CHAPITRE IX

/ • • • De lo mesure des volumes.

, 689. — Mesurer le volume d’un corps, c’est le com-

parer à un autre volume qui est pris pour unité. On choisit pour unité de volume celui d’un cube auquel on donne pour arête l’unité de longueur. Si, par exemple, l’unité de longueur est le mètre, l’unité de volume est un cube qui a pour arête un mètre, et qu’on appelle mètre cube. Si l’unité de longueur est la toise, l’unité de volume est un cube qui a pour arête une toise, et .qu’on appelle /o/.vc c« 6e; et ainsi de suite. En admet- ■taot, par exemple, que mh (fîg. 690) soit un cube dont

l’arêle ah ail Tunilé de longueur, mesurer le volume d’un parallélépipède rectangle MB, c’est chercher combien de fois il contient le volume du cube mh.

On va voir que l'évaluation des volumes se ramène toujours à de simples mesures de longueur.

090. — Théorème. Le volume iVun parallélépipède rectangle a pour mesure le produit des trois arêtes qui aboutissent a un même sommet. Soit MB (fig. 590) le parallélépipède rectangle proposé. L’énoncé qui précède signifie que, pour obtenir le nombre d’unités de volume contenues dans ce parallélépipède, il faut chercher le nombre d'unités de longueur contenues dans les trois arêtes AB, A G , A D , qui aboutissent à un même sommet A, et faire le produit de ces trois nombres.

En effet : supposons , pour fixer les idées, que l’arête AB contienne 4 fois l’unité de longueur ah ,e\ que les arêtes AC et AD la contiennent respectivement 5 fois et 7 fois. Divisons AB en 4 parties égales, et par tous les points de division menons des plans perpendiculaires à A B ; divisons A C en 5 parties égales , et par tous les points de division menons des plans perpendiculaires à A C ; enfin divisons A D en 7 parties égales, et par toüs les points de division menons des plans perpendiculaires à A D; le parallélépipède BM se trouvera ainsi divisé en petits parallélépipèdes rectangles, qui auront tous pour hauteur, pour largeur et pour épaisseur l’unité de longeur ah-, car deux plans perpendiculaires à une môme droite sont parallèles entre eux, et deux plans parallèles sont partout également distants. Ces petits parallélépipèdes rectangles seront donc des cubes, ayant pour arête l’unité de longueur, c’est-à-dire que ce seront autant d’unités de volume; il ne reste donc plus qu’à déterminer leur nombre.

Or, le long de l’arête AB, on peut compter autant de ces petits cubes qu’il y a d’unités de longueur dans AB, c’est-à-dire 4; ces 4 petits cubes forment une sorte de colonne posée horizontalement. Le long de l’arête AD, on peut compter autant de ces colonnes qu’il y a d’unités dans .V D ♦ c’est-à-dire 7; et ces 7 colonnes for-

G^OMIÊTRTE DANS l’eSPACE. 535

ment une sorte de tranche horizontale. £nün, le long de l’arête AC on peut compter autant de ces tranches qu’il y a d’unités dans AC , c’est-à-dire 5 , et ces 5 ti’anches composent le parallélépipède proposé. Le nombre total des petits cubes est donc le produit des nombres 4,7 et 6, c’est-à-dire 140; le parallélépipède proposé contient donc 140 unités de volume.

Les raisonnements que nous venons de faire sont tout à fait indépendants du nombre d’unités de longueur contenues dans les trois arêtes AB, AC et AD. Si l’unité de longueur n’était pas contenue un nombre exact de fois dans les trois arêtes, il faudrait recourir à une unité de longueur plus petite, et, par conséquent, aussi à une unité de volume plus petite, jusqu’à ce qu’on parvint à une unité qui pût être contenue un nombre exact de fois dans ces arêtes, ce qui finira toujours par arriver dans la pratique, parce qu’en prenant une unité suffisamment petite, les restes, s’il y en a , finiront toujours par devenir inappréciables.

ConoLLAiRE. Dans le cas où le parallélépipède rectangle proposé est un cube, les trois arêtes qui aboutissent à un même sommet sont égales , et pour obtenir le nombre d’unités de volume contenues dans ce cube, il suffit de chercher le nombre d’uniUis de longueur contenues dans l’une de ces arêtes , et de former un produit où ce nombre entre trois fols comme facteur. Si, par exemple^ Karôte du cube proposé contient 2 unités de longueur, ce cube contiendra 2 X 2 X 2, ou 8 unités de volume. Si l’arête du cube contient 3 unités de longueur, le cube contiendra 3X3X3, ou 27 unités de volume ; et ains i de suite.

C’est pour cela que l’on donne, en Arithmétique, le nom de cube à un produit de trois facteurs égaux.

091. — Cette observation nous permet de faire comprendre comment se subdivisent les unités de volume.

Un centimètre valant 10 millimètres , un centimètre cube vaut 10 X fO X fO, ou 1000 millimètres cubes.

