AB : AG : : 10 : IH

Mais si l’on imagine des circonférences qui aient pour rayons 1 0 et I H , on aura

1 0 : I H : : cire. 1 0 : cive. I H.

Donc, à cause du rapport commun,

AB : AG : : cire. 10 : cire. IH;

et , en égalant le produit des extrêmes au produit des moyens,

La valeur de S , que nous avons trouvée équivalente au premier membre de cette égalité, équivaut donc aussi au second, et l’on a

c’est-à-dire que la surface latérale d'un cône tronqué a pour mesure le produit de sa hauteur EF par ta circonférence qui a pour rayon la perpendiculaire élevée dans la section méridienne sur le milieu de son côté Jusqu'à la rencontre de son axe- Cette expression nous sera bientôt utile. Remarquons qu’elle s’applique à la surface latérale du cône entier, puisqu’il suffit, dans ce cas, de supposer que la base supérieure se réduit à un point qui est 1e sommet du cône.

Application. Imaginons un bassin circulaire dontda paroi ait un talus , cette paroi formera la surface laté» raie d’un cône tronqué. Suppo.sons que le rayon de la base inférieure soit de 6»“ , celui dé la base supérieure

CÉOMltnifS DANS l'espace. 519

7"< et le côté de m , pour une cause quelconque , ôn avait besoin de connaître la superficie de cette paroi, on pourrait employer la seconde expression

S = A B X cire, I H ;

on aurait alors

cire. X 3 X»*» 13"* X 3, 1416 = 40“, 84; •

donc S = 3“ X 40®, 84 = 122“-^, 52.

677. — Théorème. L'eüre dune calotte sphérique a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence duH grand cercle. Soit A B (fig, 583) la portion du méridien comprise entre l’extrémité A de l’axe O A de de la calotte et le plan qui lui sert de base. Soit O le centre de la sphère. La surface de la calotte peut être considérée comme engendrée par la révolution de l’arc AB autour du rayon AO. Divisons cet arc en parties égales assez petites pour que chacune d’elles puisse être regardée comme sensiblement rectiligne, c’est-a-dire se confonde sensiblement avec sa corde. Des points de division c, d, e, ainsi que dit point B, abais> sons sur l’axe les perpendiculaires c/n, duy ep, B^, puis joignons le centre de la sphère au milieu des arcs Aci edf de, cB par les rayons Oj?, Oy, Oz, 0«; ces rayons seront perpendiculaires sur Ac, cd, de, eB, considérés comme cordes.

La surface de la calotte se compose des diverses poi^ lions de surfaces engendrées par la rotation autour de AO des différents arcs Ac, cd, eB, ou de leurs cor* des , puisqu’elles se confondent avec leurs aècs. Or, dans ce' mouvement de rotation , Taré Ae engendre une surface latérale de cône dont l’aire a pour expressicto Am X circ.Ox. L’arc cd engendre une surface latérale de cône tronque « dont l’aire a pour expression mn X cire. Ojr. Les autres aros iie, eB, engendrent aussi des surfaces latérales de cônes tronqués dont l’aire a pour valeur

np X Otetpq X OU.

620 SE(iOND1î VPA.BTIE.' . . •

La surface de la calotte a donc elle-même i)our valeur Am X 0.r -h mn X firc. np X firc. Oz

Mais les rayons Ox, Oy, Oz, 6 ii élant égaux, l’expression de la surface de la calotte peut s’éci ire :

Am X Ox -i- mn X cire. Ox np X cire. Ox

X cire. Ox, • .

ou {Am + mn-Jt-np -{-pq) X cire. 0.r , ou enfin A <7 X che. Ox.

