TnÉonÉME. Si deux droites C E D F (fig. 4i

sont parallèles, toute droite 'SI K, perpendiculaire a l'une d’elles DF, est aussi perpendiculaire à l’autre. Car, sî M A n’était point perpendiculaire à CE, la droite CE serait oblique à l’égard de M A ; donc elle rencontrerait la perpendiculaire D F (84), ce qui est contraire à la .supposition. *

— Théouême. Les droites A C et B D (fig. 46) .perpendiculaires h deux parallèles M N et P Q , et comprises entre ces parallèles , sont égales entre elles. Par le milieu I de A B , élevons IH perpendiculaire à PQ, et par conséquent au.ssi à M N (86). Plions la figure le long de H I. L’augle H I B étant droit ainsi que l’angle H I A , la droite I B viendra .se rabattre sur 1 A; et comme 1 B* et I A .sont égaux , le point B tombera en A. L’angle I B D étant droit ainsi que l’augle I A C, la droite B D prendra la direction de A C, et le point D tombera en quelque point de la droite AC. IWais l’angle I H D étant droit, ainsi que l’angle I HC, la droite H D prendra la direction de H C , et le point I) tombera en quelque point de la di*oite H C. Le point D devant tombera la fois sur les droites A C et H C , ne pourra tomber qu’à leur intersection C ; ainsi les droites B D et A C coïncideront , et sont par conséquent égales.

Remarque. La longueur de la perpendiculaire commune à deux parallèles, mesure la véritable distance de ces droites , puisque cette longueur est la même, en quel-

Dt:> :

...=jgle

56 PlU-MliîRK PARTIE.

que point des parallèles qu’on mène celle perpendiculaire commune, le Ihéorème précédent peut donc s’énoncer : Deux paratlèlex sont partout r"alement distantes,

88. — TiiËoitÉME. Si une droite M IN' (fig. 4(i) a deux de ses points C et D ii égale distance d'une autre droite P Q , la première droite est parallèle à la seconde. En effet : des points C et 1) abaissons sur PQ les perpendiculaires C A et DR. Par le j)oint I, milieu de A B , élevons 1 H perpendiculaire à PQ. Plions maintenant la figure le long de I H. Les angles A 1 H et B1 H étant droits, la ligne IB viendra se rabattre sur I A ; et comme 1 B et 1 A sont égaux, le point B tombera en A. Les angles I A C ell B D étant droits, la droite BD suivra la direction de A C; et comme B D et C A sont égaux par supposition, le point D tombera en C. D'ailleurs le point H n’aura pas changé de place; donc les droites II D et H C coïncideront. Il en résulte que les angles I H D et 1 11 C sont égaux , et par conséquent droits , puisqu’ils sont adjacents. Les droites P Q et M N sont donc toutes deux perpendiculaires à 111 ; ainsi ces droites sont parallèles.

Applic vtiox. Ce théorème fournit un moyen de tracer des parallèles. Si, par exemple, il s’agit de mener par le point C (fig. 10) une parallèle à la droite PQ, on abaissera du point C une perpendiculaire C,\ sur la droite donnée; en un point quelconque B de cette droite, on élèvera la perpendiculaire BD égale à AC, et l’on joindra C D qui sera la parallèle demandée.

Cette con.struclion mérite la préférence sur toute autre quand les deux parallèles doivent avoir une grande étendue.

89. — TuÊonÉMK. Deux droites parallèles à une t/visiè/ne sont parallèles entiv elles . Car si l’on mène une droite perpendiculaire à la troisième, elle sera en même temps perpendiculaire aux deux premières (86) ; et cellesci étant perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.

