Théorème. Le volume (Pim coin spérique est

fl celui de la sphère comme P angle dièdre du coin est à 4 angles droits. Même observation que pour la proposition relative à l’aire du fuseau ((>78).

7J9. Pour évaluer le volume d’un corps terminé par une surface de révolution, la méthode générale consiste à le partager par des plans perpendiculaires à son axe, en tranches assez minces pour que chacune d’elles puisse être considérée comme un cône tronqué; la somme des volumes de ces cônes tronqués forme le Volume du corps proposé.

Par des méthodes de calcul fondées sur une semblable décomposition on tranches infiniment minces, on a trouve que le volume d un ellipsoïde de révolution a pour tuesure les i du produit de Paire de son cercle équatorial par le layort qui aboutit au pôle. En sorte que si E désigne le rayon de l’équateur, et P le ravon du pôle, l’expression de ce volume est 3 -ttE*.?.

Appi.icatiox. Le rayon de l’équateur termslre est d’environ 637«>y.,70, et le rayon du pôle est d’environ 635'nyr,63, Le volume du globe terrestre, considéré connue un ellipsoïde de révolution , a donc pour mesure

f X tK X (637>"y.,70)» X «35™}>--,G3.

En effectuant le calcul , on trouve pour résultat environ 1082 millions de myriamètres cubes.

*20. Lorsque le corps dont on veut déterminer le ■N olumeest terminé par une ou plusieurs surfaces courbes quelconques, on le décompose, au moyen de deux .systèmes de plans parallèles, rectangulaires entre eux , en une série de parallélépipèdes rectangles tix>nqués, et de pyramides triangulaires.

D..- -IbyC

Afin de donner un exemple de ce genre de décomposition, supposons qu’il s’agisse d’évaluer le volume d’un monticule, problème qu’on peut avoir à résoudre dans les travaux de terrassement.

,Soit A B CD (fig. 699) l'intersection de la surface du monticule avec le plan horizontal qui est supposé lui servir de base. On commencera par circonscrire à cette courbe un rectangle MNPQ; et par les points de tangence A, B, C, D, on mènera des plans verticaux parallèles aux côtés du rectangle. Soient Ao, Bv, Ct, D« les traces de ces plans. Le monticule se trouvera divisé en 6 parties, ayant respectivement pour base.AoD, AvB,C/B,D«C,etuoi>f.

Pour évaluer la première, on divisera l’arc de courbe AD en parties assez petites pour que chacune d’elles puisse être considérée comme rectiligne; partons les points de division on mènera des plans verticaux parallèles à AM et à DM, dont les traces horizontales sont indiquées sur la figure, et l’on tracera sur la surface du monticule son intersection avec chacun de ces plans {voyez le n* 681). Les courbes d’intersection se couperont elles-mêmes en divers points, dont on déterminera la hauteur au-dessus du plan horizontal MNPQ, par les moyens précédemment indiqués (470). Les plans verticaux en question viendront en outre rencontrer AM etDM en certains points m, m, in, etc., etc.,

que l'on déterminera , et les distances mutuelles de ces points donneront les distances mutuelles des plans verticaux auxquels ils appartiennent.

On aura dès lors tous les éléments nécessaires pour calculer le volume de la portion du monticule qui a pour base AoD. En effet, si les points de division de l’arc de courbe AD ont été pris assez près les uns des autres, la portion de surface courbe qui a pour projection AoD se trouvera divisée en quadrilatères assez petits pour pouvoir être considérés comme planes, et la portion du volume du monticule dont A o D est la base se trouvera divisée elle-même en trois espèces de polyèdres : " •

CÉ051ÉTI\1E l’kSPACE. S6{I

1®. Des p)rrainides triangulaires, telles que celle qui a pour base le triangle rectangle A eF, ét dont le sommet est sur la verticale du point e. Sa hauteur étant connue, ainsi que l’aire de sa base, puisque Ae et Fe sont respectivement égaux à Mrf et à A/w, on pourra évaluer le volume de cette pyramide par la règle du n* 703. On évaluera de même le volume de toutes les pyramides analogues, dont la base est indiquée sur la figure par le chiffre 1 .

Des parallélépipèdes rectangles tronqués, tels que celui qui a pour base f'hli. Ses quatre arêtes verticales étant connues , ainsi que l’aii'e de sa base, puisque f'i et g h sont respectivement égaux à d' d’ et à A m, on pourra évaluer le volume de ce parallélépipède rectangle tronqué, par la règle du n° 707. On évaluera de la même manière tous les parallélépipèdes tronqués analogues, dont la base est indiquée sur la figure par le chiffre 2.

3”. Des polyèdres tels que celui qui a pour base F egh ; ce n’est autre chose qu’un parallélépipèderectangle tronqué, dont un des sommets supérieurs se confond avetî le sommet inférieur F, c’est-à-dire dont une arête verticale est nulle. Le volume de ce polyèdre pourra s’évaluer encore par la règle du n® 707 ; et l’on évaluera de même tous les polvèdres analogues, dont la base est indiquée sur la figure par le chiffre 3.

La somme des volumes des trois espèces de polyèdres que nous venons d’énumérer formera le volume^de la portion du monticule qui a pour base A o D. Les portions qui ont pour base Av B, Cf B, DmC s’évalueront de la même manière.

Reste à évaluer le parallélépipède rectangle tronqué dont la base inférieure est novt, et dont la base supérieure est une surface courbe. Si celte surface courbe est assez petite pour pouvoir être considérée comme plane, on appliquera la règle du n® 707; pour cela on remarquera que tu est égal à M D moins K B, et que tv est égal à PC moins A M. Si cette surface courbe avait une étendue trop grande pour pouvoir être considérée comme plane, on la diviserait j>ar de nouveaux plans

566 SECOKDE PARTIE.

verticaux parallèles à MN et à MP, et le volume correspoudant se trouverait divisé lui-méme en parallélépi> pèdes rectangles troncpiés qui s'évalueraient comme ceux dont la base est marquée du chiffre 2. •

Il pourrait arriver que les quatre plans verticaux dont les traces sont Ao, C/, Du, se rencontrassent comme l’indique la figure COO. Dans ce cas , en faisant la somme des volumes des quatre portions du monticule qui ont pour bases AoD, AvB, C^B,DuC, celle qui a pour base uovtse trouverait comptée deux fob, et au lieu de l’ajouter à la somme des quatre premières, il faudrait l’eu retrancher. Les opérations et les calculs seraieQt du reste les mêmes, si ce n’est qu’on aurait t u= N B— M D , au’ lieu de MD — NB que nous avions tout à l’heure. . - - ' - j f ««p

721. — Lorsque le corps dont il s’agit d’obtenir le vo* lurae a des dimensions moindres que celles que nous venons de lui supposer, on supplée à l’emploi des jalons et du niveau d’eau par celui du fil à plomb et de règles placées horizontalement. On agirait ainsi, par exemple, pour évaluer le volume d’un monceau de sable. '*■ Si le corps a de petites dimensions, on peut encore modifier les procédés ci-dessus de manière à les rendre applicables. Mais il est plus simple dans ce cas d’obtenir le volume du corps par la considératiou de son poids,' comme nous le verrons bientôt.