ABCDE : ://*: H

Le tétraèdre étant semblable au tétraèdre 03INP, on aura de même

' mnp : 3INP H®,

d'oU , k cause du rapport commun ,

abc de : ABCDE mnp;: MNP.

GÉOMÉTRIE DA3(S l’eSPACE. 553

Or, par supposition, les conséquents sont équivalents; il en est donc de même des antécédents.

Cela posé, remarquons que le tétraèdre OM N P équivaut à la pyramide SÂBCDË, puisqu'il a une base équivalente et même hauteur (703, 704). Par la même raison, le tétraèdre Onuip équivaut à la pyramide iîabede. Il en résulte que le tronc de tétraèdre équivaut au tronc de pyramide.

Mais le premier a pour mesure le tiers du produit de sa hauteur par la somme de ses bases et d’une moyenne géométrique entre ces bases. Celte mesure est donc aussi celle du tronc de pyramide; et comme ce tronc a même hauteur que le tronc de tétraèdre et des bases équivalentes, il s’ensuit que le tronc de pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa hauteur par la somme de ses bases ABCDE et abede, et d’une moyenne géométrique entre ces bases.

ConoLLAinn. Ce théorème étant général s’applique aux pyramides tronquées.

Application. Un bassin a ses murs en talus , le Jond est un carré dont le côté a 30'“, les bords forment aussi un carré dont le côté a 32*", et la profondeur du bassin est de 4'“ , on demande sa capacité en hectolitres.

La forme du bassin est celle d’une pyramide tronquée. L'aire de sa plus grande base est de 32'“ X S2*“, ou 1024'"-'; l’aire de sa plus petite base est de 30'» X 30“', ou 900'"-“ ; la moyenne géométrique entre ces deux bases

estV^i024 "*•“ X 900'“ “, ou 900'” “. La capacité du bassin a donc pour expression

L 4'“ X (1024'" “ -h 900'“ ' -I- 900'“ '), ou |. 4'“ X 2884'" “, ou 3845'" '“'',333,

ce qui revient à 3845333‘''^‘'-'“'*, ou à 2845333 litres, ou enfin à 38453 hectolitres et 33 litres.

711. — TiiÉonËME. Le r>olunie d’un cône tronqué a pour mesure le tiers du produit de sa hauteur par la somme de ses bases et d’une moyenne gt^ométrique entre ces bases. Car un cône tronqué peut être considéré comme une pyramide régulière tronquée dont les bases sont des

554 SKCONDB PAItTfE.

polvgones rëguliej's d’un nombre infini de côtës inftni- . ment petits. La mesure de son volume rentre donc dans celle du volume d’une pyramide tronquée.

ConoLLAiRE. L’expression du volume du cône tronqué est susceptible d’une forme remarquable. Si l’on nomme h sa hauteur, R et r les rayons de ses bases , Faire de la base inférieure sera -»rR*, celle de la base supérieure sera -wr*; la moyenne géométrique entre ces

bases sera l/wR* X ou V' if* % R* X o» wR^r.

Le volume du tronc de cône sera donc représenté par ..

ou X X '•)i

c't*sl-à-dire que pour obtenir le volume ifun tronc de cône, il faut faire le eaiiê du plus "rond rayon ^ le carré du plus petit ^ et le pioduit du plus grand par le plus petit; ajouter ces trois résultats j multiplier la somme par la hauteur du tronc et par le rapport de la circonférence au diamètre, puis prendre le tiers du produit. ■' '

-•Applications. I. Pour mesurer le bois en grume, c’est-à-dire recouvert de son écorce et de son aubier, on considère chaque arbre, quand il est droit, comme lun cône tronqué. On trace à ses deux bouts, en dedans de l’aubier, deux cercles qui sont les bases du tronc; quant à sa hauteur, elle est égale à la longueur de l'arbre mesurée, non pas sur sa surface, mais perpendiculairement aux bases. Pour obtenir cette mesure, on peut appliquer une règle horizontalement au centre de chacune des extrémités de l’arbre, suppo.sé couché sur le ^sol , et mesurer ensuite la distance des deux règles.

