Centre de gravité de la surface d’un triangle
Soit ABC (fig. 613} un triangle quelconque. Joignons le sommet A au milieu I de la base BC. Si l’on imagine que la surface du triangle soit décomposée en bandes infiniment mmces parallèlement à la base BC , chacune de ces bandes, pouvant être considérée comme une ligne droite,' aura pour centre de gravité son milieu, c’est-à-dire un point de la droite AI, car celte droite divise en deux' parties égales toutes les parallèles à BC. Toutes les parties de la surface du triangle ayant leur centre de gravité sur la droite AI, il en résulte que le centre de gravité de cette surface elle-même est situé sur la droite AI (749, principe IV). On prouverait de même qu’il est situé sur la droite B H qui joint le sommet B au milieu H du côté opposé. Le centre de gravité est donc au point g , intersection de ces deux droites. (Ce point g appartient aussi à la droite qui joindrait le sommet C au milieu du côté opposé AB; c’est une conséquence de la propriété des transversales qui a été démontrée au n®151.) . •
Joignons IH; cette droite sera parallèle à AB; car elle divise les côtés AC et B C en parties proportionnelles. Les triangles A^ B et 11^1 sont donc semblables, f et l’on a
Kg\ ^I : ; AB : III ;
^4 1 APPRMBlCRk
tnais les triangles ACB et HCl éUntanssi semblables,
on a
donc, à cause du rapport commun , il vient
• fini ^1.. , « ^
-f. Il- I J ^ 1 - .. I
c’esl-à*dirc que est le double de g-I , et que, par con-
séquent, g\ est le tiers de A I . Ainsi , le centre de-^avité' de la surface d'un triangle est situé sur la droite quijoint le sommet au milieu de la base y et au tiers de cette droite à partir de la base, i .
; Remarquons que ce centre de gravité est le même que celui du système formé par trois corps de même volume qui auraient leurs centres de gravité aux sommets du triangle; ainsi le centre de gravité de la surface de ce triangle n’est autre chase que le centre des moyennes distances de ses trois sommets (742).
. 762. , — Centre de gravité de la si’hface d’un pakallénooaAMMB. Soit ABCD(fig. 610) un parallélogramme. Supposons sa surface divisée en bandes infiniment minces., parallèlement aux côtés AC et BD. Chacune de ces tranches, pouvant être considert'e comme une ligne di'oite , aura son centre de graviié en son milieu , c’està-dire sur la droite LM qui joint les milieux des côtés AC et BD, car cette droite divise en deux parties égales toutes les parallèles à AC et à DB. Toutes les parties de la surface. du parallélogramme ayant leurs centres de gravité sur la droite LM, il s’ensuit que le centre de gravité de cette surface est situé lui-même sur la droite > LM (749, principe IV). On prouverait de même qu’il est .situé sur la droite IK qui joint les milieux des côtés AB et CD. Ce centre de gravité est donc au point g, intersection des droites 1 K et L M.
Ce point g est aussi le point de rencontre des deux diagonales.
768. — Centre de gravité de la sunrACB d’un quadriijvTÉRE QUELCONQUE. Soit ABCD ( flg. 613) uu quadrilatère quelconque. Tirons la diagonale A C ; joignons son milieu I aux points B et D. Le centre de gravité du
APPEüJDICF.
triangle AD C sera en n,an tiers de ID à partir du point!. Le centre de gravité du triangle ABC sera en m , au tiers de IR à partir du point I. Le centre de gravité du quadrilatère sera donc sur la droite mn, et devra diviser cette droite en parties réciproquement proportionnelles aux aires des triangles ADC et ABC (748).-
Ces triangles ayant même base AC sont entre eux comme leurs hauteurs. Or, si l’on lire la diagonale BD, qui coupe AC en O, les droites OD et OR seront entre elles comme les hauteurs dont nous parlons; car si l’on abaissait des points D et B des perpendiculaires sur A C , on formerait deux triangles rectangles semblables dont ces perpendiculaires seraient des côtés homologues, et dont OD et OB seraient les hypoténuses. Il s’agit donc de diviser la droite niri en parties réciproquement proportionnelles aux droites OD et O B.
