Tuéorême. De/tJr tétraèdres semblables sont entre

'eux comme les cubes rie leurs arêtes homologues. Soient SABCet.vrtic (fig. 505) deux tétraèdres semblables : les deux angles trièdres S et ^ étant égaux, on aura, d’après le théorème précédent ,

SABC s abc '.'.S AXSB y,SQ.'. sa\s by<C,sc... (1).

Or, à cause de la similitude des deux tétraèdres , on a

•'(594, Rem. 1) : ,

^ SB : J i : : S A : rt. . • • • (2)

SC:<)'c::S A \ s a. . . . . . . . 13) .

Mais on a aussi la proportion identique

S A ’. s a : : S A .sa». , i . f4).

» Multiplions terme à terme les trois proportions (4), (2) et (8), il viendra : ^

SA XSB X SC : saX^bX^c-' SA Ctf/* . . . (5). Les deux proportions (I)ct (5) ayant un rapport coni-

Di ^1 by Gooitle

GEUM^ntlK DANS LESPACE. '579

miAQ r deux autres rapports sont en propoption , et l'on a :

• 'Toutes les arêtes homologues étant proportionnelles, leurs cubes sont égalcmeot proportionnels; lés volumes des' deux tétraèdres sont donc entre eux comme les cubes de deux arêtes homologues quelconques.

CoBOLLAiRE. — Les ai'êtcs homologues étant proportionnelles aux hauteurs (.'>94, Rem. II), les cubes des arêtes homologues sont entre eux comme les cubes des hauteurs ; on peut donc dire aussi que eieux tétraèdres semblables sont entre eux comme les cubes de leurs hauteurs.

7J1. — TbAobEme. Deux pyramides semblables sont entre elles comme les cubes des arêtes homologues. Eu etTet, deux pyramides semblables peuvent toujours se -décomposer en un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et semblablement disposés. Soient V le volume de ruiie des pyramides, M, N, P, etc., le volume des divcM tétraèdres dans lesquels cette pyramide est décomposée ; A , B , C , etc., une arête quelcon- .quo de chacun de ces tétraèdres. Soient v, m, n, p, etc., a, by Cj'etc., les parties homologues de 1a seconde pyra- .mide, on aura, à cause de leur similitude^

. ..I , A : a B : 6 : : C : c : : etc.; ‘ • ’

'd'où A^ : «3 : : B® : : : C’ ; c® : : etc. . . . (l). ,

' On aura aussi , en vertu du théorème précédent ,

(3) M : /M : : A* : a*; N ; /I : : B* : è*; P : ; C® : c*; etc.;

. d’qù il r^ulte, eu vertu de la suite de rapports égaux (I) ,

. i s M : ; N : n : : P :/j : : etc. ‘ '

Mais, dans une .suite de rapports égaux, la somme deâ.apicçédanis est à U spipiuve des conséquents comme

580 SECONDE PARTrE.

un antécédent est à son conséquent; on peut donc écrire :

M + N-f-P 4-ctc. : m-irn-\-p-\-etc. :: M : w.

Or, M-hN-hP-hetc. exprime le volume V de la première pyramide, et m-\-n -^p-^etc. exprime le volume V de la seconde; on a donc :