Supposons que la longueur de l’arbre ait été trouvée de l?!* 2p, ou 206P, que le rayon de la plus grande base soit de 7p, et le rayon de la plus petite de 5p, le volume du tronc de cône aura pour valeur

1 X V X 20CP X (7p X 7p + 5px5»>4-T« X 6P), ou ^ X V ^ 200P X (49P C + 25P-0+ 85p-'). ' ‘ ' 'M

Gl';OMlÎTRTF. DANS L ESPACE. 555

Si l’on effectue le calcul, on trouvera pour résultat , en négligeant les fractions de pouce cube, 235231"^*', çe qui revient à 131’ '^“'' 1 059i> ‘^“’\

Dans la pratique, on mesure la longueur de l’arbre sur sa surface, et l’on multiplie cette longueur par . l’aire de la section faite à égale distance des deux bases, section qui, abstraction faite de l’écorce et de l’aubiei’, a pour raj on la demi-somme des rayons des deux bases.

Cette manière d’opérer est inexacte; mais comme elle est assez expéditive, on peut l’employer lorsque les rayons des deux bases diffèrent peu, et que l’on ne désire pas une grande approximation.

U. Prüui.Eme. 0/t demande la capacité, d’un cuvier dont le fond a de rayon, le bord supérieur l'»,38

de rayon , et dont la profondeur est de l'“,54. La forme d’un cuvier est ordinairement celle d’un cône tronqué; en ayant égard aux données du problème, ou xoit que la capacité cherchée a pour valeur

|X^Xt'“,54x(l"‘,38Xl'”,.38-Hl'n,12xl“’,12+ l>",38xl'“,12) ou

ou bien •

fî X 1“’,54 X 7>“ S7044.

En effectuant le calcul , on trouve pour résultat 1 2'" cul), 429765 , ou 12429'’'‘‘ '“^,765 ; c’est-à-dire 12430 litres environ, ce qui revient à 12‘^“'“'-,3Ü.

III. Pour yVï//"cr un tonneau , c’est-à-dire pour évaluer sa capacité , on peut le considérer comme formé de deux cônes tronqués égaux, réunis par leur plus grande base; cette base commune est la section perpendiculaire à l’axe, faite à la hauteur de la bonde; le diamètre de cette section s’obtient en introduisant une règle divisée par l’oritice de la bonde. La circonférence de chacun des deux fonds circulaires du tonneau porte le nom <\ç jable, et la partie renflée ou se trouve la bonde porte le nom de bouge. Pour obtenir, d’après ce qui précède, la^capacité d’un tonneau , il

556 SRCOICDE PARTHR.

faudl'ait faire le carré du rayon du jahle, le carré du rayon du bouge, et le produit de ces deux rayons; ' ajouter ces trois résultats, multiplier la somme par la longueur du tonneau dans le sens de son axe, et par le rapport de la circonférence au diamètre , puis pren- ' dre le tiers du produit. '

Si, par exemple, le rayon du jable était de 0®, 20,5^ le rayon du bouge de O®, 30, et la longueur du ton-i^ neau de 0®,90, sa capacité serait ^ . V ^

‘ ' ' ’T»-* Jk

ce qui donnerait, tout calcul fait, 0“«»t»,222137, ou^' 2J2dw.e*b^t37^ c’est-à-dire un peu plus de 222 litres. S Ce mode d’évaluation donne toujours un résultat trop faible; et l’on en concevra facilement la raison, si l’on songe que la génératrice de la surface du tonneau est une ligne courbe, convexe vers l’extérieur, tan- • dis que la génératrice de chacun des troncs de cône que nous venons de considérer n’en est qu’une corde, en sorte que la surface de chaque tronc de cône est intérieure à celle du tonneau. ' *•' '

Les percepteurs des droits sur les boissons emploiept pour mesurer la capacité des tonneaux une règle divisée, nommée jauge, qu'ils introduisent par la bonde dans diverses directions, pour en conclure ensuite la capacité cherchée par un calcul fort simple. Quand ils n’oiit point de jauge, ils ont recours à un Càlcul analogue à celui que nous venons de faire; mais pour teniV comple de l’erreur que l’on commet en remplaçant la capacité du tonneau par deux cônes tronqués, ils remplacent le produit des deux rayons par le carré du plus grand. Si l’on fait le calcul de cette manière , on verra qu’il revient à la règle suivante , adoptée dans les droite réunis : faire le carré du diamètre du jahle , y ajouter te double du carré du diamètre du bouge, multiplier la somme par la longueur du tonneau et par le nombre 0,262.

