Nous réunirons sous ce litre les corps qui ne

sont terminés qiie par des surfaces courbes, et ceux qui sont terminés simultanément par des surfaces planes et par des surfaces courbes.

Un corps jieul être Ifcrmiué de toutes parts par une seule et même surface courbe.

Si cette .surface e.st une surface sphérique, le borps qu elle termine prend le nom de sphère. Dans la sphère, tous les plans méridiens .sont des plans de symétrie; tous lés diamètres sont des axes de .symétrie.

Si cette surface est un ellipsoïde de révolution le corps qu elle tefmineprchd lui-même le nom tVellipsoïdc de f évolution. On lui donne quelquefois aussi le nom de spheroide, surtout quand il se rapproche de la sphère , ainsi que cela a heu pour le globe de la terre ; aussi dit-on le sphéroïde terrestre.

Dans un ellipsoïde de révolution , le plan de l’équa-

494 SECONDE P:limE.

leur, <*t tous les plans méridiens, sont des plans de symétrie. L’axe de révolution est un aXe de sjmetne ; il en est de même de tous les diamètres de réc|uateur , puisque ce sont les intersections du plan de l’équateur avec les

plans méridiens. r j

Si la surface qui termine un corps est une surface de révolution quelconque , ses plans méridiens seront toujours des plans de symétrie, et l’axe de révolution sera

toujours un axe de symétrie.

La toupie qui sert de jouet aux enfants est un corps

terminé par une surface de révolution.

041 — Un corps peut être terminé par plusieurs sur- , faces courbes. On pourrait en citer une multitude d’exemples-, nous nous bornerons aux deux suivants.

l’ Deuv surfaces sphériques qui se coupent. On rencontre cette forme parmi les verres nommés lentilles cjui entrent dans la construction d’un grand nombre

d’instruments d'optique. ^ ^ -

Si les centres des deux surfaces spheriques sont situes de nart et d’autre de la lentille, on lui donne le nom de lentille hi-coneexe (fig. 537). Si les centres sont situes d’un même côté de la lentille, elle prend le nom de lentille comexe-concaee . Ces lentilles sont convergentes, rVst-à-dire qu’elles rapprochent les rayons lumineux de Yaxe de la lentille, ou de la ligne des centres. On les emploie pour corriger les vues presbjtes. .

Il Vne surface sphérique coupée par une sufface coniaue , qui a pour sommet le centre de la sphere.C est ce «u4 l’on appelle un secteur sphérique 539). On peut k considérer comme engendré par la révolution d un secteur de cercle A O B , autour du rayon O B qui aboutit à rime de ses extrémités. La droite OB est un axe de révolution commun aux deux surfaces.

642 — Parmi les corps termines en partie par des surkres idanes et en partie par des surfaces courbes, nous

distinguerons ceux qui suivent.

1 Le serment sphérique. Quand on coupe une sphère par un pla^’n , la portion d’espace compris entre ce plan ! l l une quclcomiuc des deux parties de la.surfacc sphe-

r,ÉO]\n';Tnir. dans l'espack. 405

riqne, esl ce qu'on appelle im segment sphérique (fig. 540). La porlion de surface sphérique qui termine ce segment s’appelle une calotte sphérique. Le cercle sui* lequel elle s’appuie est la base du segment sphérique.

Ce corps a pour axe de symétrie le rayon O P mené au |)ôle du cercle qui lui sert de ba.se; nous avons vu (554, Coroll.) que ce rayon est perpendiculaire au plan de ce cercle et passe par son centre C. Tous les plans qui passent par cet axe OP sont des plans de symétrie.

La porlion CP de Taxe de symétrie, compris entre la surface sphéri((ue et le plan, est ce qu’on nomme la hauteur à\\ segment ou de la calotte. Cette hauteur, le rayon AC de la base du segment et le diamètre PP' de la sphère sont liés entre eux par une relation qui permet de calculer l’une de ces trois longueui’s lorsque l’on connaît les deux autres.

En effet, l’axe PP' étant perpendiculaire au plan du cercle dont le diamètre est A B est perpendiculaire sur ce diamètre. Si l’on imagine un grand cercle de la sphère qui passe par les points P, A et P', l’axe PP' sera son diamètre, et la droite AC, abaissée d’un point de sa circonférence sur PP', sera moyenne proportionnelle entre les deux segments C.P et CP' (164); on aura donc

CP: AC : : AC: CP', doiiÂC’ = CP X CP'.

Or CP .= PP' — CP; donc

Tc’ = CP X (PP' — CP).

On pourra aussi , dans chaque cas, remplacer l’emploi de cette formule par une construction géométrique.

Si c’est AC que l’on demande, on cherchera une moyenne proportionnelle entre les longueurs CP et CP' qui seront connues.

Si c’e.st CP qui est inconnu , il s’agira de le déterminer de manière que le produit des deux segments CP et CF soit équivalent au carré de AC. Ce problème a été résolu au n” 346.

Si c’est PP' que l’on cherche , avec les longueurs données A C et C P, on construira le triangle rectangle

496 SECÜNPE PA-ETIE.

P GA; sur le milieu de son hypothéouse A P on élèvera une perpendiculaire qui repconiréra en O le prolpnge>f ment de PC; la clistance OP sera le rayon de la sphère; la longueur PP,' cherchée sera le double de OP.

Application). X.a forme du segment sphérique est ce^e de» lentilles convergentes, plan^convexes.

