CHAPITRE VIII

. • ; Comparaison de la surface des corps. , •

C82. — Tuéobémk. i.e.y aires des surfaces totales tic deux polyèdres semblables sont entre elles comme les carrés tic deux arêtes homologues quelconques. En effet , soit S la surface totale d’un polyèdre; soient M, N, P, etc., les aires des diverses faces qui la composent ; A, B, C,elc. , des arêtes quelconques appartenant respectivement à chacune de ces faces; soient m, «,/?,etc.,a, 6, c-, etc., les parties homologues d’un second polyèdre semblable au premier.

. Deux polyèdres semblables, ayant leurs faces homo.^ loguos semblables chacune à cliacune, et les aires de deux polygones semblables étant entre elles connue les carrés de leurs arêtes homologues , ou aura :

M : w: : A® : a*; N : /I ; : B* : i»*; P : /? : ; C* : f etc. (I) D’ailleurs, puisque le.s polyèdres sont semblables, leurs arêtes homologues sont proportionnelles, et l’on a : ,

A : rt : : B : 6 : : C : c : : etc., d’oii A* : ; B» : />* : : C* : c* : : etc. (2).

En vertu des premières proportions, on aura donc : 31 :///:: K : « : ; P : : etc.,

d’où 31 4- N -h P -h etc. : m-h^+p+etc. 31: w,

bu S : V : ; 31 : n.

‘ En ayant égard h la proportion (I), on peut donc écrire :

et , à cause de la suite de raj)poiTs égaux (2), on aura • . ; . S: s:.: :: C* : f* : : etc. -

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. 529

Corollaire I. Les diagonales homologues étant entre elles comme deux arêtes homologues quelconques, il en résulte que les surfaces totales de deux polyèdres semblables sont entre elles comme les carrés de deux diagonales homologues quelconques , Q\x en ^éné\'d\ , comme les carrés de deux lignes homologues quelconq'ues.

Corollaire II. Un corps quelconque, terminé par une ou plusieurs surfaces courbes , pouvant être considéré comme un polj'èdre dont les faces sont infiniment petites, il en résulte que deux corps semblables quelconques pourraient être regardés comme deux polyèdres stmi^lables. Ainsi le théorème précédent pourrait leur appliqué. ,

Application. Supposons que l’on ait exécuté en petit le modèle d’un bâtiment, d’une machine, ou d’une construction quelconque, à l’échelle d’un centimètre par mètre par exemple; les lignes homologues seront entre elles Comme 1 esta 100. La surface totale du modèie sera donc à celle de la copie comme le carré de 1 est au carré de 100, ou comme 1 est à 10000. Ainsi , pour obtenir la surface totale de ce bâtiment, ou de cette construction, il suffirait de mesurer celle du modèle, et de multiplier le résultat par 10000.

688. — Théorème. Les surfaces latérales de deux cylindres semblables sont entre elles comme les carrés de leurs hauteurs, ou comme les carrés des rayons de leurs botes. Cette proposition pourrait se déduire de celle qui précède, d’après l’observation faite au corollaire II; mais elle se démontre directement d’une manière trèssimple. ' . ,

Appelons Sla surface latérale d’un cylindre, H sa hauteur, R le rayon de sa base, s, r, les parties homologues d’un second cylindre semblable au premier. On aura: , ' •

S — 2-;rR X H ; x = 2 wr X Cl l’on en déduira la proportion identique S; J :: 2«R X H î5»rX

OU en divisant par 2 w les deux ternies du second rapport

Mais puiscjuc les cylindres sont semblables, on a (647)

on a d’ailleurs la proportion identique

multipliant terme à terme les deux proportions (2) et (3),

il vient ,

Les proportions (1) et (4) ayant uti rapport commun, les deux autres rapports forment une proportion , et il vient

Maintenant, la proportion (2) donne

et, à cause du rapport commun aux deux proportions

(5) et (6), on peut écrire

Coroixaihe. Si l’on appelle B et 6 les aires des bases des deux cylindres , on aura B = -jt R* et — --r d ou

.A cause du rapport commun aux deux proporUons (7) et (8) on peut écrire

c’est-à-dire que les aires des surfaces latérales de deux cylindres semblables sont entre elles comme les aires de

leurs basés. „

Application. Supposons qu’il entre 20 feuilles de tôle

dans la construction d’un cylindre creux de 4'“ de hauteur et que l’on veuille savoir combien il en entreiait dans’un cylindre semblable de 3*“ de hauteur. Les quantités de tôle emplovéï's pouvant être regardées comme ju’oportioiinellcs aux surfaces des cylindres, et, par con-

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. 531

séqiient, aux can’és de leurs hauteurs, en nommantarla quaiitild chercluîe, on devra avoir

JT : 20 : : (3)* : (4)*, QU x : 20 : : 9:16, d’où .r = — =11 î. 11 faudra donc 11 feuilles et un

ifa <

quart.