Un décimètre valant 10 cenlimèlres, un décimètre cube vaut 10 X 10 X 10, ou 1000 centimètres cubes.

Un métro valant 10 centimètres, un métré cube vaut 1000 décimètres cubes.

- Un décamètre valant 10 mètres , un décamètre cube 'vaut 1000 mètres cubes ; et ainsi de suite.

Dans le système métrique, les différentes unités de volume se convertissent sans calcul les unes dans les autres ; il suffit, pour opérer cette conversion, d’un simple transport de virgule. Ainsi I3'n <^, 0&73I9 reviennent à 13057**“ ™*’, 319 ou à 13057319*»'“ ®“*’.

Rappelons que lorsqu’il s’agit de la mesure du bois de chauffage , le mètre cube prend le nom de stère ; et que, •pour les mesures de capacité , le décimètre cube prend le nom de litre.

692. — Un pouce valant 12 lignes , un pouce cube vaut 12 X 12 X 12, ou 1728 lignes cubes.

Un pied valant 12 pouces , un pied cube vaut 12 X 12 X 12, ou 1728 pouces cubes.

Une toise valante pieds, une toise cube vaut 6X9X6, ou 21 G pieds cubes.

Pour convertir en pieds cubes un nombre donné de toises cubes, on voit qu'il faut le multiplier par 216; pour convertir en pouces cubes un nombre donné de . pieds cubes, il faut le mnlliplier par 1728; et pour convertir en lignes cubes un nombre donné de pouces cubes, il faut encore le multiplier par 1728. Réciproquement, pour extraire d’un nombre donné de lignes cubes 'les pouces cubes qui y sont contenus, il faut le diviser ^’par 1728; le quotient donne les pouces cubes , et le reste .exprime des lignes cubes. Pour extraire d’un nombre ^ donné de pouces cubes les pieds cubes qui y sont contenus , il faut encore le diviser par 1728 ; le quotient donne . les pieds cubes, et le reste exprime des pouces cubes. Enfin, pour extraire d’un nombre donné de pieds cubes .les toises cubes qui y sont contenues , il faut le diviser par 216; le quotient donne les toises cubes, et le reste exprime des pieds cubes.

Ainsi 9580703074 lignes cubes reviennent à

55449G7p ®“*' 98* *■“•’, ou à 3208*’ ™*’ 1543i> ®*''’ 98' ®“*’, du enfin à I4r.n,b i84i*.cub I3j3i> cub ggi.iub.

GJéOMiTRIE DANS l’eSPACE. 557

C93. — Applications. — Problème I. Quel est levolume d'air contenu dans une salle rectangulaire qui a 10“,42 de longueur sur 7‘",5l de largeur et 3®, 85 de hauteur. Les trois dimensions données peuvent s’exprimer par 1042“'",751 et 885““‘ ; le volume cherché équivaut donc à 1042 X 751 X 385, ou 301278670 centimètres ' cubes. Pour obtenir les décimètres cubes contenus, il faut diviser ce nombre par 1000; le volume demandé revient donc à 301278^^-'“** 670<=«“C®“'>. Pour obtenir les mètres cubes contenus dans les 301278‘*^-'“**, il faut encore diviser ce nombre par ICOO; le volume cherché est donc enfin de 301 ‘“-cub 278'* ‘=“*> 670«‘«‘

Problème II. IJn bloc de marbre dont la forme est celle d’un parallélépipède rectangle a IT- 7P- de longueur sur 5P- llr- de largeur et 4i‘- 6p> d'épaisseur , quel est son volume? Les trois dimensions données reviennent à 115 pouces, 71 pouces et .54 pouces; le volume du bloc de marbre équivaut donc à 115 X 71 X 54 ou, 440910P-«®b. Divisons par 1728 pour avoir les pieds cubes contenns, nous obtiendrons 2.55P-c“b et 270p-'“'». Divisons les 255P-«“b par 216 pour avoir les toises cubes, nous obtiendrons définitivement iT.cqb agpcub 270p=ub.

Problème III. XJne pile de bois a 13"‘,4 de longueur^

5® de largeur et de hauteur, on demande d'évaluer en stères la quantité de bois qu’elle contient? La forme que l’on donne aux piles de bois dans les chantiers est celle d’un parallélépipède rectangle. Les trois dimensions de celui que nous avons à considérer reviennent à 134<*«-, 50déc. et 72^^-; son volume équivaut donc à 134 X 50 X 72 , ou 482400‘J~ «®b ; ce qui revient k 482® tub ^400, et par conséquent à 482 stères et 4 décistères.

