T=AP+BQ-)-CS; d’où IT=i (AP-h^Q-fCS

c’est-à-dire que la perpendieitlairelT estiunemoj enne enti*e les trois perpendiculaires AP , BQ et CS. Et cBmme le plan MJN’ est qnelconqqe, op voit que le poiilt 1 jouit de cette propriété, que sa distance à>uU plan quelconque

Digilized by ^

esl uneiinoyennet entre lesi distances des trois ppints A, B, C à ce même plan. i. i.<> < i.,l

743. Lorsqu’un point jouit de cette propriété, quesa distance à un plan quelconque soit une moyenne ent;*e les distances de plusieui’s autres points h ce même plan , on lui donne le nom centre'tle.v moyennes distaPtces du système formé par ces points. Nous allons faire voir qu’un système qiielconque de points a toujours son cen-'*’ ti’c des moyennes distances. . u-; i*-', »

Admettons en effet que cette propriéttî se vérifie potiri un système quelconque formé d’un non^re n de points^ il est facile de prouver qu’elle se yéidfiera encore pour uni .système compo.sé de « -f- 1 points. Pour ledémontrerp soit O (fig. C05) le centre des moyennes di.stahcés d’un système quelconque de « points que nous nommeron$'

A , B , C , D T, et soit U un nouveau point quel?

conque ; joignons U O , et divisons cette droite au point l en deux parties U1 et 10, qui soient entre elles'commé* n est à 1 . Des n premiers points ^ que nous n’avons point marqués sur la ligure, afin d’éviter la confusion,' imagi* lions que l’oii abaisse sur un plan quelconque MN dès perpendiculaires que nous nommerons a,b,c,d..i.t. Des points O, I, U abaissons sur le même piauliez perpendiculaires OR, I Z, US, et appelons «cette dernière.

Les perpendiculaires OR, IZ, US seront parallèles entre elles et situées dans un même plan, qui coupeba le plan MN suivant une droite SR. Dans le plan de ces perpendiculaires, menons, par le point I » la droite parallèle à SR. Les triangles Ulm et OI/> seront sem-|

U/7i = mS— US=IZ-US; et 0/?=0R -^/>R*OR-IZ

blables^ et l’on aura'

Uw i 0/7 : : TJI : lO : : « »■ '

Or, ou a aqssi

1 ; d’oirU m =n X Op

• Or, OR' étant untt moyenne entre les n perpendicti* laires a, c, r, on a

’ fl X OR n -j- b -j— c d m . — f- t.

Il vient donc enfin

<*dou IZ = — ,

c’est-à-dire <jue I Z est une moyenne entre tes n-f-1 perpendiculaires a, b i Cy d t, U. VX comme 'le plan

M N est quelconque , on voit que le point I jouit de cette propriété, que sa distance à un plan quelconque est une moyenne entre les distances des « -+- 1 points

A , B , C, D T, U, à ce même plan , c’est-à-dire

que le point I est le centre des moyennes distances du système fonné par ces n-\- 1 points.

Il résulte île ce qui précède, qu’un système quelconque de points a ><on centre des moyennes distances; car la proposition étant vraie pour un système quelconque de trois points (742), d’après la démonstration ci-dessus cette proposition sera encore vraie pour un système quelconque de 4 points; étant vraie |)our un système quelconque de 4 points, elle le sera |x>ur un système quelconque de r> points; puis pour un système quelconque de 6 points, et ainsi de suite indéfiniment, jusqu’à un système composé d’un nombre quelconque de points.