90. — TiiKOiiÉME. Si deux droites A B, CD (fig. 47) sont coupées par une troisième E b’ , et que les angU s intérieurs A E F et C F E soient supplémentaires , ces deux

Dig ‘ '-.h; Googli'

GÉOJIKTRIK PLA^K. 57

tlroites sont parallclcs. En effet, Tangle DFE est le supplément <le CPE, puisque ces angles sont adjacents; ma's, par supposition, A E F est aussi le supplément de CFE. Donc A EF égale DFE. On démontrerait de même que CFE égale BEF. Il en résulte que la position des branches FD et EB, par rapport à EF, est absolument pareille à celle des branches EA et FC. Si donc les droites A B et CD se rencontraient au-dessus de EF, elles devraient aussi se rencontrer au-dessous. Elles auraient donc deux points communs, ce qui est impo.ssible. Donc elles ne se rencontreront pas.

Remarque I. La droite E F est dite par rap-

port aux parallèles.

11 est facile de voir que les quatre angles aigus de la figure sont égaux entre eux. Car G E B = A E F et C F H = DFE, comme angles opposés par le sommet; d’ailleui*s nous avons démontré que A E F = D FE ; donc les quatre angles aigus sont égaux. On démontrerait de même que les quatre angles obtus sont égaux entre eux. Il en résulte que l’un quelconque des quatre angles aigus est le supplément de l’un quelconque des quatre angles obtus.

Les angles tels que AEF et DFE, formés intérieurement par les deux parallèles de part et d’autre de la sécante, se nomment alternes-internes. Les angles Cf'E et B E F sont aussi alternes-internes.

Les angles tels que CFH et A EF, formés parles deux parallèles d’un même côté de la sécante, Tun extérieurement et l’autre intérieurement, sont dits internesexternes ou correspondants ; cette dernière dénomination est la plus usitée. Les angles AEG et CFE sont aussi des angles correspondants : il en est de même des angles BEG et DFE, ainsi que des angles HFD et FEB.

hemarque W. Béciproquement , si deux angles alternes-internes AEF et DFE sont égaux, les angles intérieurs AEF et CFE sont supplémentaires; car DFE étant le supplément de CFE, son égal AEF est aussi le supplément de CF E.

58 PREMIÈRK PAUTJK.

De même, si deux angles correspondants AKF et CFH sont égaux, les angles intérietirs AEF et CFE sont encore supplémentaires; car CFH étant le supplément de CFE, son égal AEF est aussi le supplément de CFE. Dans les deux cas AB et CD sont parallèles.

91. —T Applications. I. Ce théorème fournit un nouveau moijeii de mener des parallèles en se ser^ant de l’équerre. SoitO(fig. 48), un point donné par lequel on veut mener une parallèle à une droite A B. On fait affleurer contre AB le plus grand coté de l’équerre, et l’on applique une règle m n contre l’un des cotés de l’angle droit. On fait ensuite glisser l’équerre contre la règle jusqu’à ce que le côté qui coïncidait avec AB vienne passer au point donné O, et l’on se sert de ce côté comme règle pour tracer une droite OD qui est la parallèle demandée ; car les angles correspondants U km et D« A .sont nécessairement égaux.

II. Les mêmes comsidérations fournissent le moyen le plus commode d’employer l’équerre à tracer des perpendiculaires. Soit XY (fig. 49), une droite à laquelle on veut mener une perpendiculaire. Faisons affleurer contre cette droite l’un des côtés de l’angle droit d’une équerre, et appliquons une règle mn contre son plus grand côté; faisons ensuite glisser l’équerre contre la règle jusqu’à ce que le côté mp, perpendiculaire à XY, vienne passer au point par lequel il s’agit de mener la perpendiculaire, et servons-nous de ce côté comme règle pour tracer une droite m'p' qui sera la perpendiculaire demandée. Car, dans ce mouvement de l’équerre, le côté m p est demeuré parallèle à lui-même ; et puisque mp était jjerpendiculaire à XY, il en est encore de même de m'.p'.

L’avantage de celte méthode est de permettre à la pointe à tracer d’arriver plus franchement jusqu’à la droite XY, ce qu’on n’obtient par la méthode du n® 68 qu’en prolongeant la perpendiculaire après coup.