Problème IV. Un bassin rectangulaire qui a 6®,4 de longueur, 3®, 5 de largeur et 2®, 7 de profondeur, est rempli aux deux tiers de sa hauteur ; combien d'hectolitres d'eau contient-il ?'Ve&\x contenue dans le bassin forme un parallélépipède rectangle dont les arêles ont respec* tivement 64‘>^-, 35‘><^* et (puisque 18 est les deux tiers de 27). Le volume de ce parallélépipède est donc de 64 X 35 X 18, ou 40320 décimètres cubes, c’est-à-d ire

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40320 litres. Pour avoir le nombre d’hectolitres contenm, il faut diviser ce nombre par 100 ; la quantité d’eau cherchée est donc de 403**®®* 20*'*®««.

694. — I.e produit des deux arêtes AB et AD du parallélépipède MB (fig. 590) exprime l’aire de sa base supérieure BD, puisque* cette base est un rectangle. D’ailleurs, la ba.se supérieure est égale à la base inférieure (614). On voit donc que, pour obtenir le volume d’un parallélépipède, on n’a qu’à multiplier l’aire de sa base par sa hauteur, c’est-à-dire le nombre d’unités d’aire contenues dans la base par le nombre d’unités de longueur contenues dans la hauteur; ce qu’on exprime en disant que le volume d’un parallélépipède rectangle a pour mesure le produit de sa hase par sa hauteur.

Application. Si l’on sait, par exemple, que la base d’un parallélépipède rectangle contient 28 mètres carrés , et que sa hauteur est de 6 mètres , on en conciliera que son volume équivaut à 28 X Sou 140 mètres cubes.

CoBOLLAiHE.ZIci/x parallélépipèdes rectangles, qui ont des bases équivalentes et meme hauteur, sont équivalents en volume; car la mesure de leur volume est la même.

695. — Lemme. Deux parallélépipèdes de meme base et de, même hauteur sont équivalents. Soient, en effet , AG et MS (fig. 591) deux parallélépipèdes dont les bases ABC D et MN OP sont égales, et qui ont même hauteur^ Si leurs bases inférieures sont supposées placées sur un même plan horizontal, leurs bases supérieures seront aussi dans un même plan horizontal, puisqu’ils ont même hauteur. Divisons cette hauteur en un certain nombre de parties égales , et par tous les points de division menons des plans horizontaux , qui coupent à la fois les deux parallélépipèdes. Ils se trouveront décomposés tous deux en un même nombre de tranches de même hauteur. Considérons deux tranches correspondantes , c'est-à-dire comprises entre les mêmes plans horizontaux', ag&\. ms par exemple. La base abcd de l’une est égale à ABCD, en vertu du théorème du n“ Gll; la ba.se mnop de l’autre est égale à M N O P pai* la même raison; ces deux bases et mnop sont donc égales.

Digiiizr by

ClîOJUÉTRiK ÜAJVS L ESP ACE. 539

Or, comme le nombre des tranches est tout à lait arbitraire, on peut toujours le supposer assez grand pour que la hauteur de chaque tranche soit aussi petite que l’on voudra. Plus cette hauteur sera petite, et plus les différences de forme qui existent entre les ti*anches correspondantes «^et m.s tendront à devenir inapprccial)les;et si l’on .suppose cette hauteur infiniment |>etitc, les deux tranches infiniment minces ag* et ms pourront être considérées comme rigoureusement égales, puisque leurs bases sont égales. Les deux parallélépipèdes \G et ^£S peuvent donc être regardés comme composés d’un même nombre de tranches infiniment minces, égales chacune à chacune ; les volumes de ces deux parallélépipèdes sont donc équivalents.

Corollaire I. Tout parallélépipède oblique MS peut être changé en un parallélépipède droit A G équivalen t qui ait une base égale et meme hauteur.

Corollaire II. Tout parallélépipède rf/oiYAG (fig. 592) peut être changé en un parallélépipède rectangle équivalcnt,qui ait une base équivalentCy et même hauteur. Prolongeons, en effet, les droites AB et DC; prenons sur le prolongement de AB une longueur MN égale à AB; par les points M et N menons MP et IN' O perpendiculaires à M N ; le rectangle MN 0 P et le parallélogramme A B C D seront équivalents, comme ayant même base et même hauteur. Sur le rectangle M N 0 P construisons le parallélépipède rectangle MS, dont la hauteur MQ soit égale à la hauteur A£ du parallélépipède droit proposé, .le dis que AG et MS seront équivalents. En effet, les rectangles ABFE et MNRQ, qui ont même base et même hauteur, sont égaux. Les plans de ces rectangles étant tous deux perpendicaires au plan ANOD, puisque les parallélépipèdes sont droits , se confondent en un même plan; il en est de même des plansDCGH etPOST. La distance des faces AF et DG est donc celle des faces MR et PS. Par conséquent, si l’on renversait les deux parallélépipèdes, l’un sur la face AF, l’autre sur la face M R, ils auraient même base et même hauteur. Eu vertu du lemme qui précède , ils sont donc équivalents. ,*

696. — Théouéme. Le volume (Fitn parallélépipède quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Ceténoncé signifie que pom* obtenir le nombre d’unités devolume contenues dansun parallélépipède quelconque, il faut chercher le nombre d’unités d’aire contenues dans sa base, le nombre d’unités de longueur contenues dùnssa hauteur, et multiplier ces deux nombres l’un par l’autre.