En opérant d’après cette règle sur les données précédentes, on obtient pour résultat 233 litres^. On voit

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. ^557

que ce résullat diffère de 11 litres ^ de celui que nous a> ions obtenu d’abord.

712. — Tout polyèdre pouvant se décomposer en pyramides dont on sait évaluer le volume , on voit qu’il est possible de mesurer celui d’un polyèdre quelconque.

Supposons que l’on prenne j>our. sommet commun de toutes les pyramides Tun des sommels du polyèdre luimême , la base de chacune de ces pyramides étant une des faces du |)olyèdre, on en pourra mesurer l’aire, et la question se réduira à mesurer la hauteur de chaque pyramide. On pourra employer à cet effet l’appareil que représente la figure ôOl ; on posera le polyèdre sur le plan horizontal inférieur par la face qui sert de base à la |)yramide dont on veut mesurer la hauteur, el l’on fera varier la position du jKilyèdre et celle du j)lan horizontal supérieur , jusqu’à ce qu’une arête inférieure de ce plan vienne passer par le sommet de la pyramide. La distance des deux plans horizontaux, mesurée sur la tige verticale, indiquera la hauteur cherchée.

On comprend qu’il faut se servir d’une arête inférieure du plan horizontal mobile et non de sa surface même, parce qu’il peut arriver que le polyèdre ait des points plus élevés que celui qui sert de sommet à la pyramide dont on mesure la hauteur.

Ce procédé n’est applicable d’une manière générale qu’aux polyèdres convexes, et nous avons dit quece sont aussi les seuls que la Géométrie élémentaire ait à considérer. 11 est rare, d’ailleui*s , qu’un polyèdre ne présente pas dans sa forme quelque particularité qui facilite la recherche de son volume ; c’est ce qui arrive pour la plupart de ceux que l’on rencontre dans la pratique.

713. — 11 résulte, du théorème du n“ 630, que si l’on prend deux faces égales de deux tétraèdres symétriques pour bases de ces tétraèdres , ils auront aussi même hauteur; et dès lors ils ont même volume , puisque leur mesure est la même.

Deux polyèdres symétriques pouvant toujours se décomposer en un même nombre de tétraèdres symétriques, équivalents en volume d’après ce que nous venons

de dire, il s’ensuit que ces deux polyèdres sont euxmêmes équivalents. Et comme un corps quelconque peut toujoui*s être considéré comme un polyèdre, puisque, s’il se terminé par une ou plusieurs surfaces courbes, il suffit de supposer ses faces infiniment petites, on voit que toutes les fois qu’un corps a un plan de symétrie les deux parties séparées par ce plan sont équivalentes en volume; ce qu’il était d’ailleurs facile de pressentir.

7 14. — Parmi les polyèdres réguliers, il en est deux dont nous avons appris à mesurer le volume : ce sont le tétraèdre régulier et le cube. On pourrait obtenir le volume desautres par lemoyen général indiqué au n*712.1Vfaison peut remarquer que si l’on décompose un polyèdre régulier en pyramides qui aientson centre poursommet commun et ses faces pour bases, par la nature même de ce polyèdre, toutes les pyramides seront égales ; et leur hauteur sera la distance du centre du polyèdre à l’une quelconque de ses faces, distance que l’on nomme son apothème. Pour obtenir le volume de ce polyèdre, il faudra donc mesurer l’aire d’une de ses faces, la multiplier par la longueur de l’apotbème, prendre le tiers du produit, et multiplier le résultat par le nombre des pyramides, c'est-à-dire par le nombre des faces.

La longueur de l’apotlième, qui entre dans le calcul précédent, est facile à obtenir; car les polyèdres dont nous parlons ont tous des faces parallèles , dont la distance est évidemment le double de l’apothème cherché : or, cette distance s’obtiendra sans peine au moyen de l’appareil que représente la fig. .501.

Le volume del’octraèdreréguliers’obtiendraitplusfacilement en le considérant comme composé de deux pyramides régulières à base carrée.