D’ailleurs les raisonnements'que nous venons de faii*e sont indépendants du nombre des divisions de l’arc AB; ils supposent seulement que chacune de ses parties est assez petite pour se confondre avec sa corde; ils seront d’autant plus rigoureux que le nombre de ces parties sera plus gi*and ; et* rien ri’empêche de supposer ces parties infiniment petites et leur nombre infiniment grand ; or eirc. 0.r est une circonférence de grand cercle; de plus A q reste le même, quel que soit le nombre des divisions de AD ; donc enfin la surface d’une calotte sphérique a pour mesure le produit de sa hauteur Aq par la circonlérencfe d’un grand cercle.

C0ROLI.AIBE 1. Si le point q coïncidait avec le centre ‘de la sphère, l’arc AB serait un quadrans, et la calotte sphérique se changerait en hémisphère, ce qui n’influerait en rien sur la démonstration précédente. Mais alors la hauteur A ne serait autre que le rayon AO de la sphère; l’expression de l’aire de la demi-sphère est donc

I AO X cire. Ox , ou AO X AO,

c’est-à-dire le double de j AO X cire. AO, ou le double ■de l’aire d’un grand cercle.

- Il en résulte que l’aire de la surface sphérique entière équivaut à quatre fois celle d’un grand cercle.

Corollaire II. Le théorème relatif à l’aire d’une calotte sphérique s’étend sans peine à l’aire d’une zone quelconque. •!.><•>, ».

Soit CD EF (fig. 584) la section méridienne d’une zone

Diy' -ibyCoogk

GICOMKTRIE DANS l’eSPACE. 524

dont AB est l’axe; CF et DE les traces de ses bases sur le plan méridien ; la portion wn de l’axe eoinVise entie ces traces sera la hauteur de la zone. La suc/'ace spheri(|ue totale ajant poui- mesure 2AO X e/Vc. A^ ou AB yi cire. AO , et les calottes engendrées |)ar les arcs AC et BD ayant respectivement pour mesure A m X cire. AO et B// X cire. AO , il s’ensuit (lue l’aire de la zone, qui est la différence entre la surface entière de la sphère et celle de ces deux calottes, a pour valeur

A B X cire. AO — Am X cire. AO — B « X cire. A O ,

ou (AB — A/« — B«) X cire. A O, ou mn X ei?r. A O,

c’est-à-dire le produit de sa hauteur par la circonférence d’un grand cercle.

Conoi.r.AinE III. Le même théorème s’applique également a une calotte plus grande que la demi-sphère, à celle qui serait engendrée par l’arc AD par exemple; car cette calotte est la différence entre la surface sphérique entière et la calotte engendrée par l’arc BD - sa valeur est donc ’

A B X cire. A O -- B « X rire. A O ,

ou (AB B«) X C//C, AO, ou enfin Am X ci/v. AO,

cest-à-dire le produit de sa hauteur par la circonfér ence d’un grand cercle.

CoHOLi.Ainu IV. Il suit du corollaire H que sur une même sphère, les zones et les calottes de même hauleur ont même superficie. Ain.si , pour diviser une surface spherique en parties équi\alentes j)ar des plans parallèles, il suffit de diviser son axe en parties égales

^}. par les points de division des plans perpendiculaires à cet axe.

Applicatio.xs. I. Le globe terratre pouvant cire considéré comme une sphère dont le rayon est de 63G‘“>J , «2, on demande d’exprimer en myriamètres carrés la \ur- J ace de la terre.

L’aire d’une sphère dont le rayon est B a pour expres.sion 4 ^ B* ; la valeur de l’aire demandée est donc

En effectuant le calcul , on tmiive pour ivsullat 5092962 et une fraction qu’il convient de négliger.

II. La hauteur de la zone torride , c’est-à-dire^ la distance entre les plans des tropiques, est d" environ 507 myriaw êtres ; quelle est la surface de cette zone eh rnyriamètres carrés ?

Pour obtenir la surface demandée, il faut multiplier le rayon de la sphère, 636'“y^ ,62 par 2 et par et multiplier ensuite le résultat par la hauteur donnée 507'"y. En effectuant le calcul , on obtient pour produit 2028000

III. La hauteur de la calotte sphérique qui forme chaque zone glaciale est tV environ 52"'y,65; on demande la superficie de cette zone? Pour l’obtenir, il faut encore multiplier le rayon par 2 et par et le produit par la hauteur donnée 25*“y‘',65. On trouve pour résultat 210600“‘y .