En effet , d’après le premier corollaire du lemme précédent, un parallélépipède quelconque peut être changé en un parallélépipède droit équivalent, qui ait même base et même hauteur ; d’après le second corollaire , un parallélépipède droit peut être changé en un parallélépipède rectangle équivalent, qui ait une base équivalente et même hauteur; il en résulte qu'un parallélépipède quelconque peut être changé en un parallélépipède rectangle équivalent , qui ait une base équivalente et même hauteur. Soit B cette base et H cette hauteur, le volume du parallélépipède rectangle aura pour expression B X H (694); cette expression sera donc aussi celle du parallélépipède proposé. Or B équivaut à la base de ce parallélépipède proposé , et H est sa hauteur; son volume a donc ixmr mesure le produit de sa base par sa hauteur.

697. — Lemme. Deux prismes <le meme base et de même hauteur sont équivalents . La démonstration de cette proposition est la même que celle du n“ 695.

Corollaire. Tout prisme triangulaire est la moitié cF un parallélépipède qui a une base double et même hauteur. Car soit ABCEFG (fig. 518) un prisme triangulaire quelconque. Prolongeons les plans A B C et EFG; achevons les parallélogrammes ABCD et EF G H; et joignons Dû ; il en résultera un parallélépipède A B CD EF G H. Car les plans ABCDet EFGH sont parallèles, puisque ABCEFG est un prisme; les droites ADetEH, parallèles aux droites BC et F G qui sont parallèles, sont parallèles elles-mêmes, et déterminent un plan ])arallèle à la face BCGF; de même les droites CD et GH sont

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. 541

parallèles et déterminent un plan parallèle à la face ABFE. Le polyèdre ABCDEFGH est donc compris sous six plans parallèles deux à deux; ce polyèdre est donc un parallélépipède, dont la base ABCDesl dou* ble de la base ABC du prisme proposé, et qui a mèmè hauteur. Or, le plan ACGF le divise en deux prismes triangulaires ABCEFG et ACÜEGH, qui ont des bases égales ABC^ACD, et même hauteur; chacun d’eux , le prisme proposé par exemple, est donc la moitié de ce parallélépipède.

698. — Théorème. Le volume d'un prisme triangulaire a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. Car soit B sa base et H sa hauteur; le volume du parallélépipède qui a même hauteur et une base double a pour mesure 2B X H (896). Le volume du prisme triangulaire qui en est la moitié , a donc pour mesure B X H , c’està-dire le produit de sa base par sa hauteur.

699. — Théorème. Le riolume d’un prisme quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. Cap tout prisme peut être divisé par des plans diagonaux en prismes triangulaires de même hauteur que lui (608). Soit H cette hauteur, B , B',B", etc. , les bases des prismes triangulaires ; la somme de leurs volumes aura pour mesure BXH-f-B’XH-4-B"XH-4- etc. , ou , ce qui revient au même , (B + B' 4- B" -f- etc.) X H. Or le facteur entre parenthèses , c’est-à-dire la somme des bases des prismes triangulaires qui composent le prisme proposé, n’est autre chose que la base de ce prisme; .son volume a donc pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Corollaire I. Ce théorème étant général s’applique aux prismes réguliers.

Corollaire IL Deux prismes qui ont des bases équivalentes et même hauteur sont équivalents , car la mesure de leur volume est la même.

Appucatiox. Vne salle octogone a 3™, 4 de hauteur, et chacun des côtés de son parquet a 2'“,5 de longueur; on demande le volume d’air contenu dans cette salle. Le volume cherché est celui d’un prisme régulier dont la

hauteur est de 34 décimètres » et dont la base est un oc^ toffone régulier qui a 25 décimètres de cote. î^ous avons vu (368, Rem.) que pour

il faut multiplier le carre du cote, ®

par 4,8284, ce qui donne pour produit 3017 ,75 U

reste à roulliplier cette aire par 31*1, ce qui donne pour le volume cherché 102603*» '“N500 , ou 102 métrés cubes, 503 décimètres cubes, et 500 centimètre ^ube^ 700 — Théokémb. Le volume (Lun cyUndrc a pour, mesure le produit de sa base par sa hauteur. En effet r p“ f r>/,nai<lérer un cylindre comme un prisme régulier

dans celle du volume d’un prisme. .p.. • -

Appuc1t.«n..-P«o»>-»»' I. r,vuv,rle vo ume dé

iTnY

diZclrc U sa base. Le l ajon de U étant »»,3p

cL“hL'Tonc%Cm^uîèv X (cil)' X

En eftotuant ce calcul . ou U-ouve pour reaulut 0m.ct.b,4û7738 , ou 407dec *:al>,788*»"»-*='*'’. , . ! . ' ;»*•'

