FIN DE LA OÉOMÈTRLE

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DU CE^TllE DE GRAVITÉ DES CORPs'

740. — Le point que l’on appelle le tlegrai'itê d'un corps, et qui joue un rôle si important dans la mécanique et dans l’art des constructions, peut se déterminer par des considérations purement géométriques et complètement indépendantes de toute idée de pesanteur. La recherche du centre de gravité des corps nous parait donc devoir former le complément indispensable de l’étude de la Géométrie; elle offre en môme temps une des plus importantes applications des préceptes de cette science, et peut quelquefois môme venir à son secours.

Nous diviserons cet appendice en trois paragraphes : dans le premier , nous établirons les principes sur lesquels se fonde la recherche du centre de gravité; dans le second , nous passerons à l’emploi de ces principes; nous montrerons , dans le troisième, comment la considération du centre de gravité peut être mise à profit pour la mesure de certaines aires et de certains volumes.

Du centre des moyennes distances , et principes fondamentaux.

741. — Soient A et B (fig. 603) deux points quelconques de l’espace; joignons ces points par une droite, et soit O le milieu de cette droite. Des points A. O, B abaissons sur un plan quelconque MN les perpendiculaires AP, OR, BQ. Ces perpendiculaires seront parallèles entre elles et situées dans un même plan , qui coupera le plan AIN suivant unç droite PQ. La ligure A PQB sera un

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trapèze, et la droite OR sera menée par le milieu O de l’un tics cotés de ce lrai)èze parallèlement à ses bases : celte droite O 4 sera donc égale à lu demi-somme de ces bases (321), c’est-à-dire que la perpendiculaire OR sera une moyenne entre les deux perpendiculaires AP et BQ. Kl comme le plan MIS’ est quelconque, on voit que le point O jouit de cette propriété, que sa distance à un plan quelconque est une moyenne entre les distances des points A et B à ce même plan.

742. — Soient A, B, C (fig. 604) trois points quelconques de rcsj)acc; joignons AB, et soit O le milieu de cette droite ; joignons CO , et partageons cette droite au point I, de manière que CI soit à 10 comme 2 est à I. Des points A , B, O , C , I abaissons sur Un plan quelconque MN les perpendiculaires AP, BQ, OR, CS, IT. La perpendiculaire OR sera une moyenne entre les perpendiculaires AP et BQ, d’après ce que nous venons de voir.

Les perpendiculaires CS,IT,0R seront parallèles entre elles et situées dans un même plan qui coupera le plan 1\IN suivant une droite SB. Dans le plan de ces perpendiculaires menons, parle point I, la drpite nm parallèle à SR. T.es Iriapgles Cl/« et 01 «seront semblables , et l’on aura

Ctn : 0/i : :CI:IO: :2:1; d’oîi C/« ^ i.On.

Or, on a aussi

C/«=wS— CS=1T— CS; elO«=OR— «R = 0R— IT; donc IT— CS=2.(OR— IT)=2.0R — 2. IT;

d’où l'on tire 3.IT=2.0R +CS ;

mais OR étant une moyenne entre AP et BQ , on a 2.0R = AP + BQ.

Il vient don eiiflii ' ' ‘ - ’ ' ^ i