Prenons DB' = OB, et joignons B'I, qui coupera mn en g. Les droites IB et ID étant coupées proportionnellement par la droite mn, il en résulte que mn est parallèle à BD; on aura donc
gni'.gn ; : B B' : B'D'.
Or, puisque B'D égale BO , il en résulte que B B' égale OD; la proportion devient donc »
gm : gn : : OD : OB.
Ainsi le point gr est le centre dç gravité demandé.
Ce point peut s’obtenir d'une manière très-simple; car les droites IB, IB' et ID étant divisées proportionnellement par les parallèles BD et /7< n, il en résulte que I^est le tiers de IB^
Ainsi donc : Pour obtenir le centre de gravité d’un quadrilatère quelconque A B C D , tirez les deux diago-nales , qui se coupent en un point O; prenez DB'=BO; joignez le point B' au milieu I de l'autre diagonale, et prenez le tiers de IB' à partir du point I.
764. — Centre de gravité de la si'rface d’un polygone QUELCONQUE. Décompose/ ce polygone en triangles, dont vous déterminerez séparément l’aire et le centre de gre- .
606 APPKNDirE.
vile. Joignez par une droite le* cenli’es de gravité des deul; premiei's triangles, et divisez celle droite on parties réciproquement pi'oportionnellcs à leurs aires ; tous aurez le, centre de gravité du système formé par les deux premiers triangles. Joignez le point de division au centre de gravité du troisième triangle, et divisez la droite de jonction en parties, récipi’oqueirtent proportionnelles à l’aire du troisième triangle et à la somme des aires des deux pi*emiers; vous atirec le centre de gravité du système formé par les trois premiers triangles. Kn continuant ainsi, jusqu’à l’épuisemeiU de tous les triangles, le centre de gravité du polygone se trouvera déterminé.
Lorsque le polygone est régulier, son centre, étant le point de concours de tous les axes de symétrie , est aussi le centre de gravité de sa surface.
• 765. — Centre de gravité de la scrface- D’L’N'CRnct.E. Le centre du cercle étant le point de concours de tom les diamètres, qui sont des axes de symétrie , est le. centre de gravité de sa surface.
766. — Centre de gtavité de la sl'RFAce d’cv secteï r DE CEBCI.E. Soit AO B (fig. G14) un secteur de\;ercle, O son centre, I le milieu de l’arc qui lui sert de base. Le rayon 01 étant un axe de symétrie du secteur, son centre de gravité doit se trouver sur«e rayon. Il reste donc à déterminer sa distance au centre.
Concevons l’arc AB divisé en parties égales infiniment petites , telles que M N ; en menant des ra3'ons à tous les points de division , on partagera la surface du secteur en triangles isocèles égaux tels que MON, ayant pour sommet commun le point O, et une base infiniment petite. Le centre de gravité de chacun de ces triangles sera situé sur le rayon qui divise en deux parties égales l’angle du sommet , et aux deux tiers de ce rayon à partir du centre. Le lieu de tous ces centres de grîivilé sera donc un arc a / 5 semblable à l’arc AI B, et dont le rayon O a est les deux tiers du rayon OA.
■ Soit /• le centre de gravité du triangle élémentaire X MON; ce point étant situé sur la bissectrice de l’angle
Di.juL : '-jOOgI
APPENDICE.- rtOÎ'
MON e«t le milieu tlu petit arc et'romnîé cPt aee ,'V, infiniment petit , peut être cunsîdéPë comme l'ectiligne ,' on peut regai<der le point t comme le centre de gravité de nm. On en peut évidemment dlPê autant pour tous les triangles élémenlaires.;Or, en vertu du principe VIII (749) , on peut remplacer toutes les parties d’un système parcelles d’un autre système, pourvu que les secondes* soient proportionnelles aux premières et aient leurs centres de gravité aux mêtnes points’ Nous pouvons donc* remplacer tous les triangles élémentaires égaux à MON parles arcs élémentaires égaux kmn, prtist|ü*il!i^ ont .leurs centres de gravité ttux memes points, et qtié leur proportronnblitéiest d’ailleurs évidente. Le Centre
dé gravité du seéleur AOfe est doûc le môme que celui
déFarcaô. M>ro »iw ro n ' ^ •’ * ’
' Soit tlotic^ ce centre,* on déVra aVoir, en' vertu de ée’ qui A été démontré aü n* 75?; j o**
i ‘ Où,, i ab ’„aib.\. \
Mais les arcs «7/i et AlB étant semblables, sont entre* eux comme leurs rayons et O A , lesquels sont entré
eux comme les cordes et A B, par suite de la simili» tilde des triangles o O * et A O B. On a donc
: ; AB : AIB; ,,
et, à cause du rapport commun, . ■ .