paoBLÈME. 11. QueUe profondeur Jaut-il donmr a un

risersoir cylindrique de lyte rayon , ^ur ï“ f ésnntmir 3850 hectolitres deau? Les 3850 liecioiiu es, ou 385000 litres , représentent 385000 decimctres cubes, Z Srea c’ubel La base

a une superficie exprimée par X 49'“ S ou lo4 . ii faTau^ette superficie, multipliée par la nrofondeuf cherdiée, qui est la hauteur du cylindre, donne pour nroduit 38^2' *'“’’ I po«** obtenir cette profondeur, il suffit donc de diviser 385“ '“’> par 154“> S ce qui donne pour

Ün tuyau de conduite, cylindrique, JoU artrôdSr- de longueur.

aue sa capacité soit de 40 métrés cubes ? L aire du cercle qui doit fervir de base à ce cylindre , mulliphee par sa ?ongüeurô93'", doit donner pour produit 40*“ si donc on divisé 40w «>'‘ par 593'", le quotient 0'“ *^,0674«>3 expiv

GÉOMÉTRIE DANS l’espace. 543

mera l’aire de celte base. Divisons celle aire par nous aurons pour quotient le carré du rayon; on trouve ainsi 0" «,02HG4. La racine carrée de ce nombre, ou 0"',146, est donc le rayon demandé.

701. — Lemme 1. Deux tétraèdres de meme hase et de même hnuteur sont écfuivalvuts. Soient, en effet, SABC et O M N P (fig. 593) deux tétraèdres dont les bases ABC et M IN' P sont égales , et qui ont môme hauteur. Supposons leurs bases placées sur un même plan liori/.onlal ; divisons leur hauteur commune en un certain nombre de parties égales, et par tous les points de division menons des plans horizontaux qui coupent à la fois les deux tétraèdres. Ils se trouveront décomposés en un môme nombre de tranches de môme hauteur. Considérons deux tranches correspondantes, abedef et mnpqrt. Leurs bases«6c et mnp sont semblables aux basesABC et MIN P des tétraèdres, et par conséquent semblables entre elles; d’ailleurs ces mêmes sections abc, mnp sont entre elles comme les bases ABC et MNP (.598) ; elles sont donc équivalentes. Or, elles ne j)euvent être à la fois semblables et écpiivalentes sans être égales. Cela posé, comme le nombre des tranches est arbitraire, rien n’empêche do le supposer assez grand pour que la hauteur (le chaque tranche soit aussi petite que l’on voudra. Plus cette hauteur .sera petite, et plus les différences de forme qui existent entre les tranches correspondantes abedef et <7 /•« tendront à devenir inappréciables; et si l’on suppose celle hauteur infiniment petite, les deux tranches infiniment minces abedef e\. mnpqrt pourront être considérées comme rigoureusement égales, puisque leurs bases abc et mnp .sont égales. I.es deux tétraèdres S.ABC et OMNP peuvent donc être regardés comme compo.sés d’un même nombre de tranches infiniment minces, égales chacune à chacune; les volumes de ces deux tétraèdres sont donc équivalents.

702. — Lemme il. Tout tétraèdre est le tiers d’un prishie triangulaire de même base et de même hauteur. Soit S A BC (fig. ôtM) un tétraèdre quelconque. Par son som-

mets menons un plan SDK parallèle à la base; puis, par les points A et C, menons A D et CE parallèles à BS jusqu'à la rencontre du plan SDK, et joignons SD et SE; nous formerons ainsi un piâsme triangulaire ABCDSE qui aura même base ABC que le télraèdre, et même hauteur, puisque le sommet de ce dernier est dans le plan de la base supérieure du prisme. Or, je dis que le tétraèdre SABCest le tiers du j)risme ABCDSE.

En effet, suivant les droites SA et SE, faisons passer un plan, qui coupera le parallélogramme ACDE suivant la diagonale AE , et divisera , par conséquent, ce parallélogramme en deux triangles égaux.

IVous aurons à considérer trois tétraèdres qui ont leur sommet en S. 1® Le tétraèdre S ABC : c’est le tétraèdre proposé. 2“ Le tétraèdre SA D E : en lui donnant poursomniet le point A , on voit que sa base DSE est égale à la base ABC du premier télraèdre, et que, de plus, ils ont pour hauteur commune la hauteur du prisme; en vertu du lemme qui précède, ces deux tétraèdres sont donc é(|uivalents. 3“ Le tétraèdre SA CE ; sa base ACE est égale à la base A DE du second télraèdre; et, de plus, ils ont même hauteur, puisqu’ils ont même sommet S, et que leurs bases sont sur uii même plan. Ces deux tétraèdres sont donc équivalents aussi.

Le prisme triangulaire ABCDSE est donc composé de trois tétraèdres équivalents; et par conséquent le tétraèdre proposé, qui est un des trois, est le tiers du prisme triangulaire.