684. — TintonËME. Les aires des surfaces latérales de deux cônes semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés, ou comme les carrés des rayons de leurs bases , on comme les carrés de leurs hauteurs. Cette proposition se démontre de la même manière que la précédente.

Corollaire. On en déduit, comme nous l’avons fait pour le théorème précédent, que les aires des surf aces latérales de deux cônes semblables sont entre elles comme les aires de leurs bases.

Application. Supposons qu’on ait employé 4500 ardoises’pour former la couverture d’un toit conique de 9“ de diamètre à la base , et qu’on veuille savoir combien il en faudrait pour former la couverture d’un toit semblable ayant 6"' de diamètre à la base. Les quantités d’ardoises employées pouvant être considérées comme proportionnelles aux surfaces latérales des deux cônes, et, par conséquent , aux carrés des rayons ou des diamètres de leurs bases, en nommant x la quantité cherchée, on devra avoir

x: 4500 : : (6)* ; (9)*, ou .r: 4500 : : 36 : 81 , ou .r : 4500 : : 4 ; 9 , d’où x = == 2000.

685. — Nous avons vu (677, Coroll. I) que l’aire d’une sphère dont le rayon est R a pour expression 4‘n-Rs, ou ce qui revient au même , 2 -tt R X 2 R. Cotte aire équivaut donc à celle de la surface latérale d’un cylindre dont la base aurait pour rayon R et dont la hauteur serait 2R , c’est-à-dire <iui aurait pour base un grand cercle de la •sphère et pour hauteur le diamètre de celte sphère. Ce cylindre est précisément celui qu’on pourrait c/rconserire à la sphère, e’est-à-dire dans lequel la sphère

pourrait être placée de manière à être tangente à la surface cylindrique par son équateur, et aux bases planes du cylindre par ses pôles. La figure 589 rend compte de cette disposition.

686. — Théorème. Les aires des surfaces de deux sphères sont entre elles comme les carrés de leurs rayons , ou de leurs diamètres. Soient , en effet , S et j les aires des surfaces de deux sphères, R et / leurs rayons, D et d leurs diamètres; on aura

S = 4‘n'R*etJ = 4ir/*, d’où S : j :: 4«R* ;4 »/*, et en divisant ces deux termes du second rapport par 4«,

D’ailleurs on a R : r : : D : d’où R* : r* ; : D* : d*.

Donc S : J : : D* : r/*.

Application. On a employé 35 feuilles dor battu pour dorer une boule (sphérique) de 3 décimètres de rayon; combien en faudrait -il pour dorer une boule dont le rayon aurait 3 décimètres ? Les quantités de matière employée pouvant être considérées comme proportionnelles aux surfaces des sphères, et par conséquent aux carrés de leui's rayons, en nommant x la quantité cherchée , on devra avoir

X : 35 :: (3)*: (2)*, ou .r : 35 : : 9 : 4 , d’où X— — ^ = 78 Il faudrait donc 79 feuilles.

687. — Deux calottes sphériques sont semblables quand leurs hauteurs sont proportionnelles aux rayons des sphères auxquelles elles appartiennent. A l’aide d’une démonstration analogue à celle du n° 683, on ferait voir que les aires de deux calottes sphériques semblables sont entre elles comme les carrés de leurs hauteurs , ou comme les carrés des rayons des sphères auxquelles elles appartiennent.

On nomme zones semblables celles qui sont la différence de calottes sphériques semblables. On démontrerait de même que leurs aires sont entre elles comme

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les carrés <le leurs hauteurs ou comme les carrés des rayons des splières auxquelles elles appartiennent.

On ferait \oir encore de la même manière que les aires de deux calottes sphériques semblables sont entre elles comme les aires des cercles qui leur serventde hase. La même proportionnalité a lieu pour les zones semblables.

G88. — Sur deux sphères de rayons différents, deux fuseaux sont semblables lorsqu’ils ont un môme angle dièdre. Chacun d’eux est alors une même fraction du fuseau droit (078) ou de l’aire d’un grand cercle ; d’ailleurs les aires des cercles sont entre elles comme les carrés de leurs rayons : par conséquent , les aires de deux fuseaux semblables sont entre elles comme les carrés des rayons des sphères auxquelles ils appartiennent.

Sur deux sphèi-es inégales , deux triangles sphériques qui ont les mêmes angles, disposés dans le même ordre, ne sont plus égaux, mais semblables. Chacun d’eux est alors une même fraction du fuseau droit correspondant (079); ainsi en répétant les raisonnements cidessus, on voit que les ahes de deux triangles sphériques semblables sont entre elles comme les carrés des rayons des sphères auxquelles ils appartiennent.