P^: Ort : : AB : AIB; ou Og^; |OA : : AB : AIB;'
d’où =
Or, si G est le centre de gravité de l’arc A B , on aura
Il en résulte
OG
AIB *•
Oÿ=|OG,
c’est-à*dire que pour awir le centtv tle ç;ravité d’un sec-' teur tle cercle, il faut chercher le centre de gmvite de l’arc qui lui vert de base , et prendre sur ta droite qui- le •
joint au centre du, cercle un point situé aux deux tiers de cette droite à partir du centre.
Cette règle s’applique au demi^cercle. On a dans / ce cas, en désignant par R le rayon ,
OA = R ; AB = 2R ; AIB=^R; par conséquent
767. — Centre de gravité de la subface d'une ellipse. Cette courbe ayant deux axes de symétrie , le centime de gravité de sa surface est à l’intersection de ces deux axes, c’est-à'dire au centre de figure de l’ellipse.
768. — Centre de gravité d'une subfacb plane terminée PAR UNE COURBE QUELCONQUE. Dîvisez la courbe en arcs assez petits pour pouvoir être considérés comme sensiblement rectilignes, et cherchez le centre de gravité du polygone ainsi obtenu (764).
769. — Centre de gravité de la surface d’un parallélépipède. Si Ton tire les diagonales d’une face quelconque, leur intei*section sera le centre de gravité de cette face, puisque c’est un parallélogramme (762). Si l’on joint ce centre de gravité à celui de la face opposée, qui est égaie à la première, le centre de gravité du système formé par ces deux faces sera le milieu de la ligne de jonction. Ce milieu coïncide avec le centre de figure du parallélépipède , comme il serait facile de s’en convaincre en menant des plans diagonaux parles diagonales déjà menées. En répétant le même raisonnement pour les autres faces du parallélépipède, on voit que le centre de gravité de sa surface est à son centre de figure.
770. — Centre de gravité de la surface d’un prisme RÉGULIER. Supposons d’aboi'd qu’il ne s’agisse que de la surface latérale. L’axe du prisme est un axe de symétrie ; le plan mené perpendiculairement à cet axe par son milieu est un plan de symétrie; le centre de gravité de la surface du prisme est donc l’intersection de cet axe et de ce plan , c’est-à-dire le milieu de l’axe.
Le résultat pi*écédent n’est point changé quand on a égard aux deux bases; car le centre de gravité de chacune d’elles étant son centre de figure, c’est-à-dire l’extrémité de l’axe du prisme, le centre de gi'avité du système formé par ces deux bases égales est encore le milieu de l’axe.
771. — Centi-e de gravité de la scrface d’ü.x cym.xdbe. Ce que nous avons dit du prisme régulier s’applique au cylindre, c’est-à-dire que le centre de gravité de sa surface, qu’on y comprenne ou non les deux bases, est le milieu de l’axe du cylindre.
772. — Centre de gravité de la scrface i.ATÉnAi.E n’cxE PYRAMinE RÉGULIÈRE. I.e centi’c de gravité de chaque face de la pyramide est situé sur la droite qui joint le'* .sommet au milieu du côtéoppo.sé, droite qu’on appelle V apothème <le la pyramide, et au tiers de cet apothème à partir de la base (7U1). Si , par le centre de gravité de l’une de ces faces, on mène un plan parallèle à la base de la pyramide, il di^isera proportionnellement tous les apothèmes et l’axe; il contiendra, par conséquent, les centres de gravité de toutes les faces, et, par suite, celui de la surface latérale. Mais l’axe de la pyramide étant un axe de symétrie, il doit contenir aussi le centre de gravité de la surface ; ce centre de gravité est donc l’intersection de cet axe avec le plan que nous avons mené, c’est-à-dire qu’il se trouve au tiers de cet axe; à partir de la base.
