Tuéouéme. Deux parallélépipèdes rectangles
quelconques sont entre euss comme les produits de leurs trois iUmensions . Soient A , B , D les trois dimensions d'un parallélépipède rectangle , ou les tiois arêtes qui aboutissent à un même sommet, et soit P le volume de ce parallélépipède. Soient de même ayb,d les trois dimensions d'un second parallélépipède rectangle, dont nous désignerons le volume par p. * ' >'*■
Concevons, en outre, deux autres parallélépipèdes rectangles: le premier, ayant pour dimensions A, B, et un.voiume représenté par Q; le second, ayant pour dimensions k^b,d, et un volume représenté par B.
Les deux parallélépipèdes P et Q auront deux dimensions communes, savoir : A et B; et si on leur donne pour base, la face qui contient ces deux arêtes, ils auront même base, et seront, par conséquent, entre eux comme leurs hauteurs ^ c’est-à-dire comme leurs troisièmes dimensions, et on aura * ' '
' Il est facile de voir que , par une raison analogue , on aura de même
et R : : A : a.
Multiplions ces trois proportions terme à terme , en supprimant les deux facteurs Q et R qui deviendraient .communs aux deux ternies du premier rapport, il .viendra :
ConoLT.Ainc I. Deux parallélépipèdes rectangles qui ont Une dimension commune sont entre eux comme les pro~ ’duits des deux autres. Car si dans la pi’oporlion précédente on suppose D = r/, les deux termes du second rapport auront un facteur commun que l’on pourra supprimer, et il restera
Appucatiox. Les volumes de deux murs qui ont
GKOMIÎTRIF. DANS l’eSPACF. 5<>9
même épaisseur sont entre eux comme les produits de leur hauteur par leur longueur. Si, par exemple, le premier mur a 20™ de long sur 2™, 5 de haut, et le second 15™ de long sur 3™ de haut, et que le volume du premier soit de 40™ pour avoir le volume du second, il faudra poser la proportion
X : 40™ *-»'! : : 15™ X 3'" : 20™ X 2™, 5; d’où jr = 36™ '"*>. Corollaire II. Si le second parallélépipède rectangle était un cube qui eût pour arête l’imité de longueur, le volume que nous avons désigné par p serait alors l’unité de volume ; et si l’on nomme u l’unité de longueur, ou auraità la fois a = u, b=u, r/=«,et la proportion obtenue plus haut deviendrait
On tire de là
P uX«Xu U
Or, c’est-à-dire le rapport qui existe entre le volume du parallélépipède rectangle et l’unité de volume, c’est le nombre d’uuités de volume contenues dans le
volume de ce parallélépipède; ou le rapport qui existe
entre l’arête D du parallélépipède et l’unité de longueur, c’est le nombre d’unités de longueur contenues
dans cette arête, de même ” et * expriment le nombre
d’unités de longueur contenues dans chacune des arêtes B et A. L’égalité (1) signifie donc que le nombre d’unités de volume contenues dans un parallélépipède rectangle équivaut au produit des nombres d’unités de longueur contenues dans ses trois dimensions , ou , en d’autres termes , que le volume d’un parallélépipède rectangle a pour mesure le produit de ses trois dimensions , ou des trois arêtes contiguës h un même sommet. Nous retombons ainsi sur le théorème du n° 690.
Corollaire III. Si l’on voulait former un cube qui
fût équivalent en volume nu parallélépipède rectangle * - » '
570 spco?mE p vnnp.
dont les trois dimensions sont A,B,l), il faudrait, en nommant x l’arête de ce cube, poser l’égalité
4?X«X«»^AXBXD,oux»»»AXBXD;
d’oîi j-=|/a X b X D, '
c’est-à-dire que pour oblenir l’arête de ce cube, il faut ‘mulliplier entre elles les trois dimensions du parallélépipède rectangle, et extraire la racine cubique du produit.
Appmcatiox. Si, par exemple, un parallélépipède rectangle avait 2“>,4 de longueur, t“,8 de largeur, et 0*n,4 de hauteur. Son volume serait 2“>,4 X X 0>“,4, ou l“‘-«'h,728. La racine cubique de ce nombre e.st l'",2; ainsi un cube qui aurait pour arête 1“>,2 serait équivalent en volume au parallélépipède proposé.
Remarque . L’opération qui a pour but de transformer un corps quelconque en un cube équivalent, se nomme cubature. Lorsque le volume du corps proposé est réduit en nombre, sa cubature n’est plus qu’une opération d'ariUimëtique ; car en extrayant la racine cubique de ce nombre, on obtient l’aréte du cube équivalent.
