CHAPITRE V

' Des parallèles. ^

80. — Théouéme. Z)ew.r droites A C, BD (fig. 41 ) perpendiculaires à une troisième AM, ne peuvent se rencontrer quelqiic loin qtèon les prolonge. Car si elles pou- \aient se rencontrer en un certain point, il y aurait de ce point deux perpendiculaires abaissées sur une même droite, ce qui est impossible (66).

Remarque. Deux droites qui ne peuvent se rencontrer quelque loin qu’on les prolonge, sont ce que l’on appelle des droites Le théorème précédent peut donc s’énoncer de cette manière : Deu.T droites pcrpeniliculaires à une troisième sont parallèles entre elles.

81. — Problème. Var un point A (fig. 41 ) donné hors dune droite D F , mener une parallèle à cette droite. Du point A abaissons sur DF la perpendiculaire A B. Au point A élevons A C perpendiculaire à A B, la droite A C sera la parallèle demandée, car AC et DF sont toutes deux perpendiculaires à A B.

Cette construction peut s’exécuter sur le terrain aussi bien que sur le papier. Mais sur le papier on peut opérer plus commodément au moyen de l’équerre. Plaçons l’équerre de manière que l’un des côtés de l’angle di*oit affleure la droite donnée D F (fig. 42), et appliquons une règle contre l’autre côté de l’angle droit. Faisons ensuite glisser l’équeri'e conti’e la règle jusqu’à ce que le côté qui coïncidait avec D F vienne. passer parle point donné A ; puis avec ce côté, coraine règle, tirom la droite

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AC, qui sera la parallèle demandée. On n'aura plus quu la prolonger au besoin.

J.es menuisiers et les charpentiers emploient au même usage riustrument nommé ic , dont nous .avons parlé précédemment (63). Les droites qu'ils tracent à l’aide de cet instrument, étant perpendiculaires au b(U’d de la planche sur laquelle ils opèrent, sont parallèles entre elles.

Applications. L’usage des parallèles est extrêmement fréquent dans les arts : les cadres, les fenêtres, les portes, la plupart des meubles, offrent des lignes parallèles ; le parallélisme des lignes <lans l’architecture est un des principaux éléments de cette régularité qui a tant de <‘harmes pour l’œil. Les allées droites d’un jardin ou d’un parc .sont terminées latéralement par des droites parallèles; il en est de môme des canaux, des rails des chemins de fer, tant qu’ils conservent une direction rectiligne. Les lignes qui forment la portée dans l’écriture musicale sont des droites parallèles; on en remarque également dans les étoffes rayées, dans les dessins de papier de tenture, etc..

Les droites perpendiculaires , et les droites parallèles forment les combinaisons les plus régulières, et par suite, les plus constamment employées, de toutes celles qu’on peut obtenir avec des lignes droites.

82. — Lemmf. I. Si sur l’un des cotés 0\ un angle, droit YOX ((ig. *13), on prend à partir du sommet des longueurs égales O A , A B , B C, CD, etc. , et que par les points A , B , C , D , etc. , on élève des perpendiculaires à OX, Vies bandes ainsi formées serontégalcs ; 2“ quel que soit leur nombre , elles ne couvriinnt jamais l’espace indéfini compris entre les côtés de l’angle droit Y O X.

En effet ; 1° si l’on plie la figure le long de A E, l’angle E .A O étant droit, ain.si que l’angle E AB, la ligne AO viendra se rabattre sur AB, et comme AO est égal à A B, Iç point 0 tombera en B. L'angle AO Y étant droit, ainsi que l’angle ABF, la ligne O Y prendra la direction B F, ainsi les deu.x bandes indéfinies \ O .A E, E A B F coïncideront dans foute leur étendue; donc elles

sont égales. On dénionlrerall de la même manière l’êgalité de toutes les bandes successives.

2“. La droite OX étant indéfinie, quel que soit le nombi*e des band<*s, on pourra toujours en construire une nouvelle à la suite des premières; donc, jamais l’espace indéfini compris entre les côtés de l’angle droit Y O X ne pourra être couvert par ces bandes, quelque larges qu’on les suppose d’ailleurs.

83. — Lemsie il Quelque petit que soit un angle Y 0 A (fig. 44), en l'ajoutant à lui-méme un nombre suffisant de fois, on jyourra toujours couvrir entièremênt l’espace indéfini compris entre les côtés de l’angle droit Y 0 X.

En effet : si, par le |)oinl O, on mène une suite de droites OA , O B, O C, etc., qui fassent entre elles des angles consécutifs AOB, BOC,COD, etc. , égaux entre eux et à l’angle YO A , cet angle se trouvera ainsi ajouté h Itii-méme autant de fois que l’on voudra. IMais quelque petit que .soit Y O A , cet angle est une fraction d’angle droit; donc, en l’ajoutant à lui-même un nombre suffisant de fois, on finira loujoups par atteindre et dépasser l’angle droit Y O X. Alors il ne se trouvera aucun point dans l’angle Y 0 X qui ne soit couvert par l’un des angles YOA, AOB,BOC, etc. Donc l*e.space indéfini compris entre les côtés de l’angle droit sera recouvert entièrement. .

84. — TiiÉonÉME. Si A B (fig. 45) est perpendiculaire « 0 X , et que 0 C soit oblique à O X , /« perpendiculaire et rohlique suffisamment prolongées se rencontreront. En effet, élevons au point 0 la perpendiculaire O D’aprèsle premier lemme la bande Y O A B ajoutée à ellemême autant de fois qu’on le voudra ne couvrira jamais l’espace indéfini compris entre les côtés de l’angle droit Y O X. D’après le second lemme, l’angle Y OC, ajouté à lui-même un nombre suffisant de fois, finira toujours par couvrir ce même espace. Donc l’espace compris entre les côtés de l’angle Y OC est plus grand que l’espace compris par la bande Y OA B. Mais cette conséquence ne pourrait être admise si l’angle Y O C restait toujours contenu dan-! la bande YOAB; il faudra donc qu’il fin i.sso

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par en sortir ; c’esl-h-dire qu’il faudra que 0 C finisse par t’ouper A B. Donc l’oblique cl la perpendiculaire suffisamment prolongées se rencontreront.

85. — TiiÉonÊME. Par un point A (fig. il) extérieur à la droite D F , o/î ne peut lui mener qu'une seule parallèle. Menons A B perpendiculaire à D F, etC E perpendiculaire à A B, la droite C E sera parallèle à D F t80). Or, par le point A on ne peut élever qu’une seule perpendiculaire h A B; toute autre droite que CE, menée par le point A , serait oblique à l’égard de A B ; donc , en vertu du théorème précédent, elle rencontrerait AB, et ne lui serait point parallèle.