773. — Centre de gt-avité de la surface latérale d’un CÔNE. Ce que nous avons dit de la pyramide régulière s’applique au cône, c’est-à-dire que le centre de gravité de sa surface latérale est situé sur l’axe, au tiers de cet axe à partir de la base.
Oii peut remarquer, d’après cela, que le centre de graxilé de la surface latérale d’un cône est le même que celui de la surface de sa section méridienne.
774. — Centre ile gravité de la surface latérale n’uN CüXE ïRONouÉ. Un cône tronqué étant la différence de deux cônes, la surface du plus grand de ces cônes est égale à celle du plus petit , plus celle du cône tron-
que : il en résulte (748, principe I) que le centre de gravité de la surface du grand cône doit'diviseï* la droite qui joint les centres de gravité de ses deux parties , en raison inverse des aires de ces deux parties. Cette condition détermine la distance du point cherché au centre de gravité du grand cône. ' -i-iisii
Si l’on cherche, par un calcul analogue , le centre de gravité de la section méridienne du cône tronqué , on* trouve qu’il coïncide avec le centre de gravité de ce cône tronqué , ce qu’on pouvait prévoir (773). . i
775. — Centre de f^rarité d’une zone sphérique. Divisons la hauteur ou l'axe de la zone en parties égales infiniment petites, et par tous les points de division menons des plans parallèles aux bases ; la zone se trouvera elle-même divisée en zones élémentaires qui seront équivalentes en surface (677, Coroll. IV). Chacune de ces zones élémentaires pourra, en outre, être considérée comme la surface latérale d’un petit cône tronqué, dont la hauteur est infiniment petite, et dont, par conséquent, la base supérieure diffère infiniment peu de la ba.se inférieure; il en résulte que sa section méridienne' diffère infiniment peu d’un rectangle, et que le centre de gravité de cette section diffère infiniment peu du milieu de son axe. On peut donc dire que chaque zone élémentaire a sensiblement pour centre de gravité le milieu de son axe, c’est-à-dire lecentre.de gravité de cet axe élémentaire. Mais puisque toutes les zones élé-^ raentaires sont équivalentes, que tous leurs axes sont égaux , et ont leurs centres de gravité aux mêmes points, on peut appliquer le principe Vlll (749) et substituer aux zones élémentaires leurs axes. Le centre de gi’avité du système formé par les zones élémentaires est donc le même que celui du système formé par leurs axes. Or, la réunion de toutes les zones élémentaires forme la zone proposée; la réunion des axes de toutes les zones élémentaires forme l’axe de la zone proposée : on peut donc dire que la zone proposée a le même centre de grarité que son axe y c’est-à-dire le milieu de cet axe. * ^ A i Ce, résultat s’applique à la calotte sphérique.
L) ;i! ; by Googlc
APPENBICE.
77G. — Centre de gravité de la surface d’une sphère. Sou centre étant le point de concours de tous les diamètres, qui sont des axes de symétrie, est aussi le centre de gravité de la surface de la sphère.
7 77. — Centre de gravité de la surface d’u.n ellipsoïde DE révolution. L’axe de révolution étant un a.xe de symétrie, et le plan de l’équateur un plan de symétrie, le centre de gravité de la surface est à l’intei’section de cet axe et de ce plan , c’est-à-dire au centre de l’équateur.
Remarquons que, dans toutes les surfaces de révolution, le centre de gravité est situé sur l’axe.
778. — Centre de gravité du volume d’un prisme. Soit ABCDEA'B'C'D'E' (fig. 615) un prisme quelconque; soit G le centre de gravité de sa base inférieure; menons, par ce point, une droite G G’, parallèle aux arêtes latérales AA‘, BB', etc. Je dis d’abord que le point G', où cette droite rencontre la base supéi’ieure , sera le centre de gravité de cette base.