703. — Théukéme. Le volume d'un tétraèdre a pour mesure le tiers (lu produit de sa base par sa hauteur, (^et énoncé signifie que pour obtenir le nombre d'unités de volume contenues dans un télraèdre, il faut chercher le nombre d’uuilés d’aire contenues dans sa base, le nombre d’unités de longueur contenues dans sa hauteur, multiplier ces deux nombres l’un après l’aulre et prendre le tiers du produit.

Pour le prouver, considérons le prisme triangulaire qui a même base et même hauteur que le tétraèdre pro- ' posé ; son volume aura pour mesure le produit de cette

C^OMiTRlE DANS l’eSPACE. 545

base par celte bauleur (698); donc le létraèdre, qui en est le tiers, en vertu du lemnie précédent, a pour mesure le tiers de ce produit, c’est-à-dire le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

ConoiXAinE. Deux tétraèdres qui ont des hases équivalentes et même hauteur sont équivalents , puisqu’ils ont même mesure.

704. — TnËonËME. Le volume d’une pyramide quelconque a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur. Car toute pyramide pouvant se partager par des plans diagonaux, en tétraèdres de même hauteur, si l’on nomme H cette hauteur, et B, B', B', etc., les bases de ces tétraèdres, la somme de leurs volumes aura pour expression

^BXH-t-iB'XH-f^B-XH + elc.; ou , ce qui revient au même ,

ï (B -f- B' -+- B" -f- etc. ) X H.

Or, B -f-B'-l- B" -f-etc. , c’est-à-dire la somme des bases des tétraèdres, c’est précisément la base de la pyramide; son volume a donc pour mesure le tiers du produit de celte base pour sa hauteur.

Corollaire I. Ce théorème étant général s’applique aux pyramides régulières.

Corollaire II. Deux pyramides qui ont des bases équivalentes et même hauteur sont équivalentes y puisque leur mesure est la même.

705. — Théorème. Le r>oliime dun cône a pour mesure le tiers du produit de sa hase par sa hauteur. Car on peut considérer ce cône comme une pyramide régulière, dont la base est un polygone régulier d’un nombre infini de côtés infiniment petits. La mesure de son volume rentre alors dans celle du volume d’une pyramide.

Applications. — Prorléme I. Quel est le volume tTun cône, dont la hauteur est de 0*",52, et dont la base a. 0"*,23 de rayon ?

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546 ■ SEfcONDE PAUTIE.^ • > »

•• T.’ail’e de la base a pour mesure ^ X 0» '', 1662; le volume du cône a donc pour valeur

• o'”‘®,iCGïX«>“’.J» . • ,

PU 0*» 028808, ou enOp çubj gQgceiil. cub.

Problème II. La hauteur d’un cône est rfe 16 pouces { son côté a 20 pouces; quel est son volume ? Rappelons<nous que l’axe du cône , son côté el le rayon de sa base forment un triangle rectangle dont Thypolhér mise est le côté du cône. On aura donc le carré du i*ayon en retranchant le cari'é de la hauteur (ou de l’axe) du carré du côté, ou (16)* do (20)*, ce qui donne I44r*®, L’aire de la base a donc pour valeur X 144i* ‘=; e^le volume du cône équivaut à

ï X H' ^ I44I'-': X iGp^ ou à lP «^ub 6851'- '“i* 1234 > '“•». Problème III. Le volume itun cône est cVun mètre cube , et le rayon, de st* base est le tiers de sa hauteur; quelle est la valeur de ce rayon? Appelons r ce rayon et h la hauteur; le volume du cône aura pour expression ■

OU , comme h est le triple de r,

^ ^ , ou V. X r, ou enfin -jt. /•*.

Si donc on divise im.cub pjjj, )p rapport ou par V, on aura le cube dp rayon ; on trouve ainsi 318181818. Lu extrayant la racine cubique de ce nombre, on obtient 0'“ , G82 pour le rayon demandé.

706. Tuèor,ème. Le volume d'un prisme triaugulaiee trufiquc a pour mesure le produit de sa base par tme moyenne entre les trois petpendiculaires abaissées dessom^ mets opposés sur cette base. Soit ABCDEF (fig. 5Qâ) un prisme triangulaire tronqué; parles points A, |ü,C, faisons passer un plan; il détachera du prisme tronqué un tétraèdre EABC, qui aura pour base A B Cl, et pour hauteur la perpendiculaire abaissée du point E

GéOMl^TftlE DANS t/fSPACE. 647

sur ABC; en appelant e cette perpendiculaire, le volume du tétraèdre EABC sera exprimé par

- ' ABCX^*.

Par les points D , E , C , faisons passer un plan ; il partagera la pyramide quadrangulaire restante EADFC en deux tétraèdres E A D C et E F DC.