On voit que cette surface n’est qu’un peu plus du dixième de celle de la zone torride ; en sorte que, celleci est près de cinq fois plus grande que les deux zones glaciales réunies.

On peut remarquer encore qu'en réunissant la zone torride aux deux zones glaciales , on obtient une superficie de 2449200“y®-® , c’est-à-dire un peu moins de la moitié delà .surface totale du globe; en sorte que les deux zones tempérées en occupent un peu plus de la moitié.

IV. Problème. Quel rayon faut-il donner h une sphère pour que l’aire de sa surface soit équivalente a 1 mètre carré ? L’aire de la sphère étant équivalente à quatre grands cercles , l’aire de chacun de ces cercles doit valoir le quart d’un mètre carré , ou 25 déc. carrés. Or l’aire d’un cercle a pour mesure le produit du carré de son ra}'on par le rapport si donc on divise 23*®-® par on aura pour quotient le carré du rayon cherché. On trouve ainsi 7‘*®®,9577; le rayon demandé est la racine carrée de ce nombre, c’est-à-dire 2<**,82, ou 0“,282.

OÉOMJÉTRIE DANS l’eSPACE. 523

678. — Théorème. L'aire d’un fuseau sphérique est à celle de la sphère comme l’angle des méridiens qui comprennent le fuseau est h quatre angles tlroits. Il est d’abord évident que sur une même sphère deux fuseaux sont égaux quand les plans méridiens qui les comprennent forment entre eux des angles égaux. Celte proposition admise, on peut employer une démonstration tout à fait analogue à celle qui a été employée aux numéros 41 et 436.

CoRoi.LAiRE. Le fuseau dont l’angle dièdre est droit , et que l’on nomme pour cette raison fuseau droit, est le quart de la surface sphérique; il équivaut, per conséquent, à un grand cercle.

Remarques. I. On peut prendre le fuseau droit pour unité de fuseau, comme on prend l’angle droit pour unité d’angle et le quadrans pour unité d’arc. A l’aide de celte convention, l’aire du fuseau a pour mesure la valeur même de son angle dièdre.

11. Tout fuseau A N BN (fig. 470) est coupé par l’équateur en deux triangles sphériques, AM N et BMN, qui sont isocèles, hirectanglcs et égaux. Quand le fuseau est droit, ces deux triangles ont un angle droit de pins, et sont trirectangles. L’aire d’un triangle trirectangle étant évidemment la moitié de celle du fuseau droit, est la huitième partie de l’aire de la sphère.

679. — Théorème. L’aire d’un triangle sphérique a pour mesure l’excès de la demi-somme de ses angles sur un angle droit (en prenant le fuseau droit pour unité de superficie, et l’angle droit pour unité d’angle).

I. Supposons d’abord que le triangle soit isocèle. Soit ABC (fig. 585) ce triangle, dans leijuel les côtés AB et AD sont égaux. Achevons le grand cercle 'RD.bd; prolongeons également les côtés AB et AD au-dessus et au-dessous du plan BD bd; ils rencontreront ce plan en b et en d, et se rencontreront eux-mêmes en a audessous de ce plan.

Deux grands cerclesse coupent toujours mutuellement en deux parties égales (555); il suit de là que BD 6 est une demi-circonférence, ainsi que D bd; on a donc

en retranchant la partie *commiîne

I><&, il reste BD=

i On a de même DA<"/=AD<7, et,’ en retranchant la partie commnne AD, il reste A<^/=D«. ‘

De même encore on a B A^== A B/ï, et, en retranchant la partie commune A B , i I reste A 6 = B a. y

t Les deux triangles A A^/et'/rBD ont donc leurs trois côtés égaux chacun à chacun. D’ailleurs ces triangles sont isocèles; car B Aè et DA fl étant des demi -circonférences-, et AB et AD étant égaux par supposition, il en résulte A^/=Aô et, par suite, rtD=<iB. Les triangles Aô/£*etoB Dsont donc égaux et superposables, car leurs parties égales sont disposées dans le môme ordre, puis- - qu'ils sont isocèles.