En effet, le plan des parallèles B B', GG' coupe les deux bases suivant deux droites parallèles B G et B' G -, .donc la ligure B G G'B est un parallélogramme, et l’on a BG =B'G'. De même le plan des droites G G' et CC' coupe les deux bases suivant deux parallèles CG et G'G’; la figure CGG'C est donc un parallélogramme, et l’on a C G = C'G'. D’ailleurs BC = B'C' : les triangles R G C et B’G'C' sont donc égaux; en sorte qui si l’on faisait coïncider les bases égales ABCDE, A'B'C'D'E', les points G et G' coïncideraient. Or, pui.sque le point G e.st le centre de gravité de l’une, il faut que le point G ' soit le centre de gravité de l’autre.
On démontrerait de la même manière que, si l’on coupe le prisme par un plan abede parallèle aux bases, le point g, où ce plan rencontrera la droite G 6% sera le centre de gravité de la section abede, laquelle est égale aux bases (611).
Cela posé, concevons le prisme décomposé , par des plans parallèles aux ba.ses, en tranches égales infiniment minces. Chacune de ces tranches aura .son centre de gravité sur la droite GG'; et comme chacun des |winls
de cette droite pourra ainsi être considéré comme le centre de gravité de Tune de ccs tranches égales, il en résulte, en vertu du principe 111 (749), que le centre de gravité du volume du prisme est le même que le centre des moyennes distances de tous les points de la droite ü G', c’est-à-dire son centre de gravité, ou enfin son milieu. Ainsi, Le centre de gravité du volume d'un prix me est au milieu de la dmite fjui joint les centres de gravité de ses deux bases.
Ce résultat s'applique au parallélépipède ; mais il est aisé de voir que le milieu de la droite qui joint les centres de gravité de ses faces opposées est son centre de figure, c’est-à-dire le point d’intersection de ses diagonales.
Lorsqu’il s’agit d’un prisme régulier, le centre de gravité de chaque base est l’extrémité de l'axe ; le centre de gravité du volume d’un prisme régtdier est donc le milieu de son axe.
779. — Centre de gravité €lu volume d’ua' cylivdbe. Ce que nous avons dit du prisme régulier s’applique au cylindre : ainsi le centre de gravité du volume tl’un rrlindre est Le milieu de son axe.
780. — Centre de gravité du volume d’un tétbaédre. Soit S ABC (fig. 61G) un tétraèdre; G le centre de gravité de sa base ; joignons SG. Je dis d’abord que si l’on coupe ce tétraèdre par un plan abc parallèle à la base, le point g y où ce plan rencontrera la droite SG, sera Je centre de gravité de la section abc.
Kn. effet, le plan des droites SG et SC prolongé viendra couper la face AS B suivant une droite SD, et coupera les plans ABC et abc suivant les droites CGD et cgd. Les parallèles AB et a 6 sont coupées proportionnellement par les droites SA , SD, SC; or, le point G étant le centre de gravité du triangle ABC, le point D est le milieu de AB (761); le point d est donc aussi le milieu de ab. Les droites CD, cr/ étant parallèles, puisqu’elles sont les intersections d’un même plan par deux plans parallèles, ces droites sont cou|)ées proporüouuellmeut par les droites SD, SG , SC ; donc, puis-
appendice. 015
que G D est le tiers de CD, est aussi Je tiers de cd. Le point g- est donc situé sur la droite cd, qui joint le sommet c du triangle abc^xx milieu de la base a et au tiers de cette droite, à partir de la base; ce point est donc le centre de gravité de la section abc.
Cela posé, concevons le tétraèdre SABC (fig. 617) décomposé, par des plans parallèles à la base, en tranches intiniment minces; le centre de gravité de chacune de ces tranches se trouvera sur la droite SG, qui joint le sommet S au centre de gravité de la base. Par conséquent, le centre de gravité du volume du tétraèdre sera lui même situé sur cette droite SG (749, principe IV). Riais rien n emiiêche de prendre le pointe, pare.vemplc, liour sommet du tétraèdre, et la face A SB pour base: un raisonnement semblable au précédent ferait voir que le centre de gravité du volume du tétraèdre doit se trouver sur la droite CI, qui joint le sommet C au centre de gravité de la face A S B. Ce centre de gravité f evant se trouver à la fois sur les deux droites SG et CI, ne peut se trouver qu’à leur intersection.