Tirons DB; il sera facile de voir que les deux tétraèdres EADC et BADC sont équivalents; car ils ont même base ADC, et leurs sommets E' et B sont sur une droite EB parallèle à celle base, puisqu’elle l’est à à la droite AD qui y est contenue : ces deux tétraèdres ont donc même base et même hauteur {7^oy. le n“ 42G), et sont , par conséquent , équivalents (703). Or le tétraèdre BADC peut être considéré comme ayant son sommet eu D; il a alors pour base ABC, et pour hauteur la perpendiculaire abaissée du point D sur cette base; en nommant </ cette perpendiculaire, le volume du létraèdreDABC, ou celui du tétraèdre équivalent EADC, aura pour expression -î. A BC X

Tirons FA et FB; on prouvera sans peine que les tétraèdres E F DC et BÀFC sont équivalents. En effet, leurs bases FDC et F AC sont des triangles équivalents, puisqu’ils ont môme base F C et même bauteur. De plus les sommets E et B de ces deux tétraèdres sont sur une droite EB parallèle au plan de leurs bases; ces tétraèdres sont doue équivalents (703). Or, le tétraèdre BAFC peut être considéré comme ayant son .sommet au point F; il a alors pour ba.se ABC, et pour bauteur la perpendiculaire abaissée du point F sur celte base ; en nommant /'cette perpendiculaire, le volume du tétraèdre F ABC, ou celui du tétraèdre équivalent E FDC, aura pour expression |. ABC X /•

Le volume du prisme tronqué, qui se compose des trois tétraèdres EABC, EADC et E FDC, a donc pour mesure :

i. ABCX f+L ABCX + i ABCX/, ou r. A BG X {e+d-{-/) , ou encore A BC X

o48 SECONDE PA.RTIE.

Mais i {e jf- fl -if f) exprime une moyenne entre les trois perpendiculaires e,V, y. Le volume du prisme ti'onqué a donc pour mesure le produit de sa base par celte moyenne.

ConoLLAinE. Lorsque le prisme triangulaire e.st droit, les perpendiculaires c, €ljf, ne sont autre chose que les arêtes latérales A D , BE , C F ; on peut donc dire que le yolume d’un prisme triangulaire dt'oit tronqué a pour mesure le produit de sa base par une moyenne entre ses trois arêtes latérales.

707. ^ — ThéouEme. Le volume d’un parallélépipède droit tronqué a pour mesure le produit de sa base par une moyenne (arithmétique) entre deux arêtes latérales opposées. Soit ABCDEFGH (fig. 596) un parallélépipède droit tronqué par un plan EFG H incliné à sa base. Il est facile de voir d’abord que celte section e.st un parallélogramme ; car les droites EF et G H, étant les intersections de deux plans parallèles ABFEetDCGH par un troisième EFG H, sont parallèles entre elles; on en peut dire autant des droites E H et FG ; la fagure E F G H est donc un parallélogramme.

Menons le plan diagonal D B F H : il divisera le parallélépipède tronqué en deux prismes triangulaires tronqués ABDEFH et BCDFGH. En vertu du corollaire du théorème précédent , le prisme tronqué AB DE F H aura pour mesure.

ABDX HAE + BF-hDH), et le prisme tronqué BCDFGH aura pour '"mesure : BCD X KBF+DH -l-CG ).

Leur somme, ou le parallélépipède tronqué, aura donc pour mesure la somme des expressions précédentes; et si l’on remarque que l’on peut remplacer BC D par son égal A B D , cette mesure aura pour expression :

ABD X i (AE4-CG-f-;2BF-|-2DH). . . . (1).

Tirons E G et A C, et joignons les points 1 et O, milieux des diagonales H F, E G et AG, BD : la droite 10 sera

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ri-omiStrie dans l’espac*. 549

l’interseclion des deux plans DBFll et ACGE, puisqu’elle a , dans chacun d’eux , les deux points I et O.

La figure DBF H étant un trapèze, la droite 10, qui joint les milieux des côtés non parallèles, est une moyenne arithmétique entre les deux côtés parallèles (voj-ez le n° 321) ; on a donc

4 (BF+DH)=IO;d’oùBF+DH«2lO, '

et, par conséquent, 2BF -f- 2DH = 410.

La figure ACG E, étant aussi un trapèze , la droite 10, qui joint les milieux des côtés non parallèles, est une moyenne arithmétique entre les deux côtés parallèles, et l’on a

4 (AE-f*CG) — IO;d’où AE-hCG = 2I0.

A l’aide de ces valeurs, l'expression (1) pourra s’écrire ;

ABDxn2IO-h4lO), ^ •

ou ABD X-î 610, ou ABD X2.I0, ou, ce qui l’evienlau même, 2 ABD X IO,ou enfin ABCD X 10.

