Théorëme. L’aire d' une surface de révolution

quelconque a pour mesure te produit de l’aiv générateur jmr la circonférence que décrit le centre de gràvité de' cet arc. Soit AB (fig. 619) l’arc générateur d’iine surfdce' de révolution; X Y l’axe de cette siirfàce. Partageons’ l’arc AB en parties égales très-petites, ab, bc, cd, etc.’ Des points de division a, b, c, etc., abaissons sur l’axe XY les perpendiculaires am, bn,cp, etc. Des milieuxi I; r, r, etc; , de ces petits arcs , ëbaissons alissi sur l’axe X Y les perpendiculaires 1 H , l' H'; I" li’, etb. ^

appkndice.

Les arcs ab , bc , cd, etc. , étant supposés très- petits, peuvent être regardés comme rectilignes. Dans leur révolution autour de XY, ils décrivent donc les surfaces latérales de petits cônes tronqués. L’aire de la surface «lécrite par «ta donc pour mesure ab 2». IH (676, Coroll.); celle que décrit bc a pour mesure bcy2v.\W\ celle que décrit a pour mesure cf/X2ir. l'H', et ainsi de suite. La somme de ces surfaces coniques, ou la surface de révolution proposée, a donc pour mesure

2'>r.IH ■+■ ieX2^.I H +cr/X2».l’H'-f-etc.

ou, en remarquant que les arcs ab,bc,cd, etc., sont égaux , et que 2ir est aussi un facteur commun ,

2irabX (I etc.)

Imaginons, suivant X Y, un plan perpendiculaire au plan de l’arc AB; et soit G le centre des moyennes distances de tous les points 1,1', T, etc. Du point G abaissons sur XY la perpendiculaire GO;les droites G O, III, 1 H', rir, etc. , seront les distances des points G, 1,1', 1', etc. , au plan dont XY est la trace, et eu nommant N le nombre des points I, l',r,etc. , ou , ce qui revient au même , le nombre des parties égales de A B , on aura