744. — On reconnaît d’ailleurs sans peine qu’un systèmequelconque de points ne peut avoir qu’un sëul centre des moyennes distances. Car supposons qu’il en puisse exister deux, I et I' (fig. 606) pour un même système; joignons II' et menons par un point quelconque Z de cette droite ou de son prolongement le plan MN perpendiculaire à cette droite. La distance IZ serait la moyenne entre les distances de tous les points du système au plan M N ; mais T Z serait au.ssi la moyenne entre ces mêmes distances ; ces distances auraient donc deux moyennes différentes , ce qui est absurde. Par conséquent , un système quelconque de points a toujours un centra des moyennes distances y et n’en a, qu’un seul. ,

APPENDICK. 503

.745. — “ Lorsc|u’on connait Ips centres des moyennes distances de deux systèmes de jmints différents, on peut en déduire facilement le centre des moyennes distances du système total formé par tous ces |)oints.

En effet , soit O ( fig. 605) le centre des moyennes distances d’un système de n points; U le centre des moyennes distances d’un autre système de ri points; joignons U O ; et divisons cette droite au point I , en parties réciproquement proportionnelles à /i et à n', c’est-à-dire de telle sorte qu’on ait

TJ I : I O : : « :

Soit M N un plan quelconque; de tous les points du système dont le centre est O , abaissons sur ce plan n perpendiculaires, que nous nommerons a, b, c , d , . . . t; de tous les points du système dont le centre est TJ, abaissons sur ce même plan h perpendiculaires , que

nous nommerons a, U , c , et s ; abaissons enfin

sur ce même plan les perpendiculaires OR, US et 1 2. Ces trois dernières perpendiculaires seront parallèles entre elles et situées dans un même plan, qui coupera le plan MN suivant une droite SR. Dans le plan de ces ]>erpendiculaires , menons, par le point I, la droite mp parallèle à SR. Les triangles U I w et O I/? seront semblables , et l’on aura

U/// ; 0/> : : U 1 : 10 : : /z : w'; d’où «'X U w = « X O/?.

Or, on a aussi

TJ m = ;«S— US=I Z —US ; et 0/>=0R— R = OR— IZ; donc «' X (IX — US) = /i X (OR— IZ); ou n' X IX — /z' X TJS = « X OR — /Z X IX. i

On lire de là

«' X IX /Z X I X = /Z X OR -h /z' X TJ S ; ou (»-+-«•) X IX = « X OR -h /z' X TJS (1).

Mais OR étant une moyenne entre les n perpendiculaires afbfCydf....tyÇm9i

zz X O R — CL -|- b c — I" lit • % t . • -4*

- by Goo<;Ii

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APPEBrüICE..

De raêm(' US ëtent une nwyeone entre letn’ perfien» <Jiculaires<r'i, j c', «f , . i ; ; . 5., on a . ' ' * .

' ' n'XVfit=a' + h'

L’égalité (1) devient donc * ‘ ‘ •

I Jr O + i rh f.- ■ r' • • + f -t- o' + i'i •¥ *'• ini » +. ‘

Or, lespei'pendicolaires^, b,Cjelù..> étant au nombre de n, et les perpendiculaires à, b', c, etc.,au nombre de «> la second membrederégaliléquiiprécède exprime la somme de ces perpendiculaires, divisée par leur nombre, c’està-dire la' mrtverine entre toutes lés pei-pendiculaires. ïît comme le plan M N est quelconque, ôn voit que le point I jouit de cette propriété, que sa distance à un plan' quelconque est une moyenne entre les distances de tous les pdiiils du système total au même plan , c’est-à-diré que le point 1 est le centre des moyennes distances de ce système total.

Ainsi , lorsqu’on connaît les centres des moyennes di~ stances de deux systèmes quelconques de points , pour obtenir le centre des moyennes distances du système total y il faut dh’iset la droite qui joint les deux premiers centres en deux parties , réciproquement proportionnelles aux nombres de points dont se composent les deux systèmes.