1 11 en résulte que la somme des triangles ABD et A hd «quivaut à la somme des triangles A BD et a BD, c’est-àdire au fuseau ABaDA , lequel a pour mesure l’angle A du triangle proposé. • ’ '

-mLc fuseau B a 6DB a pour mesure l’angle B du triangle «proposé; le fuseau D A <^BD a pour mesure l’angle D de «e triangle. Si l’on fait la somme de ces trois fuseaux , elle aura pourmesure A-4-B-f-D. Maisla somme de ces trois fuseaux, c’est-à-dire la somme des deux triangles ABD et A bd, plus les deux fu.seaux B AôDB et DArfBD, forme l’hémisphère supérieur au plan B D hd, plus deux fois le triangle A B D. En désignant ce triangle par T, et en remarquant qu’en prenant- le fuseau droit pour unité, l’aire de l’hémisphère est représentée par 2, on aura :

-.1 iX -l,> -iMlll

d’où • 2T==(A-^B-|-D)— 2,

et . ; • t=-;(a+b+D)'-i,

ce qui revient à l’énoncé du théorème.

‘ ■ f ( 'if A - 4i-(!î I-

II. Supposons en second lieu que le triangle proposé .soit quelconque. Soit ABD (fig. .OSt») ce triangle , et O lé pôle du petit cercle dont la cirooiiféi’ence passe par les trois points A , B ,* D: Le pôle d’un cercleétant également 'distant de tous les points de -.sa circonférence , si l’on

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GÉOmiTBlf; DANS l’espace.

joint le point O aux points A, B, D, par des arcs de grand cercle, ces arcs seront t%aux , comme étant sous-tendus par des cordes égales, elles triangles AOB,BOD, AOD seront isocèles. D’après la première partie de la démonstration, on aura donc : ’

. Triangle AOB=^ (AOB-hBAO-l-ABO) — 1 M Triangle BOD=^BOD+BDO-|-DBO)— 1 • Triangle AOD=’ (A0D + AD0+DA0)—1.

I Si l’on ajoute ces égalités membre à membre ,en observant: Tque les angles AO B-hBOD-hAOD formeni en somme 4j angles droits, puisque ce, sont des angles dièdres formés, autour d’une même droite, savmr le rayon de la sphère qui aboutit au point O; 2“ que l’on æ

BAO-t-DAO = BAD; ABO-hDBO=ABD,

, . etADO-hBDO=^ADB^ , .

il viendra : ’• ' - . ' ' ■ '

' Triangle AB D = i (B AD+-ÀBD-f- ADB + 4) — 3 , ^ bu' ■ triangle ABD =^(BAD4-ABD-(-ADB)— 1, ^

ce qui revient encore à l’énoncé du théorème. •‘'-

• III. Le pôle O (fig. 587) peut tomber hors du trianglë proposé ; les triangles AOB,BOD,AOD n’en sont pas moins isocèles , et l’on a , comme ci-dessus : !

Triangle AOB = i (AOB + BAO+ ABO) — 1 >

TriangleBOD=5 (BOD-f-BDO+DBO) -- 1 Triangle AOD= i (AOD-hADO-hD AO) — 1 '

Ajoutons les deux dernières égalités membre à membre, et retranchons-en la première, en observant qu’on a

■ BOd4-AOD=AOB; ADO-hBDO = ÂDB;

-•* DBO— ABO=»ABD,etDAO-^BAO=BADi‘ j

5SC • ' tSCONDB PARTIE.

U Tiendra :

Tr.BOD+tr.AOD— tr.A0B^i(ADB-f-ABD+BAD3

ou triangle ABD = j(ADB + ABD4-BAD) — |. ^

Ainsi le théorème est général.