64 J. — II. La tranche sphérique. Si l’on coupe unesphère par deux plans parallèles , la portion d’espace comprise entre ces deux plans et la surface sphérique, est - ce qu’on nomme une tranché sphérique (lig. iUl). La portion de la silrface de la sphère qui termine cette tranche est ce qu'on appelle une zone sphérique. Les deux cercles parallèles sont ses bases , et là distàhce des deux bases se nomme la hauteur de la tranche ou de la zone.' ' ' ' ’ ' * i

Si du centre de la sphère on abaisse une perpendiculaire sur les deux bases 'parallèles, cette perpendicuiaii'e passera parleurscentrés; la hauteur de latéanche' est donc la longueur de la droite qui joint ces deux centres. Cette droite est en même temps un axe dé symétrie , et tous les' plans méridiens sont des plans de symétrie. , ' v ; u.t;

Applicatiox. On' fait usage de la considération des zones dans la géographie. I,.a surface globe terrestre est divisée en cinq zones principales . la zone torride , comprise entre les tropiques , et que l’équateur divise en deux parties égales; le» deux zones tempérées , comprises l’une entre le tropique du Cancer et le cercle polaire arctique - l’autre enti'c le tropique du Capricornç et le cercle polaire antarctique;’ enfin les deux zones glaciales, qui ne sont, à bien prendre, que des calottes sphériques sitxiées au delà des cercles polaires. ^

è44. — III. Le coin sphérique. On nommé ain.«ii l’espace compris entre deux demi-méridiens et la surfaeç sphérique (fig. i<42). La portion de la surface .sphér|qué qui le termine se nomme un fuseau sphérique.

Le coin sphérique a deux plan» de symétrie : l’un est le plan méridien qui divise en deux parties égales l’angle

Diqiîized bv CîC:-

r.iioMf'TniK DANS t.’fspaci:. 497

dièdre Ibnné par les deux faces planes du coin; l’autre est le plan de l’cqualeur.

645. — IV. Le cylindre. On nomme ainsi un corps terminé par une surface cylindrique et par deux plans perpendiculaires à Taxe de cette surface (fig. 543). Ces plans, d’après ce que nous avons vu (532, Coroll.), sont des cercles égaux: on les, nomme les bases du cylindre, et la hauteur de ce cylindre est la distance mutuelle de ses bases; cette distance est égale à la portion de l’axe du cylindre comprise entre les deux bases, ou à la portion d’une génératrice quelconque comprise entre ces mêmes bases , car toutes les génératrices leur sont perpendiculaires, puisqu’elles sont parallèles à l’axe.

L’axe du cylindre est un axe de symétrie; tous les plans méridiens sont des plans de symétrie. Il en existe un autre : c’est celui qui est mené par le milieu de l’axe perpendiculai renient à cet axe, c’est-à-dire parallèlement aux deux bases , et à égale distance de chacune d’elles.

646. — Théorème. Deux cylindres sont égaux lorsqu’ils ont même hauteur et que leurs bases ont meme rayon. Car alors ces bases sont égales; et si l’on fait coïncider les bases inférieures', les génératrices qui sont perpendiculaires à la base devenue commune coïncideront deux à deux. Kt comme elles sont toutes égales , puisque les deux cylindres ont même hauteur, leurs extrémités supérieures coïncideront; les bases supérieures se confondront donc en un seid et même cercle, et les deux cylindres <*oïncideront dans toute leur étendue.

647. — Deux cylindre.s sont dits semblables lorsque les rayons de leurs bases sont proportionnels à leurs hauteurs.

Théorème. Les bases de deux cylindres semblables sont entre elles comme les carrés de leurs hauteurs. Car si l’on nomme R et r les rayons des bases, II et h le.s hauteurs , on aura

R : r : : H ; //; d’où R* : : H» : A*;

408 , SECOKPK PARTIE.

oq, eo rpullipliant par ir l^s deux tfrmes prépaie rapport,

ce qui revient à l’énoncé dli théorème , puisque ». R* et »./* mesurent Vairé des bases. ’ " '

^ 648. — Applications. C’est dans un cylindre creu^

3uë se meut le piston (les machines à vapeur. Les meules e njoulin sont' des Cylindres pleins ; il en est de même des assises inférieures d’une colonne*. La plupart des boîtes rondes sont des cylindres; les morceaux de bois .sur lesquels' s’enroulent les pièces de ruban sont aussi des cylindres; il en e.st de même des pions du jeu de darnes, des pièces de monnaie, en faisant abstraction des empreintes;' il en est de même encore des palets et des disques métalli(jues qui composent \ine pilë’tlè îoita. " ’

649. — V. Le cyliruîre tronqué. On nomme ainsj un corps terminé par une surface cylindrique et par deu^ plans, dont l’un seulement est perpendiculaire à Taxe (fig. 544). Il est il remarquer que ce coiqjs a toujours un plan de symétrie (la surface cylindrique çst supposée circulaire droite) ; c’est le plan A B CD qui est mené par l’axe perpendiculairement ^ux deux plans quiterrn'inent le cyhndre.

6.50. — VI. Le cône. On désigne sous ce nom un corps terminé par une surface conique, ét par un plan perpendiciilàlre à son axe (fig. 545). D’après ce que lious aVons vu (5-il) , ce plan est lin cercle; on le nomme base dû cône. Sa hauteur qs,\. la perpendiculaire abaÎAséé de son sommet sur sa base , ou, ce qui revient au même, la portion S O de son axe, comprise entre cette base et le sommet.

La portion SÂ (l’une, génératrice, comprise entre le sommet et la base, se nomme le côté du cône.

L’axe de révolution de la surface conique est Faxe de svmétrie du cône; tous les plans méridiens sont des plans de symétrie.