Centre de gravité du contour d’un triangle
Soit ABC (fig. 608) le triangle proposé, IH K le triangle qui a pour sommets les milieux des côtés de ABC. ISous venons de voir que le centre de gravité du système des droites AB et BC est sur la bissectrice de l'angle IKH; d’ailleurs le centre de gravité de AC est le point K : le centre de gravité du système des trois droites AB, BC et A C est donc situé lui-mème sur la bissectrice de l’un-
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glelKU (749, principe IV). On démontrerait de même qu’il doit se trouver sur la bissectrice de l’angle Kl H, et sur celle de l’angle lU K. Il se trouve donc au point de concours ^de ces trois bissectrices, c’est-à-dire au centre du cercle inscrit au triangle IKU (217).
754. — Centre de gravité ffnne lig;«e bbisëe. Soit ABCDEF (fjg. C09) une ligne brisée. Soit g le centre de gravité du système des droites AB et BC. Soit 1 le milieu de CD; joignons g\ et divisons cette droite au point g't de telle sorte qu’on ait la proportion
: : C D : A B -j- B C. Le point g* sera le centre de gravité du système des trois droites AB, BC et CD. Soit K le milieu de D Ë ; joignons g'' K , et divisons cette droite au point g", de telle sorte qu’on ait g'g’ ‘g^ ::DE: AB H- BC -h CD. Le point g" sera le centre de gravité du système des quatres droites AB, B C, CD, DE. En continuant ainsi , on déterminera le centre de gravité d’une ligue brisée quelconque.
,0n déterminerait de la même manière le centre de gravité du contour d’un polygone quelconque.
Si tous les côtés étaient égaux, le centre de gravité cherché ne serait autre chose que le centre des moyennes distances des milieux de ces côtés (749, principe 111).
755. — Centre de gravité du cONTOua d’un pahalué- I.OOBAMME. Soit ABCD(fig. 610) un parallélogramme, I , K , L, M le centre de gravité de ses côtés, c’est-à-dire leurs milieux. Le centre de gravité du système des droites A B et CD devra se trouverai! milieu de la ligne IK ; puisque ces droites sont égales. De même le centre de gravité du système des droites AC et BD devra se trouver au milieu delà ligne LM. Or I K et LM se coupent mutuellement en deux parties égales au point g; donc ce point est le centre de gravité cherché.
Ce point est aussi le imint de rencontre des diagonales.
756. — Centre de gravité du contovb d’un polygone BÉGULiER. Tous les ravons et tous les apothèmes étant des axes de symétrie, le centre de gravité du contour
appendice. 001
du polygone doit se trouver sur chacun de ces axes ; il ne peut donc se trouver qu’au centre du polygone où tous ces axes SC rencontrent.
4 ^ f;rcivitr d'un Ane ue cercle. Soit
A B A (fig. Gli) un arc de cercle, O son centre, B sou imueu. Le rayon ÜB étant un axo de .symétrie, le centre de gravité <!e l’arc doit se trouver sur cet axe. II reste donc a déterminer sa distance au centre.
Poiu cela, divisons l’arc A B A' en parties égales, telles
queoi, a.ssez Pfli les pour pouvoir être considérées comme
rectiligne.s. Soit I le milieu de l’arc a 6; joignons I O. Menons la corde A A' ; par le point O menons XY parallèle à celtecorde; abaissons 1 H et bn perpendiculaires sur X Y ; enfin menons a/, parallèle à AD.
Le point I sera le centre de gravité de la petite droite ab; et SI 1 on considéré X Y comme la trace d’un plan perpendiculaire au plan de l’arc, la droite IH sera la distance du point I à ce plan.
Les triangles OlHet^-a/- étant semblables, comme ayant leurs cotes perpendiculaires chacun à chacun, ou a
d’où
IH : 10: : a/>:ab,oyx\l\ : 10 : : ab;
En faisant les mêmes constructions et les mêmes rai,
sonnemenls pour les autres portions d’arc hc cd etc on aurait etc. ^
“ ic ^ — 77 X , etc. ,
ou, en remarquant que les rayons 10, 10, 10 sont égaux , ainsi que les arcs ab,bc, cd, etc., il viendrait ^
ai Xrt/7, 1 H — ~ X /V <7 , et ain-si de suite.
Touto l„ pelitos droite, al,, ùc.a,l, ctc.,,Hcnl égale,, le centre de gravile^de leur ensemble est le centre de, moyennes distances de leurs milieux I, 1', I", etc. r 749 principe III) ; la distance O ^ de ce centre de gravité au plan dont X Y est la trace .“est donc la movenne èn^^
'602 APPENDICK.
touteüles distances IH, l'H’, l’H', etc.; et si Ton nomme ^ le nombre des divisions de l’arc A B A', on aura
^ III + 1 H' + TH* + rtc.
mais , d’après les valeurs ci>dessus ,
1 H 4- r H'+ r H'4- etc. = X (/»' «4- «>' 4-/>' 4- etc.),
ou IH4-rH'4-rH'4-etc. = ^XAA'.
a tf
11 en résulte
» Or, ab X N, ou l’une des parties de l’arc ABA', ré|>étée autant de fois qu'il y a parties, c’est l’arc AB A' luiniéme; on a donc enfui
c’est-à-dire que la distance du centre d'un arc au centre ile gravité de cet arc est une quatrième proportionnelle h cet arc t à sa corde et au rayon.
Remarquons que les raisonnements qui précèdent seront d’autant plus rigoureux que les petits arcs a b, h c, c d, etc., approcheront plus d’êtrereclilignes, c’est-à-dire que le nombre des divisions de A B A' sera plus grand; en sorte que la conclusion que nous venons d’énoncer subsiste en supposant que le nombre de ces parties soit infiniment grand, et ces parties elles-mêmes infiniment petites par conséquent ; c’est-à-dire que la propriété eu question a rigoureusement lieu pour l’arc de cercle.
Pour la demi-conférence, on a A B A' = «.10, et ' A A’ = 2. 10; il en résulte
Oé—
10 X t.io «. 10
ce qui équivaut à peu près aux du rayon.
758. — Centre de gravité d une ciacoNFÉaENCE i>e CERCLE. Tous les diamètres étant des axes.de symétrie , le centre de gravité est au point de rencontre de tous ces axes, c’est-à-dire au centre de la circonférence.
769. — ''Centre de gravité du contovr b’vnb ELLIMK. Cette courbe ayant deux axes de symétrie, son ceirtre’ de gravité esta leur point de rencontre, c’est-à-dire au centre de figure de l’ellipse.
760. — Centre de gravité d’un arc de courbe quelcox- QUE. Pour obtenir approximativement le centre de gravité d’un arc de courbe quelconque , on peut le diviser en portions assez petites pour pouvoir être regardées comme sensiblement rectilignes ; on aura ainsi remplacé l’arc de courbe par une ligne brisée, dont nous avons appris à déterminer le centre de gravité (754 ). D’après ce que nous avons vu, il y aurait de l’avantage à faire en sorte que tous les côtés de cette ligne brisée fussent égaux.