III. On peut encore se servir de la propriété des angles * allernes-internes pour mener des parallèles. Si, par

exemple, par un point £ (fig. 50), il s’agissait de mener

Olülî.'-J by Googll

GÉOAIKTRIE PL^Ni:. 50

une parallèle à la droite CD, on mènerait d'abord par le point E une sécante quelconque EE, puis l’on ferait au point E un angle A E F égal à l’angle E FD ; la droite EA ainsi déterminée serait la parallèle demandée.

Ce procédé pourrait être employé sur le terrain.

92. — Théorème. Lorsque deux parallèles AB, CD (fig. 47) sont coupées par une sécante EF, les angles intérieurs AEF et CFE sont supplémentaires (^ct par suite les tmgles alternes sont égaux, ainsi que les angles correspondants). Car si AEF n’était pas le supplément de CFE, on (murrait mener par le point E une droite qui fit avec F) F un angle égal au supplément de CFE; et, d'après le théorème précédent (90), cette droite serait parallèle à C D. CU’, par le point E , on ne peut mener qu’une seule parallèle à CD; donc l’angle AEF est le supplément de CFE.

93. Frorléme. Par un point A (lig. 51) pris hors d une droite G li mener une seconde droite qui rencontre la première sous un angle donné K. En un point quelconque F de la droite donnée, faisons un angle CF H égal à l’angle donné K (45) , et par le point A menons AE parallèle à CF. Les angles AEF et CFü seront égaux comme correspondants en vertu du tliéorème qui précède, et l’angle AEF sera par conséquent égal à

l’angle donné. ^

94. — Théorème. Deux angles ABC, DEF (fig. 52) qui ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le meme sens sont égaux. Car si l’on prolonge DE jusqu’en H, on aura D E F== E U C comme angles cori*espondants , ot ABH=EHC par la même raison. Par conséquent, DEF=ABH.

Remarque. On démontrerait de la même manière que deux angles qui ont leurs côtés parallèles et dirigés tous deux en sens contraire sont égaux , et que deux angles qui ont leurs côtés parallèles et dirigés les uns dans le même sens et les autres en sens contraire sont supplémentaires,

Applièatiox. C’est sur le théorème précédent qu’est fondé l’emploi de la boussole pour mesurer les angles.

On sait qu’une aiguille aimantée, librement suspendue par son centre, a la propriété, non pas de se diriger constamment vers le nord, comme on a l’habitude de le dii*e, mais de conserver une direction fixe .ou à peu près. Nous disons à peu près, parce que cette direction est sujette par le fait à des variations annuelles etmême diurnes dont on peut sans inconvénient faire abstraction pour l’objet qui nous occupe. A Paris, la direction de l’aiguille aimantée fait, avec la ligne qui va du nord au sud, un angle d’environ 22“ vei’s l’est. Une boussole se compose essentiellement d’une aiguille aimantée repo.sant sur un pivot au centre d’un cadran divisé en degrés. Celle dont on se sert pour mesurer les angles e.st renfermée dans une botte ronde ou carrée, munie latéralement d’une lunette ou de deux pinnules dont la direction est parallèle à la ligne de foi du cadran, c’est-à-dire au diamètre à partir duquel se comptent ses divisions. L’instrument est porté sur un pied comme le graphomètre.

Soit BAC (fig. 63) un angle à mesurer. On place d’abord la boussole de manière que la lunette soit dirigée suivant l’un des côtés A B de cet angle; la ligne de foi o/ est alors parallèle à ce côté , et l’on observe sur le limbe la valeur de l’angle nof formé par la ligne de foi et par la direction 0/1 de l’aiguille. On place ensuite la boussole de manière que la lunette soit dirigée suivant l’autre côté AC de l’angle à mesurer; la ligne de foi prend alors la direction o'f parallèle à ce côté, et l’on observe sur le limbe la valeur de l’angle /l'o'/’ fomié par la ligne de foi et la direction o'n' de l’aiguille. On a ainsi tous les éléments nécessaires pour déterminer la valeur de l’angle BAC.