746. — Un corps de fohne quelconque peut toii jours être divisé par la pensée en parties équivalentes assez petites pour que les dimensions de chacune d’elles soient inappréciables*, on donne à ces petites parties le nom à’éléments de volume. Concevons deux corps décomi* posés en ; élémeuta équivalents, non-seulement pour chaque corps, mais encore d’un corps à l’autre. 5oit V le volume clu premier corps, n le 'nombre de ses éléments, V’ lé vblunàe'dd second >'et n' le ndmbre de ses éléments. Les dimensions de chaque élément étant nér gligeabies , chacun d’eux pourra être considéré comme ilh poitit; le corps dont lë voluhie est V formera donc un système de n points , ét le corps dont le volume est V formera un système de «' points; bupposona que par

ÀPPSflDlCE.

un moyen quelconque on ait déterminé les centres des moyennes distances de ces deux systèmes de points; pour avoir le centre des moyennes distances du système total, il faudra, d'après ce que nous venons de voir, joindre les deux pmuiers centres par une droite, et la diviser en deux parties réci|)roquement proportionnelles aux nombres /< et n. Mais ces nombres sont évidemment proportionnelseux-mèmesaux volumes V et V, puisque tous les éléments sont équivalents; on obtiendra donc le centre des moyennes distances du système total, en divisant la droite qui joint les deux premiers centres en deux parties réciproquement proportionnelles aux volumes des deux corps.

Ces considérations , fondées sur ce qu’un élément de volume peut être regardé comme un point , seront d’autant plus légitimes que les éléments seront plus petits, et elles seront tout à fait rigoureuses si l’on suppose ces -éléinents infiniment petits.

747. — Dans les corps honmgènes , c’est-à-dire dont chaque partie a un poids proportionnel à son volume, le centre des moyennes distances de tous les éléments infiniment petits jouit d’une propriété remarquable : c’est que l’action de la pesanteur sur le corps est la même que si toute sa masse était concentrée en ce point; en sorte que si l’on soutient le corps par ce point, il demeure en équilibre, quelque position qu’on lui donne. C’est en raison de cette propriété qu’on a donné à ce point le nom de centre de ç^raeilê.

On comprend combien la considération du centre de gravité, soit des corjis isolés, soit des différents systèmes de corps, peut avoir d’importance dans toutes les questions de Mécanique, et surtout de Mécanique appliquée, juiisque tous les cor[>s à notre usage sont soumis aux lois de la pe.santeur. Son importance n’est pas moindre ^ans les constructions de tout gennî; on démontre qu’un corps ne peut se maintenir dans une position fixe sur le sol ou sur un plan horizontal quelconque, qu’autant que la verticale menée par son centre de gravité pas.se dans l’intérieur de la face qui lui .sert de base , et

59d APPENDICE.

par laquelle il repose sur le sol ou sur ce plan; el Ton juge du degré de stabilité de ce corps par la distance du pied de cette verticale à l’arête de la base qui est la plus voisine de ce pied.

Dans les corps homogènes, la détermination du centre de gravité n’est qu’une question de Géométrie. Dans les corps hétcroçrènes , c’est-à-dire dont toutes les parties n’ont pas un poids proportionnel à leur volume, le centre de gravité , bien qu’il existe encore, ne se confond plus nécessairement avec le centre de moyennes distances de ses éléments infiniment petits; en sorte que sa détermination, dans le cas le plus général , est plutôt une question de Physique qu’une question de Géométrie. IVous ne nous occu|>erons donc que du cas où le corps est homogène, ce qui d’ailleurs a le plus souvent lieu dans les applications, du moins approximativement.

748. — Principe I. D’après ce que nous avons dit tout a l’heure, si l’on a les centres de ffraeité de deux corps , pour obtenir le centre de gravité du système total formé par ces deux corps, il faut joindre les deux premiers centres par une droite et diviser cette droite en deux parties réciproquement proportionnelles aux volumes de ces corps. Tel est le principe fondamental de la théorie du centre de gravité.

On peut évidemment le généraliser comme il suit :

Si l’on a les centres de gravité de deux systèmes de corps , pour obtenir le centre de gravité du système total, il faut joindre les deux premiers centres par une droite , et diviser cette droite en deux parties réciproquement proportionnelles aux volumes des deux systèmes.

