GO
d'où IH-f-lH'+rH'-i-etc. = GOXN.
Par suite , l’expression de l’aire de la surface proposée devient
2iraixGOXN, ou aiXNX 2^GO.
Or a i X N , ou l’une des parties de A B , répétée autant de fois qu’il y a de parties dans AB , c’est l'arc AB luimême; 2 ir. G O exprime la circonférence dont le rayon est G O , c’est-à-dire la circonférence décrite par le point G. L’aire de la surface proposée a donc pour mesure le produit de l’arc AB par la circonférence que décrit le point G.
Les raisonnements que nous venons de faire seront d’autant plus exacts que les parties de AB approcheront
Di;, ■--J I
A.PPEKDJCK. 62i
plus dVli*e rectilignes; ces raisonnements seront donc tout à fait rigoureux, si l’on suppose ces parties infiniment petites. Mais alors le point G sera le centre des moyennes distances de tousles éléments infiniment petits de l’arc AB, c'est-à-dire le centre de gravité de cet arc. L’aire de la surface engendrée par l’arc de courbe AB a donc pour mesure le produit de cet arc par la circonférence que décrit son centre de gravité G.
Remarque. La démonstration précédente n’exige point qu’il soit question d’une surface de révolution complète; il est aisé de voir qu’elle s’applique à une zone quelconque de cette surface , c’est-à-dire à la portion de surface comprise entre deux parallèles quelconques. Il s’agit alors du centre de gravité de la portion de l’axe générateur comprise entre ces deux parallèles.
Appi.ication. Nous pouvons, à l’aide de ce théorème, déterminer l’aire de la surface d’un anneau (577). Ici l’arc générateur est une circonférence de cercle , et le centre de gravité de cette circonférence n’est autre que son centre, ainsi que nous l’avons vu (758). Appelons R le rayon de cette circonférence, son expression .sera 2’7tR. A ppelons D la distance de .son centre à l’axe de rotai ion, l’aire de la surface de l’anneau aura pour valeur
S-ttR X Ü-n-D, ou 4”»* RD.
Suppo.sons, par exemple, qu’il s’agisse de la demisurface annulaire qui forme la voûte d’une galerie circulaire; que le rayon de la voûte soit de 2'", et que la distance de son centre à l’axe de la galerie soit de 12">, l’aire de la voûte aura pour mesure
2 X 2» X 12“ , ou 48“ = X (t)*» 48” *= x 484 ^
ou enfin 474“ =, 12.
794. — Dans quelques cas particuliers, le théorème précédent pourrait servir à déterminer le centre de gravité d’un arc de courbe.
Supposons qu’on demande, par exemple, le centre de gravité d’une demi-circonférence. Nous savons déjà que
le point cherché doit se trouver sur l’axê de symétrie de cette demi-circonférence, cVst-à-dire sur un rayon perpendiculaire au diamètre qui lui sert de corde; et il reste à déterminer sa distance au centre, que nous appellerons X.
Soit R le rayon de la demi-circoilférence , sa valeur sera SirR. FaiSons-la tourner autour du diamètre qüiltti sert de corde, elle engendrera unesphêre dont l’aire aura pour mesure 4'»R* (677, Coroll. I). En vertu du théorème qui précède, on devra donc avoir
4'TR*ss='jrR X 1vx \ d’où X ,
-tR X > w
ou, en supprimant les facteurs commuas au numérateur et au dénominateur :
'JT
c’est là valeur que nous avons obtenue au n® 757.
795. — Théobëme. Le volume cVun corps terminé par une surface de révolution quelconque a pour mesure le produit de l'aire de la demi~section méridienne par la circonférence que décrit le centre de gravité de cette demi-section. Soit AB (fig. 620) l’arc générateur, et X Y'* l’axe de révolution. Des extrémités A et B de cet arc abaissons sur XY les perpendiculaires AM et B N. Divisons MN en un certain nombre de parties égales; par tous les points de division menons des perpendiculaires* à MN; sur ceS perpendiculaires portons, à partir de X Y, des longueurs égales aux divisions de MN , et joignons les nouveaux points obtenus, par des parallèles à XY. L’espace AM NB se trouvera divisé en deux sortes de parties : les unes, situées le long dé l’arc AB, offrent des portions curvilignes; représentons l’ensemble de ces espaces curvilignes par E; les autres parties sont de petits carrés; représentons leur ensemble parC. L’aire totale de l’espace A M N B sera E C;
Considérons en particulier l’un des petits carrés, abvd. Dans la rotation de AMNB autour de XY, ce petit carré engendrera Un volume annulaire qui sera la
difTërencë des cylindres engendrés par les rectangles ' anmd et hnmr, lesquels ont respectivemeht pour mesure
mn X et mn \ 'it. b ,
le volume annulaire dont nous parlons aura donc pour valeur
mn 'K. an — m n X
ou V. m n {a . <
naais on a an-s= bn ab ; par conséquent. . . .(S.'JT),
an^ -\-2bh X ab'^\
d’oil an^ — 6 «* == 2 ô « X ^ ^ 4- « ,
et, par suite, l’expression du volume annulaire eh question devient
ir. mn X {^b n X ab^). . ,
Si l'on met a b en facteur commun, en remarquant qu'il est égal à mn, puis qu’on multiplie le facteur hors parenthèses par 2, en divisant le facteur entre parenthèses par 2, ce qui n’altère point le produit, on, obtient ,
2 •rr. mii^ X{bn-\-\^ab),
QU X S-ir. (6/j -4- i ai). , V
RèitiîlrqUohs qtte>«n’ représente l’aire dii carré ahc'd;^ rëpréSèntohs cette aire par a. Soit i le centre de figure du carré obcd; abaissons de ce point une perpendiculaire ip sur Xy, et une perpendiculaire ik sur an; on aura
. ip — k n~hn kh = bn \ab.
1 Si donc on désigne par d la distance ip, l’expression ‘ du volume annulaire se réduira à «
- Désignons par fV, d", etc. , les distances des centres de figure des autres carrés à l’axe de rotation ; les aires
de ces carrés étant égales , les volumes annulaires qu’ils engendrent auront respectivement pour valeur
rt X 2 T. cV , a d’ \
et ainsi de suite.
La somme de tous ces volumes , que nous représen* terons par V, sera donc
V = «X2'»-. rf+rtXSw. rf-f-rtX2ir. rT -4- etc. ,
ou V = rt X 2 T X ( ^ "4“ 1 etc. )
Soit G le centre des moyennes distances de tous les centres de figure des petits carrés ; abaissons de ce point sur XY la perpendiculaire GO. Si l’on imagine, suivant XY, un plan perpendiculaire au plan de la demisection méridienne A M X B, les lignes G O, d, dy dy etc., seront les distances du point G et des centres des carrés à ce plan. En nommant donc N le nombre total des carrés, on aura
c/ -f- + etc.
d’où d-\- d d' etc. , — G O X N , et par .suite
V = «X2^XCtOxN, ou V = rt X N X 2 ir. GO.
Or, « X N, ou l’aire d’un petit carré, répétée autant de fois qu’il y a de carrés, c’est l’aire de l’ensemble de ces carrés, aire que nous avons représentée par C; il vient donc enGn