En effet , menons par la pensée une ligne o'g' parallèle à o/, ou, ce qui revient au môme, à AB; comme o'f' est parallèle à AC, il .s’ensuit, d’après le théorème précédent, que l’angle go'f esX égal à l’angle BAC; mais l’angle go'f est la différence des angles n'o'f et n'o'g; de plus, o' g étant parallèle à o/, et o'n' parallèle à ow, d’après la propriété de l’aiguille aiman-

GiîOjVttlIliE PLANE. (H

lée, il en résulte que l’angle /l'o'^ est égal h^nof en vertu du même théorème. L’angle BAC, ou son égal go'/' , est donc la différence des angles n'o'f et nofy c’est-à-dire la différence des angles dont la valeur a été observée sur le limbe.

On arriverait au même l'ésultat en plaçant l’instrumcnt au sommet A de l’angle à mesui'er, et en le faisant simplement tourner sans le transporter; maison voit que la boussole permet de mesurer un angle sans connaître son sommet, avantage précieux daiïs beaucoup de circonstances. Malheureusement cet avantage est compensé par un inconvénient grave : c’est que les oscillations continuelles de l’aiguille aimantée empêchent de lire avec précision sur le limbe de la boussole. Néanmoins cet instrument est fréquemment employé pour la mesure des angles, et principalement lorsque l’on a besoin d’un résultat prompt, sans tenir à une exactitude rigoui*euse.

Ü5. TiiËonÉME. — Deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux {ou sup^ plémentaires.) Soient ABC et DEF (hg. 54) deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun, savoir : E perpendiculaire à B A, et F E perpendiculaire à BC; je dis que ces deux angles sont égaux. En effet, par le point B, menons B H parallèle à EF, et B1 parallèle à ED, l’angle HBI sera égal à FED en vertu du théorème précédent. De plus, B A étant per- ])endiculaire à DE sera aussi perpendiculaire à sa parallèle B I , et B C étant perpendiculaire à F E sera aussi perpendiculaire à sa parallèle B H. Il résulte de là que les angles IBA et H BC sont droits, et par conséquent égaux ; et si l’on retranche de chacun d’eux la j)artie commune UBA, les restes IBH et ABC seront égaux. Mais IBH est égal à DEF; donc DEF est égal à ABC.

S’il s’agissait de l’angle DEF', qui a aussi ses côtés perpendiculaires à ceux de l’angle ABC, on voit que cet angle étant le supplémentée DEF est 'aussi le supplément de A B C.

6‘2 PRU.MIÈRK partik;

Donc deux angles qui ont leui's côtes perpendiculaires chacun à chacun sont égaux ou supplémentaires. S’ils sont tous deux aigus ou tous deux obtus , ils sont égaux ; si l'un des deux est aigu et l’autre obtus, ils sont supplémentaires.

96. Applications. On emploie dans les ornements de l’architecture des parties saillantes qui ont reçu en général le nom de moulures, et l’on étend ce nom aux figures planes qui en représentent le profil. Le trace des moulures offre des exemples de .l’emploi des perpendiculaires et des parallèles.

Les moulu i*es sont droites, cii’culaires ou composées, suivant qu’on y fait usage de la ligne droite, du cercle, ou de l’un et de l’autre à la fois. IVous ne parlerons pour le moment que des moulures droites.

Le flet (lig. 55) estime moulure droite dont la saillie égale l’épais-seur. Pour le tracer, soit IH la droite sur laquelle il doit faire saillie; prenez sur cette droite une longueur ab égale à l’épaisseur assignée au filet; élesez par les points aeib les perpendiculaires me et nd; prenez ma et n b égaux à a h, et joignez ru n. On donne quelquefois au filet le nom de Itstel.

La plate-bande (fig. 56) est une moulure droite dont l’épaisseur est beaucoup plus grande que la saillie. Elle se trace par une construction analogue à la précédente.

C’est encore à l’aide des perpendiculaires et des parallèles que l’on trace les guillochis (fig. 57), usités dans l’ornement. Dans cette figure , les sommets des angles inlérieui*s les uns aux autres successivement sont placés sur une même ligue droite qui est leur bissectrice commune; et toutes les parallèles consécutives sont équidistantes.