On peut, au contraire, appliquer à deux parties d’un même corps ce que l’on a dit de deux corps différents, et le principe s’énonce alors ainsi :

lorsqu’un corps est divisé en deux parties dont on connaît les centres de gravité , pour obtenir le centre de gravité du corps lui-même , il faut joindre les deux premiers centres par une droite et diviser cette droite ert deux parties réciproquement proportionnelles aux volumes des deux parties.

749. — De ce pi'inci|>e fondamental découlent plusieurs conséquences importantes dont on fait une application continuelle dans la recherche du centre de gravité.

Principe II. Pour obtenir le centre de gravite de t ensemble de plusieurs corps , il faut déterminer le centre de gravité du système formé par les deux premiers corps ; puis le centre de gravité du système formé par V ensemble iles deux premiers et par le troisième , puis le centre de gravite du système formé par V ensemble des trois premiers corps et par le quatrième , et ainsi de suite.

Ce que l’on dit ici d’un système formé par plusieurs corps différents, s’applique (évidemment au système formé par les parties d’un même corps.

Principe 111. 11 résulte, de cette manière d’opérer, que si l’on a à déterminer le centre de gravité de l’ensemble de plusieurs corps équivalents, on devra joindre les deux premiers centres, diviser la droite de jonction en deux parties égales ; joindre le point de division avec le troisième centre, diviser la droite de jonction en deux parties réciproquement proportionnelles à 2 et à 1 ; joindre le point de division avec le quatrième centre, diviser la droite de jonction en deux parties réciproquement proportionnelles à 3 et à 1 ; joindre le point de division avec le cinquième centre, diviser la droite de jonction en deux parties réciproquement proportionnelles à 4 et à 1 , et ainsi de suite.

Cette construction est précisément celle qu'il faut employer pour obtenir le centre des moyennes distances du système formé par plusieurs points ( 74 1, 742, 743). Ainsi donc , pour obtenir le centre de gravité de l’ensemble de plusieurs corps équii'alents , il faut déterminer séparément le centre de gravité de chacun cFeuXy et chercher le centre des moyennes distances du système formé par ces divers centres de gravité.

Ce que l’on dit de plusieurs corps équivalents s’applique à plusieurs parties équivalentes d'un même corps.

Principe IV. Il résulte encore de la manière d’opérer, indiquée dans le principe II , que si les centres de gravité

tic f/Utsieurs eorps sont sur un meme plan ou sur une même droite , le centre de gravité de leur ensemble sera aussi sur ce plan ou sur cette droite.

Ce que l’ou dit ici de plusieui’s corps différents s'applique aux diverses parties d’un même corps. ‘

Phi.ncipk V. yii un corps a un plan de symétrie, soti centre de gt avité est dans ce jdan. Car les centres de gravité de ses deux parties sont évidemment sur une même perpendiculaire au plan de s;\ métrie et à égale distance de ce plan ; le centre de gravité du corps est donc au milieu de cette ch'oite (principe fomlamental , 748), c’està-dire à sa rencontre avec le plan de symétrie.

Principe VI. Si un corps a un axe de symétrie, son centre de gravité est. sur cet a.ve. Car cet axe étant l’intersection de deux plans de symétrie (635), qui contiennent tous deiLX le centre de gravité du corps, d'après le principe précédent, ce centre doit se trouver sur cette intersection.

Principe VIL Jjorsqu’on cherche le centre de gravité du système formé par deux corps, on peut substituer à chacun d’eux un corps quelconque de même volume et ayant son centre de gravité, au même point. Car, en vertu du principe fondamental (748) , le centre de gi*avité du système ne sera pas changé.

Principe VIH. ün peut, sans changer le centre de gravité eVun système , remplacer à la fois toutes scs parties par des corps dont les volumes soient proportionnels à ceux de ces parties , et qui aient leurs centres de gravité aux memes points. Car, en vertu du principe fondamental (748), la construction indiquée par le principe II conduit au même résultat.