On pourrait se demander si les droites SG et CI se rencontreront toujours, comme le raisonnement ci-dessus tend à le faire supposer. Pour se convaincre qu’il en est toujours ainsi, on remarquera que Je point G étant le centre de gravité du triangle ABC, la droite CG prolongée vient rencontrer l’arête AB en son milieu D Par ime raison analogue, la droite SI, menée du sommet }j au centre de gravité de la face A SB, vient si elle est prolongée , rencontrer l’arête AB en son milieu D. Les droites SC, SD, CD sont donc dans un meme plan. Il en est donc de même des droites SG et CI, qui ont chacune deux points dans ce plan. Puisqu elles sont toutes deux dans Je plan SDC, d’après la maniéré dont elles sont menées dans ce triangle elles se croiseront évidemment en un certain point O, qui sera le centre de gravité du volume du tétraèdre .Toignons IG ; les droites SD et CD étant divisées proporlionncllemenl par la droite IG, puisque DI est le t.ers de SD, cl DG le tiers de CD, il on résulte que
614 appkkdice.
IG est parallèle à SC. Les Iriapgles OG I et SG C Miot doue semblables, cl l’on a
GI î SC GO :SO;
mais , les triangles D IG et JOSC étant aussi semblables, on a
G1 : SC î: DG : CD :: 1 : 8; donc , à cause du rapport commun ,
GO :SOî: 1 : 3,
c’est-à-dire que GO est le tiers de SO, et par conséquent le quart de S G. Ainsi , le centre de gravite du vohune dun tétraèdre est situe sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la hase, et au quart de
cette deoile ,d partir de la hase. • ,
Remarquons que ce centre de gravite est le même que celui du système de quatre corps de mèmç volumç qui auraient leurs centres de gravité aux soinraets du tétraèdre; c’est-à-dire que le centre de gravite du yolumc de ce tétraèdre n’est autre chose que le centre des inoYeunes distances de ses quatre sommets (742,7^3;.
Centre de gravité du volume p’u.ve pydamid|;
ouelconque.— Décomposons'la pyramide en tétraèdres; et par le centre de gravité de l’un d’eux , menonsi un plan parallèle à la base de la pyramide. Toutes les droites menées dq sominct de la pyramide aux centres de gravité des bases des tétraèdres seront coupées par ce plan en parties proportionnelles, et puisquil passe au quart de l’une d’elles^ , il passera au qnart de toutes» les autres ; c’est-à-dire que ce plan contiendra les cen-; très de gravité de tous les tétraèdres, et pqr çonsequeul celui de la pyramide (749 , principe lY). . ,
Concevons maintenant la pyrqpiide décomposée, par des plans parallèles à la base, en tranches infiniment minces' il sera facile de démontrer, par des similitndes de triangles, que les centres de gravité de toutes ces tranches se trouveront sur la droite qui joint le sommet de la pyramide au centre de gravite de sa base. Le
centre de gravité de la pyramide se trouvera donc aussi sur cette droite (74ü , principe IV).
Puisque ce centre de gravité doit se trouver k la fois sur celte droite et sur le plan dont nous avons parlé tout à l’heure, il ne peut se trouver qu’à leur inlersec* tiou , c’est-à-dire au quart de cette droite, à partir de la base (puisque ce plan divise proporlionnellenient toutes les droites njenées du sonmiet à un point de la hase ). Ainsi , Le centre de gravité du volume iVune pyramide quelconque est situé sur La droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, était quart de cette droite , à partir de la base.
Si la pyramide est régulièi e, la droite dont il est question n’est autre chose que son axe; ainsi, le centre de gravité du volume d’une pyramide régulière , est situé au (quart de son axe, h partir de la base.