Corollaire. Il suit de ce théorème que deux triangles sphériques symétriques sont équiTaients en surface; car leurs angles étant les mêmes , ces triangles on^ If même mesure.

Aemargue. Il nefaut pas pei*dredeTue que f évaluation de Faire d’un triangle sphérique exige l'emploi de deux unités, le fuseau droit et l’angle droit; et le théorème que nous venons de démontrer signifîe, à proprement parler, que Vaire d’un tritingie sphérique est à celte du fuseau droit comme t excès de la demi-somme de ses angles sur un angle droit est à un angle droit.

Applications. Sur une sphère dont fe rayon a 3 décime très , quelle est la superficie d^un triangle sphèrft que dont les angles ont pour valeurs respectives 162“ 17', 49*65' et 31* 28' P

Calculons d’abord la superficie du fuseau droi^, ou^ ce qui revient au même, Faire d’un grand cercle : cette aire a pour valeur ^ X (8^ )* ou 28^ «=,28. La somme des angles donnés est de 243“ 4P', dont la moitié est 121“ 60'. Si l’on retranche un angle droit , ou 90”, il reste 31° 60', qui équivalent à 1910’. L’angle droit équivaut d’ailleurs à 6400' : en désignant par x la superficie cherchée, on a donc :

d’où

54oo - •

et une fraction négligeable.

680. — Pour évaluer l’qire d’une surface de révolution quelconque , la méthode générale consiste à partager la génératrice en arcs as^z petits pour qu’ils puissent, sans erreur sensible , être confondus avec leurs cordes , et à déterminer sépamment Faire de la portion de sur-

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GKOMKTRIE DAÎfS l’eSPACE. 527

face conique engendrée par chacune de ces cordes dans sa révolution autour de Taxe. La somme de ces surfaces coniques forme la surface pro|)osée.

On démontrerait sans peine que la portion d^ine surface de révolution comprise entre deux plans méridiens est proportionnelle à l’angle dièdre que forment ces plans méridiens.

G8I. — S’il s’agit de toute autre surface que d’une surface de révolution, on la divise en parties assez petites pour que chacune d’elles puisse être considérée comme plane; l’aire de chacune de ces portions s’évalue alors comme celle d’un polygone, et la somme de ces aires partielles forme celle de la surface proposée.

Ordinairement, pour opérer cette décomposition, on coupe la surface donnée par deux systèmes de plans qui ont des directions perpendiculaires (fig. .*>88). Chacune des portions de surface ainsi obtenues forme alors un petit quadrilatère curviligne que l’on peut, à cause de sa petitesse, et parce que sa snrtace est sensiblement plane, assimiler à un parallélogramme; son aire s’évalue donc sans aucune difficulté, et la somme des aires de tous les quadrilatères analogues donne l’aire de la surface proposée avec une approximation d’autant plus grande que les sectionssont j)lus rapprochées.

11 est commode, dans la pratique, de prendre les deux systèmes de plans verticaux, l’intersection de chaque plan vertical avec la surface proposée pouvant s’obtenir aisément.

En effet, supposons que cette surface soit celle du terrain, ce qui arriverait, si, au lieu de la base productive , on voulait déterminer sa superficie réelle , chaque .section verticale s’y tracera au moyen d’une ligne jalonnée; car la ligne formée par les pieds des jalons n’est autre que l’intersection de la surface du sol avec le plan vertical dans letpiel tous les jalons sont contenus.

Si la surface proposée est de moindre dimension, on la placera entre deux fils verticaux , et en mettant l'œil tour à tour derrière chacun de ces fils, de façon à ce qu'il cache l’autre; tous les points de la surface qui se

Irouyeroot en même temps cachés par ce fil appartiendront à rinlcrseclion de celle surface avec le plan verlical délermiiic par les deux fils; celle inlerseclion

pourra donc sans peine être tracée sur la surface.