724. — Applic.vtio.xs. On employait autrefois, et l’on emploie encore, dans quelques circonstances, un mode de subdivision de la toise cube, fondé sur les deux théorèmes qui précèdent.
Dans ce système , au lieu de subdiviser la toise cube en 216 pieds .cubes, on la subdivise en six parallélépipèdes rectaiigles ayant pour base une toise carrée et un pied de hauteur, auxquels on donne le nom de pied de toise cube , ou (le toise-toisé-pied y et qu’on désigne par les initiales TT P.
Chaque pied de toise cube se subdiv ise en douze parallélépipèdes rectangles , ayant pour base une toise carrée et un pouce de hauteur, auxquels on donne le nom de pouces de toise cube, ou de foise-toise-pouces , et . qu’on désigne par les initiales 'ï'tp. ,
Chaque /^oucc de toise cube se subdivise à son tour en
GlîOMtTBIE DA?rS L*ESPACE. 571
douze parallélépipèdes roelangles, ayant pour base uhe toise carrée et une ligne de hauteur, auxquels on donne le nom de lignes de toise cube, ou de toise-toise-lignes j et qu’on désigne par les initiales TT/;
Pour mettre de runiformité dans les signes i on désigne la taise cube elle-,nr.ême par les initiales TT T, qui signifient toise-toisc-toisc , c’est-à-dire un parallélépipède rectangle, ayant pour base une tôîse carrée et une toise de hauteur.
On voit , d’après cela , que la toiso cube vaut 6 pieds de toise cube , ou 72 pouces de tçise cube, ou 904 lignes de toise cube ; que le pied de toise cube vaut \2 pouces de toise cube , ou 144 lignes de toise cube ; enfin que \e pouce de toise cube vaut 12 lignes dé toise cube,. '
Si l’on compare \épicd de toise cube au pied cube, on voit que ces deux parai lélépipèdes reotangh)s peuvent être considérés comme ayant tous deux 1 pied de hauteur, et pour base, l’un une toise carrée, l’autre un pied carré ; en sorte que le premier est au second comme la toise carrée est au pied car}*é, ou comme 3Q est à 1 , c’est-àdire' que le pied de toise cube vaut 36 pieds cubes.
Il suit de là que le pouce de toise cube, qui est la 12® partie du pied de toise cube, vaut la 12" partie de 36 pieds cubes,' c’est-à-dire 8 pieds cubes. . i
La Uf^ede toise cube ,q\\\ est la 12" partie du pouce de toise ei4bc,\a\it donc aussi la 12® partie de 3 pieds cubes, ou le quart d’un pied cube, c’est-à-dire 432 pouces eubes.i ' . ' * J '
Ce mode de subdivision a pour but de faciliter lé calcul des nombres complexes. Pour en donner un exemple, suppo.sons qu’un massif de maçonnerie ayant la forme d’un parallélépipèilc rectangleait 2’*’- 4P- llP- de hauteur* et que l’aire de sa base, mesurée dans le même système, soit de ôTT 6i p8‘ p6T1. Opérons la multiplication par la méthode des parties aliquotes, en remarquant que le produit des toises par les toises carrées exprime ^çs toises cubes , que le produit des toises par les toise-pie^ls exprime des toise-toisc-piçds; que le produit des .toises parles toise-pouces exprime toise - toise -pouces , et
D-j--- Od by CjUvj^I
que le produit des toises par les toise-lignes exprime des
toise-toise-lignes ; nous aurons :
8tp, . . .
Pour I». . .
8ttp . . .
6ttJ
lO
lo A
iP. . .
Il ^
iP. . .
Total
S^Tp . . .
Si l’on veut convertir ce résultat en toises cubes , pieds cubes et pouces cubes, on remarquera que la ligne de toise cube valant 432 pouces cubes, les d’une ligne de toise cube valent les ^ de 432 pouces cubes, c’est-àdire 2521*
La ligne de toise cube vaut 432i*'“*^.
Les 8"p valent 8 fois 3‘‘ «***^, c’esl-à-dire. . 24^
Les 4^»'’ valent 4 fois 36*’<™*>, c’est-à-dire. . ^
Enfin les IG”' représentent 16^
En réunissant ces diverst^s parties, on obtient pour résultat
KjT.cub 684p-'^“*’.
Nous n’avons pas besoin de faire remarquer combien le système mélricjue l’emporte en simplicité sur cette méthode de subdivision, quelque commode qu’elle puisse paraître.
On emploie, pour la mesure des bois de construction , une autre espèce d’unités de volume, nommées solh-es. La solive est un parallélépipède rt'ctangle, dont la base est un carré de 6 pouces de cdté, et dont la hauteur
