CHAPITRE VI

• Propiiclés du cealt; relatives aux perpeudiculaires.

97. — Théuuëme. Le milieu d’un arc, le milieu île sa corde et le ce/iire du cercle sont toujours sur une même

CtOMÉTRIE PLANE. C3

droite perpendiculaire à cette cordt'. Soit C(fîg. 58) le milieu d’un arc AB. Puisque les arcs CA et CB sont égaux, leurs cordes sont égales; donc le point C est à égale distance des points A el B. De même, le point O étant le centre du cercle est également distant des deux points A et B. 11 en résulte que si l’on mène OC, cette droite aura deux de ses points à égale distance des extrémités de A B; elle sera donc perpendiculaire sur le milieu I de cette corde (75).

Corollaire I. Par un point pris hors d’une droite, on ne peutabaisser sur cette droite qu’uneseule perpendiculaire; donc .VI du centre O d'une circonférence on abaisse une perpendiculaire sur une corde A B , elle divisera cette corde et l’arc sous-tendu en deux parties égales.

Corollaire U. Par un point pris sur une di*oite, on ne peut élever qu’une .seule perpendiculaire à cette droite; donc si l’on élève une perpendiculaire sur le milieu et une corde AB,, cette perpendiculaire passera par le centre.

98. — Problème. Par trois points A, B, C (fig. 59), non en ligne droite, faire passer une circonférence de ccrc/c. Joignez AB et BC; ces droites seront des cordes de la circonférence demandée. Sur le milieu de chacune de ces cordes, élevez les perpendiculaires mm’ et nn' ; d’après le corollaire qui précède, ces deux perpendiculaires devront passer par le centre de la circonférence; ce centre se trouve donc à l’intei’section de ces perpendiculaires; et si de cette intersection O comme centre, avec la distance OA pour rayon, on décrit une circonférence, elle pa.ssera par les points B et C.

On peut d’ailleurs .s’en rendre compte d’une autre manière, en ob.servant que le point O, appartenant à la perpendiculaire mm' élevée sur le milieu de AB, est également distant des points A et B, et que, par une raison analogue, il est également distant des points B et C , c’est-à-dire qu’il est à égale distance des trois points A, B, C.

Remarque I. Si ces trois points ne sont pas en ligne droite, les perpcndiculairés mm' eXnn .se rencontre-

ront toujours^ car, dans le cas contraire, elles seraient parallèles , et B m , qui est perpendiculaire à l’une , serait en môme temps perpendiculaire à l’autre; mais déjà B/c est perpendiculaire à cette autre; il y aurait donc dn point B deux perpendiculaires abaissées sur nn' , ce qui est impossible. ■ • -

Remarque IL Si Ifô trois points donnés étaient en ligti« droite, les perpendicidaires mm' t^nn seraient parais lèles (80) et ne se rencontreraient pas. Par trois points en ligne droite, on ne peut donc pas fkire passer une circonférence de cercle, ou, en d’autres termes, une ligne droite ne peut avoir plus tle deux points commune avec une circonférence. -