cet angle dièdre 116" 33' 51’, 2.

A l’aide de cette valeur, on pourra construire un dodécaèdre régulier plein, par un procédé analogue à celui qui a été précédemment indiqué pour l’octaèdre.

On voit, d’après ce qui précède, qu’il n’existe que cinq polyèdres réguliers, savoir, en les rangeant d’après le nombre de leurs faces, le tétraèdre, l’hexaèdre, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icOsaèdre réguliers.

638. — On pourrait démontrer plusieurs théorèmes remarquables sur les polyèdres ix^Uliers : par exemide

que tout polyèdfv régulier est inscriptible' et circou^ scriptihle à la sphère; mais ces pix>positions , d'ailleurs l'aciles à pressentir, u'olTreul qu’un objet de pure eu* riosité.

Ou recoiiualt saus peine que tout plan mené par le milieu d’une arête- d’un polyèdre régulier, perpendiculairemeul à cette arête, est un plan de symétrie; et que tout plan qui divise eu deux parties égales l’iia des angles dièdres est également un plan de symétrie.

Applications. C’est dans l’élude des substances minérales que l’on rencontre les seules applications utiles des polyèdres réguliers.

Le tétraèdre régulier se rencontre parmi les cristaux de cuivre gris.

Le cube existe parmi les cristaux de sel gemme, de sel marin, de pyrite de fer (combinaison de fer et de soufre).

L’octaèdre régulier est une des formes ordinaires du spath fluor, de la pyrite de fer, du diamant, etc. ''

Le dodécaèdre et l’icosaèdre i*égulier n’existent point parmi les cristaux.

631). — Les cristallographes considèrent encore plusieurs autres polyèdres qui, sans être réguliers dans la rigueur géométrique du nuit , offrent néanmoins une certaine uniformité d’aspect qui mérite d’être remarquée ; tels sont :

1®. Les octaèdres formés de deux pyramides régulières à base carrée, opposées l’une à l’autre base à base; ses faces sont des triangles i.socèles dont l’angle opposé à la base peut être aigu ou obtus (fig. 532 et 533).

La première de ces formes est celle de \ anatase ; la seconde est celle du ziivon.

2". Le doflécaèdre triangulaire (fig. 534) , formé par deux pyramides régulières hexagonales, opposées l’une à l’autre par la base.

Cette forme appartieul au quartz , ou cristal de roche.

3”. hcdo<lèeaèdrc rhnmboidalf\^.i>'iô),Aon\. les tlou/c faces sont des losanges égaux.

GEOMliTRIE DANS l’esP ACE. 493

Celle forme ajjpartienl an grenat, au spath d’Islande, etc.

4» Le trapêzoèdre (fig. .530), dont les vit.gt-qualre Liées sont des qnadnlalères égaux. Ces quadrilatères ont rei u des eristallograplies le nom de trapézoïdes , d’on le nom assez impropre de trapêzoèdre. On peut se représenter chacun ^l’eux comme formé de deux triangles scalènes SJ- metriques a h e et a de.

Celte forme appartient grenat, à Vaniphigtnie , etc.

Ces poljedres ont tous des plans de symétrie et des d\es de s^iiiétric qu il est facile de reconnaître.

Les minéraux présentent beaucoup d'autres formes polyedrales plus ou moins compliquées, qui dérivehl toutes de celles que nous avons signalées précédemment : mais 1 étude des lois suivant lesquelles ces transforUialions s opèrent dans les cristaux est l'objet spécial de là cristallographie.