715. — TiiÉonËME. Le volume (F une sphère a pour mesure le produit tle sa surface par le tiers de son rayon. Concevons la surface de la sphère partagée, par des arcs de grands ceivles, en portions triangulaires ou polygonales assez petites pour que chacune d’elles puisse être considérée comme plane, et les arcs qui lui servent de

côtds comme rectilignes; chacune de ces portions de surface sera ce que nous avons nommé un élément de surface; et la sphère se trouvera remplacée par un polyèdre. Imaginons que ce polyèdre soit décomi)osé eu pyramides ayant pour sommet commun le centre de la sphère et pour bases les divers éléments de sa surface, et considérons en particulier l’une quelconque de ces pyi’amides.

Sa base étant un élément de la surface de la sphère , ou, ce qui revient au même, un élément de plan langent, est perpendiculaire a l’extrémité d’un rayon , ce qui veut dire que la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur l’élément qui sert de base à la pyramide est égale au rayon de la sphère, ou, en d’autres termes, que la hauteur de la pyramide est égale au rayon; d’où il suit que le volume de cette pyramide a pour mesure le produit de l’élément qui lui sert de base par le tiers du rayon.

- Or, comme on en peut dire autant de toutes les autres pyramides, il s’ensuit -<iue leur somme, ou le volume total de la sphère , a pour mesure la somme des produits de chaque base par le tiers du rayon, ou 1e produit de la somme des bases par le tiei*s du rayon , ou enfin le produit de la surface de la sphère par le tiers de son rayon.

(’onoLLAiRE. La surface de la sphère dont le rayon est R , a pour mesure 4‘jtR». Si l’on multiplie cette expression par ^ R, on obtien t pour produi 1 4 « R Ainsi, pour obtenir le volume d’une sphère, il faut faire le cube de son rayon , le multiplier par le rapport de la circonférence au diamètre, et prendre les * du produit.

Appucatioxs. — PuontÉME 1. Quel est le volume tlun boulet qui a 22 centimètres de diamètre ? Le diamètre ayant , le rayon a 1 ; le cube de ce rayon vaut ; le volume demandé équivaut donc

X tX 1331«“nt-«*i»,ou, tout calcul fait, à '"•>,024,

Prodi.Eme il En considérant la terre comme, une

sphère dont le rayon est de G36'“y»’ ,62, quel est son volume en myriamètres cubes? Le volume demandé aura pour valeur 3XmX(636‘“y*'-,62)*. En effectuant les calculs indiqués, on trouve pour résultat environ 1081 millions de myriamètres cubes.

Proulëme III. Quel est le volume tF une sphère dont la surface équivaut h un mètre carré? Pour résoudre cette question , il faut d’abord chercher le rayon de la sphère. Puisque sa surface équivaut à un mètre carré, celle d’un grand cercle, qui en est le quart, équivaut à Divisons ce nombre par^, lecpiotiont 7‘*“-«,9545 exprimera le carré du rayon; et la racine carrée de ce nombre, ou 2‘i«'-,82 , sera le rayon lui-même. Il ne reste plus, pour avoir le volume demandé, qu’à multij)lier la surface donnée par le tiers de ce rayon , ou 0»>,094, ce qui donne pour résultat o“>-‘‘“'’,094 , ou

Problème IV. Quel diamètre faut-il donner a un bassin demi-sphérique pour que sa capacité soit de 50 hectolitres? Appelons R le rayon du bassin; la capacité de la demi-sphère aura pour expression f -n-R®; et comme 50 hectolitres représentent 5000 litres ou 5000 décimètres cubes, on devra avoir

®irR*=5000*‘« ‘^, ou f XV* X R* = 5000^ê:.cub ou enfin ^ X R*‘=5000‘^'^ ‘=“>»*

Si l’on divise les deux membres de l’égalité par ff, on obtient R*=2386^-'“*»,3S6.

Par conséquent, en extrayant la racine cubique de ce nombre, on aura le rayon du bassin. On trouve ainsi 13**“ ,3 dont le double 26^ ,6, ou 2™,66 est le diamètre demandé.

716. — Théorème. Le volume dèun secteur sphérique a pour mesure le produit de Faire de la calotte qui lui sert de base par le tiers du rayon. La démonstration est la même que pour le théorème précédent.

