Pbobï-Rmb. Trouver le centre d’un cercle ou d'un

arc donné. Prenez à volonté trois points sur ce cercle ou sur cet arc, et cherche* le centre de la circonférence qui passe par ces trois pcnnts. ’

Remarque. Il résulte de cette solution que deux cir^ conférences de cercle ne peuvent avoir plus de deux points communs i car .si elles en avaient trois, elles auraient même centre, de plus même rayon, et se confondraient par conséquent (25). ■ -t ■-

100. — T*éobêm«. Toute droite X Y (fig. 60) peipén»^ diculaire à l’extrémité d'un rayon OA. n’a qu'un seul point commun avec la circonférence. Car, soit OB une droite quelconque menée du centre à un point de X Y ; cette droite O B sera une oblique plus longue que la perpendiculaire OA. Le point B est donc plus éloigné, du centre que le point A ; ce point B est donc hors du cercle. Et comme on en pourrait dire autant de tout autre point de X Y, il s’ensuit que cette droite n’a avec la circonférence d’antre point commun que le point A.

' Remarque I. Une droite qui touche ainsi une circonférence, c’est-à-dire qui n’a et ne peut avoir avec elle qu’un point commun , est dite tangente à cette circonférence; et le théorème précédent peut s’énoncer ainsi: Toute perj)endictilaire à t extrémité d’un rayon est tangente h la circonférence. '

La circonférence, à son tour, est dité tangente à'ik

GÉOMKTRIE PLANK. C»5

droite. Leur i>oint commun se nomme point de tangence ou de contact.

Remarque ïf. Une droite qui rencontre une circonférence en deux points, en d’autres termes, une corde prolongée est dite sécante, par rapport à cette circonférence, qui, à son tour, est dite par rap-

port à la droite. On dit aussi que la droite coupe la circonférence , et vice versà.

101. — Théorème. Toute tangente X Y (fig. 60) h une circonférence O, est perpendiculaire h l’extrémité du rajvn O A , qui aboutit au point de tangence. Car, si cette droite est tangente, tout point B de cette droite différent du point A est situé hors de la circonférence; le rayon O A mesure donc la plus courte distance du point O à la droite X Y ; ce rayon est donc perpendiculaire à cette droite (67, coroll).

Corollaire. Les deux théorèmes précédents prouvent ; 1® que par un point pris sur une circonférence on peut toujours lui mener une tangente : il suffit pour cela d’élever une perpendiculaire à l’extrémité du rayon qui aboutit au point donné; 2® que par un point pris sur une circonférence on ne peut lui mener qu'une seule tangente', car par un point pris sur une droite on ne peut lui élever qu’une seule perpendiculaire.

102. — Problème. Par un point A (fig. 61) extérieur à une circonférence C M B , mener une tangente h cette circonférence. Par le point A, et par le centre O de la circonférence donnée, menons la droite A C. Du point A comme centre, avec OA pour rayon, décrivons un arc indéfini OE. Portons sur cet arc, à partir du point O, une ouverture de compas O D égale au diamètre B C de la circonférence donnée. Joignons la corde DO, qui coupera cette circonférence en un point I. Enfin, tirons A I , qui sera la tangente demandée. Car, D O étant égal au diamètre B C , le rayon O I est la moitié de D O ; donc la droite A I menée du centre A au milieu de la corde DO est perpendiculaire à cette corde (97); et cette même droite A 1 se trouvant ainsi perpendiculaire à l’ex-

66 PRKMIKRK PARTIR.

trémitë du rn) on O 1 , est tangente k la circonférence donnée. ' •

Remarque I. Ou aurait pu faire au • dessous de A C une construction pareille; en sorte que le problème est susceptible de deux solutions.

‘Remarque II. Tant que le point donné A sera extériettf à la circonférence donn^ , il sera toujours po^ible de porter sur l’arc O E une ouverture de compas égale à B C.

Car 0 B étant plus petit que OA, le double de O B, c’està-dire B C ou D O , est plus petit que le double de O A , c’est-à-dire que le diamètre de la circonférence A. Or la plus grande corde d’une circonférence est son diamètre ; D O est donc plus petit que la plus grande corde de la circonférence A. ^