782. — Centre de gravité du v olüme d’ux cône. Ce que nous avons dit de la pyramide régulière s’applique au cône : ainsi, le centre de gravité du volume d’un cône est situé au quart de son axe, à partir de la base.
783. — Centre de gravité du, volcme n’civ prisme TBIAXÜULAIHE TRONQUÉ. Soit ABCDEF (flg. 595)un prisme triangulaire tronqué. Détachons par un plan le létraèdreEABC, il restera la pyramide quadrangulaire EADFC.
Cherchons les centres de gravité de ce tétraèdre et de de cette pyramide, puis joignons ces centres par une droite ; le centre de gravité du prisme tronqué devra se trouver sur cette droite (748). Mais au lieu de détacher le tétraèdre EABC,on peut détacher un autre tétraèdre, le tétraèdre DABC, par exemple; il reste alors la pyramide quadrangulaire DBEFC; et, en opérant comme ci-dessus, mise procurera une nouvelle droite qui devra contenir le centre de gravité du prisme tronqué. L’intersection des deux droites ainsi déterminées sera le centre de gravité cherché.
La méthode des projections s’apjilique d'une manière très-avantageuse à la solution que nous venons d’indiquer; parce que, lorsqu’il s'agit de diviser une droite
de l'espace eo parties proportionnelles à des nombres donnés , il sufüt d’opérer une division analogue sur ses projections; ceci est une conséquence des propriétés des parallèles (voyez les n°* 137 et 505).
784. — Centre de gravité du volume d’un tétraédbk TRONQUÉ. La solution est la même qu’au numéro précédent.
786. — Centre de gravité du volume d’une ptramioÊ TRONQUÉE. SoitSABCDEF (Hg. 618) une pyramide, abcdef un plan parallèle à la base, SH la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, et passe, par conséquent, par le centre de gravité de la section a bcdef. Le centre de gravité de la pyramide SABCDEF sera situé en un point G de cette droite, au quart de sa longueur, à partir du point H ; le centre de gravité de la pyramide Sabcdef sera situé en un point g de la droite au quart de sa longueur, à partir du point h. Le centre de gravité du tronc de pyramide AB C D E Fa bcdef donc situé également sur la droite
SH, en un certain point x qu'il s’agit de déterminer. Car si ce point était connu, ainsi que le point g, pour avoir le centre de gravité de la pyramide totale , il faudrait joindre les points x et A par une droite , et la diviser en parties réeiproqueinent proportionnelles aux volumes du tronc et de la petite pyramide ; or, puisque le point G est situé sur la droite qui joint les points x et hl ré* ciproquement le point x est situé sur le prolongement de la droite qui joint les points G et g^ c’est-à-dire sur la droite SH.
Soient V le volimie de la pyramide totale , v celui de la pyramide retranchée, T le volume du tronc; on devra avoir, d’après la remarque que nous venons de faire, Gx : G^^ : : V : T (1).
Mais, de la similitude des pyramides SABCDEF et ^abcdef f on conelut (731)
v:\ :\Tb^ \ IB^
4’où > U : V — V al? AB^ — al? ^
OU • i' ; T :: ai? : AB^ -ra?, , (3),
APPENDICE. 6i7i
Donc, à cause du rapport commun entre les proportions (1) et (2),
(jx : Qrg ; : ; AB^ — at^.
' Or, on a
Gg^«=SH — GH— — ou Gg'=|SH — JS//- HSH-SA) = 2HA.
II Tient donc enfin :
G X : J HA : : al? : AB^ —
d'où
HAX«i*
Gjr=a|.r^3
A b’’— ai*
Cette valeur fera connaître le point x quand on connaîtra le point G. Or, pour obtenir celui-ci, on a G H = J SH , et la longueur S H pourra se déduire de H h et des arêtes homologues «6 et AB, comme la hauteur de la pyramide se déduit de celle du tronc (599).
Si la pyrarakle SABCDEF était régulière, la droite SH ne serait autre que son axe , et H A serait la hauteur du tronc.
786. — Centre de gravité du volume d'un cône tbonqué. On peut appliquer la solution précédente , en se rappelant que les volumes des cônes semblables sont entre eux comme les cubes des rayons de leurs bases.
