V = C X 2». GO

c’est-à-dire que la somme des volumes annulaires engendrés par les petits carrés a pour mesure l’aire totale de ces carrés, multipliée par la circonférence que décrit le point G , centre des moyennes distances des centres de figure de ces carrés.

Maintenant, remarquons que, le nombre des divisions de M X étant arbitraire, le résultat précédent subsistera, quelque petits que l'on suppose les carrés. Mais

APPKJVmCE.

plus ces can*és seront petits , plus la somme des espaces curvilignes que nous avons représentée par E diminuera ; et si l’on suppose les carrés infiniment petits, l’espace E pourra être considéré comme rigoureuse- • ment nul. Or, dès lors le volume V sera le volume engendré par la demi-secllou méridienne AM N B, c’està-dire le volume proposé; le point G deviendra le centre des moyennes distances des éléments infiniment petits de celte demi-section méridienne, c’est-à-dire son centre de gravité. La relation (1) signifiera donc que le volume proposé a pour mesure le produit de l’aire de la demi-section méridienne j)ar la circonférence que décrit le centre de gravité de cette demi-section.

Remarque. La démonstration précédente s’applique également à un corps terminé de toutes parts par une surface de révolution , ou à une tranche de ce corps, comprise entre les plans de deux parallèles.

Applic.itioxs. T. Nous pouvons, à l’aide du théorème précédent, évaluer le volume d’un anneau. La demisection méridienne est alors un cercle dont le centre de figure est en même temps le centre de gravité. Soit R le rayon de ce cercle, w. R* exprimera son aire; soit D la distance de son centre à l’axe de rotation, le volume de l’anneau aura pour expression

ir. R’ X 2 w. D , ou 2 R®. D

Supposons, par exemple, que l’on ait R = 2“"*-, et D = , le volume de l’anneau aura pour valeur

2'»r.s X « X 12' , ou 2 X (V)’ X 48"u»>-, ou enfin, 948"“'> ,2-13.

IL — Le théorème qui précède peut être employé utilement pour évaluer la capacité des canaux, lorsqu’ils offrent dans leur cours des parties circulaires.

Soit MNPQ (fig. G21) le plan d’uii canal, qui offre une partie circulaire. Un canal pi*ésente d’ordinaire uii profil constant, c’est-à-dire que si on le coupe par des plans verticaux perpendiculaires à ses bords, on obtient toujours pour section un même polygone ; le plus

souvent cette section est un trapèze. Soient AD et BC les traces horizontales des plans de profil menés par les points A et B, oit s’opère le raccordement entre la par* lie circulaire AB du bord MIV et les parties rectilignes AM et B N de ce bord. La partie rectiligne QDAM du canal pourra être regardée comme un prisme di’oit dont la base sera la section qui a pour projection AD et dont les arêtes latérales seront horizontales \ pour obtenir sa capacité, il suffira donc de multiplier l’aire .de la section qui a pour projection A D par la longueur de l’arête AM. Ou obtiendra de la même n^nière la ca- .pacité de la partie rectiligne P CB N.

Quant à la partie circulaire ABC D du canal, on peut la regarder comme engendrée par la révolution du profil du canal autour d’un axe vertical, qui est Tiptersection des plans AD et BC- Soit O la projection de cet axe. Le profil du canal a d’prdinaire un axe de symétrie vei’tical, sur lequel se trouve, par conséquent, le ceptre de gravité de l’aire de ce profil. Soit G la projection de çet aJ^e de symétrie; on auru A G = QD. Appelons T le volun^e total de l’anneau trapézoïdal qui serait engendré pgr pn^ révolution complète du profil du canal autouv de l’axe qui a pour projection O, et A l’aire du profil ; en vertu du théorème précédent on aura

Appelons V le volume de la partie AB CD du capal qu’il s’agit d’obtenir, on aura (680) ^ ^ ^