Ainsi, le volume du parallélépipède droit tronqué a pour mesure le produit de sa base AB CD par la droite 1 0, qui joint les points de rencontre des diagonales des deux bases. Or,^ nous venons de voir que 10 est une moyenne arithmétique , soit entre les deux arêtes opposées BF et DH, soit entre les deux arêtes opposées AE et CG ; donc, etc.

>Applicatio\.— Imaginons un mur qui ait du talus, et dont l’épaisseur aille en augmentant d’un bout à l’autre; ce mur formera un parallélépipède rectangle tronqué par un plan incliné à la base; seulement cette base sera verticale.

Les constructions en maçonnerie destinées à soutenir les terres offrent quelquefois cette fonne.

708. — On ferait voir, par une démonstration entièrement analogue , qu’u/i prisme régulier tronqué , dont la base est un polygone régulier (t un nombre pair de. côtés ,

a pour mesure le produis de sa hase inferieure par la portion de son a.re coiiiprisc entre ses deux ba^es.

Il en l'ésulle (jue te volume d'an cylindre droit tronqué a pour niesure le produit du cercle qui lui sert de base inférieure juir la portion de son a.vc Comprise çntre ses deux bases. C’.ar on peut loiijoiirs considérer ce cylindre tronqué contnœ iin prisme régulier tronquû dont la base inférieure est un polygone régvilier d’un nombre pair de côtés infiniment petits.

ApPi.icATiox. On aurait à mesurer le volume de deux eylindres tronqués, s’il s’agissait d’évaluer la rapacité d’un tuyau cylindri([ue coudé. Dans ce cas, on ne pourrait pas obtenir la longueur de l’axe comme nou.s l’avons indiqué au numéro G7 1 ; il faudrait, à l’extrémité circulaire du tuyau, mener un diamètre quelconque, e,t ' par les extrémités de ce diamètre faire passer deux génératrices; leur demi-somme serait la lo^ngueur de l'axe du cylindre tronqué.

‘ 70Ü. — Théorème. Le volume d'un tétraèdre tronqué

a pour mesure le tiers du produit de hauteur p^ir la somme de ses dcu.v hases et d’une nioyeivte géométrique entre ces bases. Soit .iBCDEF (fig- 597) un tétraèdre tronqué. Par les points A , E, C, faisons passer un plaq; il détachera du tétraèdre tronqué un tétraèdre E A , 'qui aura pour bailleur la hauteur du tronc, et pour base 'la base ABC; eu amielant H la hauteur du tronc*, le volume de ce tétraèure aura donc pour expression

^HxABC. . ..

■ Par les points D,E,C, faisons pa.sseruù plan •,il divisera la pyramide quadrangulaire restante EADFC en deux tétraèdres ED FC et EADC. Le premier de ces deux tétraèdres peut être considéré comme ayantson sommet au pointe, et pour base DEF. Sa hauteur est donc égale à celle du tronc, et son volume a pour expres- * sion ■■ • 1 • I -» . •

tHXDEF.

Reste le dernier tétraèdre EADC. Pour obtenir Pcx-

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GKOMIÎTRlTî DAirS I.*F«PACF. 551

pression de son volume, menons par le point E, dans le plan ABED, la droite El parallèle à AI); nous aurons à considérer un nouveau tétraèdre I AD G. 11 est facile de voir que ce nouveau tétraèdre équivaut au tétraèdre E A DC; car ils ont niéine base ADC, et leurs sommets I et E sont sur une droite E I parallèle à cette base, puisqu’elle l’est à une droite Al) contenue dans cette base; ces deux tétraèdres ont donc même base et même hauteur, et sont , par conséquent, équivalents.

Or, le tétraèdre lADC peut être considéré comme .ayant son sommet au point E, et pour base AlC; il a donc même hauteur que le tronc , et son volume , ou, ce qui revient au même, le volume du tétraèdre équivalent EADC, a pour expression II X AIC.

Le tétraèdre tronqué, qui est la somme des trois tétraèdres EABC,EDFC, EADC, a donc pour mesure

iHXABC+^lXDEF-h^IlX Aie, ou ^IX(ABC + DEF+AIC).

Pour démontrer le théorème énoncé, il ne reste donc plus qu’à prouver que A IC est une moyenne géométrique entre ABC et DEF. Pour cela, remarquons que les droites DE et D F étant, par la nature même du tétraèdre tronqué (599), respectivement parallèles à AC et AB, les deux angles E D F et 1 \ C sont égaux ; les deux triangles DEF et Aie sont donc entre eux comme les produits des côtés qui comprennent l’angle égal (351), et l’on a

DEF : Aie :: DE X. DF : Al XAC.

Mais DE et AI sont égaux comme parallèles comprises entre parallèles; les deux termes du second rapport ont donc un facteur commun que l’on peut suj)priiuer , et il reste

DEF : Aie : ; DF : AC (l)

Les triangles AlC et ABC, qui ont même hauteur puisqu’ils ont même sommet C et leurs bases en ligne droite , sont entre eux comme ces bases (350) , et Fon a