Digitizod '

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE. SOI

Corollaire. Soit h la lianteur de la calotte qui sert de base au secteur et Pv le rayon delà sphère, 2«R X ^ sera l’aire de cette calotte (077); le volume du secteur sera donc 2'7tRX îR, ou |'wR*/i. Or -ttR* exprime l’aire d’un grand cercle; pour avoir le volume d’un secteur sphérique, il l’aut donc multiplier l’aire d’un grand cercle par la hauteur de la calotte qui sert de base à ce secteur, et prendre les deux tiers du produit.

717. — Théorème. Le volume d'un segment sphérique a pour mesure le produit de l’aire du cercle qui aurait pour rayon la hauteur de ce segment, par le rayon de la sphère diminué du tiers de cette hauteur. Soit PP' (fig. 540) l’axe du segment, PAP'Bunesectionméridienne faite dans la sphère suivant cet axe; AB l’intersection du plan de ce méridien avec le plan qui termine le segment. La portion PC de l’axe, comprise entre son extrémité P et la ligne AB, sera la hauteur du segment. Son volume sera la dilTérence entre celui du secteur sphérique engendré par le secteur circulaire AO P, et celui du cône engendré par le triangle rectangle A CO. Ainsi, en nommant V le volume du segment, on aura

V= » ir.ÔP’ X P C — ^ irTc’ X O C (716,705) ,

ouV = i»x(2ÔP’ XPC— ÂC* XOC).

liU demi-corde AC étant moyenne proportionnelle entre les deux segments PC et P'C du diamètre P P' qui lui est perpendiculaire , on a

ÂC*=-PCXP'C=PCX(PP— PC)=PCX (20P— PC),

ou ÂC’=PC X 20P— PC X PC=2PCXOP— Te* , et par conséquent

ÂC* X OC =ÂC* X (OP— PC) = (2PC X OP— PC*) X (OP -PC) «=2PC XÔP*— 2PC* X OP- PC* X OP-f PC^

I Si, l’on met cette valeur de AC' X OC dans l’expression de V, il vi^nt

V = I « X C2ÔP’ X P C — 2 P C X'ÔP’ + 3?C*xOP-^’)

J-jr X (3PC’ X OP— PC^) =

ouenfin V = ^PC’X(OP— IPC),

cc qui exprime le théorème énoncé.

Jle/narqiie. Celle expression suppose que l’on connaisse le rayon üP de la sphère. Si le segment était donné détaché de la sphère, son rayon ne serait pas immédialement connu. iMaison remarquerait que si l’on joint AP et AP'* le triangle PAF sera reclungle en A* et donnera

ÀP*=PCXPP=I’f:X20P = 2PCX0P.

D'un autre côté* dans le triangle rectangle A CP ,

on a i I '

i Tp*=PC*4-AC*;

En égalant ces deux valeurs de AP’, il vient

2 PC X OP -h ÂC’; d'où OP = “

expression qui permet de calculer le rayon OP a laide de la luuiteur PC du segment et du rayon A C du cercle qui le termine.

Application. Ln bassina lafornre cTnnB demi-spherCf dont le diamètre est de 3'"; il est rempli d eau jusqu h une hauteur de \ '",2 , à partir du point le plus bas quelle est la quantité eCcau contenue? L’eau contenue lornie un segment sphérique dont la hauteur est de l'",2, et le problème se réduit à calculer le volume de ce segment. Or, l’aire du cercle dont le rayon aurait l'“,2 a pour valeur ^X(t'"»2)*, ou 4®‘',5257; multiplions cette aire par le rayon de la sphère diminué du tiers de la hauteur du segment, c’est-à-dire par moins 0*",4, ou par parl'",l, nous aurons pour produit 4*“-"'’’,97b270 ou

GtOIMJ^ÏHIE DANS LESPACE. 503

4978<i>^«cHb^270, qui représentent 4978**»'^», 27, ou 49 hectolilres 78 litres et une fraction de litre.

CunoLLAinR. On obtiendrait le volume d’une tranche sphérique , telle que ntnpqmnpq (fig. 472), en remarquant qu elle est la diflérence entre les deux segments A mnpq et x\.m'n*p'q .