CHAPITRE X

De la comparaison des sx>1unies.

722. — TiiéOR£.ue. Deux parallélépipèdes rcttatigles de meme base sont entre eux comme leurs hauteurs. Celte proposition pourrait se déduire de celle du n® 690; mais elle peut aussi se démontrer directement comme il suit :

Faisons coïncider les deux parallélépipèdes par leur

GKOMliTRIE DANS l’eSPACF.. 567

base égale; les arêtes perpendiculaires à cette base suivront deux à deux des directions communes. Soient AG et AL (fig. 601) les deux parallélépipèdes ainsi placés, et supposons d’abord que les hauteurs A E et A I aient line commune mesure, qui soit contenue, par exemple, 5 fois dans A E et 8 fois dans A T. Divisons A 1 en 8 parties égales; A E contiendra 5 de ces parlies. Par tous les points de division menons des plans parallèles aux bases; nous formerons ainsi une suite de parallélépipèdes rectangles égaux entre eux; car, en vertu du théorème du n“611, leurs bases seront égales, et par suite de la construclion même ils auront même hauteur (621). T.e parallélépipède A L en contiendra 8 et le parallélépipède AG en contiendra 5; ces deux parallélépipèdes sont donc entre eux comme les nombres 8 et 5. Mais leurs hauteurs AI et AE sont aussi entre elles comme 8 est à 5; les deux parallélépipèdes sont donc entre eux comme leurs hauteurs.

Ces raisonnements subsisteraient évidemment si les nombres 5 et 8 se trouvaient remplacés par des nombres entiers quelconques; ainsi le théorème est vrai quelque petite que soit la commune mesure entre les deux hauteurs AI et AE. Il en résulte qu’il serait vrai encore si cette commune mesure était moindre que toute quantité assignable, ou, en d'autres termes, si les hauteurs n’avaient point de commune mesure.

Application. Une poutre , dont la forme est celle d’un parallélépipède rectangle , a 3“*, 9 de longueur^ et son volume équivaut à 240''‘* ='>** ; quel sera le volume d’un morceau de cette poutre (coupée perpendiculairement à sa longueur), long de 2'", 6 ? Pour résoudre cette que.stion, on a à comparer deux parallélépipèdes rectangles qui ne diffèrent que par l’une de leurs dimensions; ou peut donc appliquer le théorème qui précède; et eu nommant x le volume cherché, on devra avoir