Théorème. Toute sphère est les deux tiers du

cylindre circonscrit (ü8â). Car, .si l’on nomme R le rayon de la sphère, .son volume V aura pour expression J et celuidu cylindre que nous représenterons

par V' aura pour mesure '3tR*X2R, ou 2'n’R®. Or, en prenant les de V , on obtient pour résultat ^-ttR*, c’està-dire la valeur de V.

Remarque. L’aire de la surface de la sphère est aussi les 5 de celle de la surface totale du cylindre circonscrit, en y coniprenaut les deux bases; car celle-ci a pour mc-

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GÉorETRlE DANS l’esPACE. 577

sureSwRx 2R + 2»R*,ou6^R*,dont lesfsont ^»R»,

. Çesl-a-dire l’aire de la surface de la sphère (077, LorolJ. I). ^

729. — Théorème. /)chj* tétraèdres qui ont un ansrle tnedre égal sont entre eux comme les produits des arêtes

?'a R n Soient

SABD et 0M]N P (fig. 602) deux tétraèdres qui ont les

angles triedres égaux S et O. Sur les arêtes correspondantes, prenons les longueurs Sa, S ^d, respectivement égalés a0M,0IS,0P; et joignonsa^, bd,ad. nous déterminerons un nouveau tétraèdre Sa oui sera égal au tétraèdre ÔMNP, puisqu’ils auront trois laces égalés chacune a chacune , et semblablement disposées (589).

♦ *^^L*^* points A, hyd, faisons passer un plan, les tétraèdres Sa^.r/ et SA/>r/ peuvent être considérés comme ayant pour sommet commun le point b; leurs bases Sa et SA étant situées dans un même plan, ces tetraedres ont même hauteur, et sont entre eux comme leurs bases (726). Or, ces bases elles-mêmes sont des triangles de meme hauteur, qui sont, par conséquent, entre eux comme leurs bases. On a donc :

Sairf :SAô</:: Sa : SA.

Par les points A, B, r/, faisons passer un plan • les tétraèdi.» S.U./etSABrfont pour sommet \Lmmm îo point ./; leurs bases SAb et SAB sont sur un même plan; ces tetraedres ont donc même hauteur, et sont entre eux comme leurs bases, qui elles-mêmes sont entre elles comme les arêtes S et SB. On a donc :

SAbd:SABd::Sb:SB.

Si l’on compare enfin les tétraèdres SAB r/et SABD on voit qu’ils ont pour sommet commun le point A • leurs ba^s S Br/et SB D sont sur un même plan ; ils ont donc même hauteur, et sont entre eux comme leurs bases, qui elles-mêmes sont entre elles comme les arêtes O a Cl St». On a donc :

SAB«/: SABD:: S^/: SD.

578 SECOJVDE PARTIE*

Si Ton multiplie ces trois proportion^ terme ù terme, eu obser'Oint que les facteui’S SA,6</etS ABri tleviendraient tous deux communs aux deux termes du prenaier rapport, et que, par conséquent, ou peut les supprimer, on aura :

Sa6^/; S ABD:: S«X XSrf: SAXSB X SD... (I);

et, en remplaçant enfin les quantités Sabcl, Sù, Sri par leurs égales OMISP, ÜM, ON, OP, il vient:

OMNPrSABD :: OM X ON X OP : SA X S B XSD,

ce qui revient à l’énoncé du théorème.

Corollaire. Ce théorème pourrait servir h évaluer le volume du tronc de pyramide ABDr/bri, dont la base supérieure n’est point parallèle à la base inférieure, si l’on connaissait le volume du tétraèdre S AB D, et qu’on pût mesurer les arêtes SA , SB , SD et S«, Si, Sri. Car, à l’aide de la proportion (ij, on déterminerait le volume du tétraèdre S a i </; et, én le retranchant de celui du tétraèdre total , on aurait le volume du tronc.